一道高考壓軸題的探究歷程與教學(xué)建議

劉再平 張 琪

(陜西省漢中中學(xué),723000)

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點(diǎn)P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求?PAB面積的最大值.

此道是2021年全國乙卷理科圓錐曲線壓軸題第21題,試題表述簡潔,問題設(shè)置循序漸進(jìn),有一定的梯度. 第(1)問比較基礎(chǔ),考查圓外一點(diǎn)到圓上距離的最小值,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可求出p的值;第(2)問顯然需要用參數(shù)表示出?PAB的面積,最后再求面積的最值,是此道壓軸題真正的壓軸點(diǎn).

二、解法探究

求最值可以從函數(shù)、均值不等式和三角函數(shù)三個(gè)常見的視角出發(fā),梳理解題活動(dòng)的思維導(dǎo)圖如圖2,從而獲得下列通性通法.

由點(diǎn)P在切線上,得x1x0-2y1-2y0=0,且x2x0-2y2-2y0=0,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)滿足方x0x-2y-2y0=0,即直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

解法2設(shè)點(diǎn)P(cosα,-4+sinα),切線方程為y=k(x-cosα)-4+sinα,與x2=4y聯(lián)立,可得

x2-4kx-4sinα+4kcosα+16=0.

令Δ=0,得k2-kcosα+sinα-4=0.故切線PA,PB的斜率k1,k2滿足k1+k2=cosα,k1k2=sinα-4,即點(diǎn)P(k1+k2,k1k2).

評注解法1通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)將三角形面積表示出來,使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題;解法2利用參數(shù)方程將三角形的面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題,其中還是需要借助二次函數(shù)的性質(zhì)解題.因此,上述兩種方法都屬于解決此類問題的通法.

三、本質(zhì)探究

在上述壓軸題中,?PAB稱為阿基米德三角形.阿基米德(公元前287年——公元前212年),古希臘偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.為了紀(jì)念他，將拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.

性質(zhì)2直線AB的方程為(x1+x2)x-2py+x1x2=0.

性質(zhì)4直線AB過拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C(xc,yc)時(shí),點(diǎn)P的軌跡方程為xcx-py-pyc=0.特別地,當(dāng)點(diǎn)C為拋物線的焦點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)P的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線,且PA⊥PB,PF⊥AB,且(S?PAB)min=p2.

性質(zhì)1至3仿上述解法1和解法2類似可證,這里從略.下面給出性質(zhì)4的簡證如下.

xcx-py-pyc=0.

四、試題簡解

運(yùn)用阿基米德三角形的性質(zhì)3,此道壓軸題即可獲得如下簡解:

五、性質(zhì)運(yùn)用

1.在高考題中的運(yùn)用

(2)設(shè)?ABM的面積為S,求S的最小值.

2.在自招題中的運(yùn)用

例2(2010年清華大學(xué)自招題)F為拋物線y2=2px的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),直線l1,l2分別是該拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線,l1,l2相交于點(diǎn)C,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,求|CF|.

3.在競賽題中的運(yùn)用

例3(2015年湖北省高中數(shù)學(xué)競賽題)過直線x-2y+13=0上一動(dòng)點(diǎn)A(點(diǎn)A不在y軸上)作拋物線y2=8x的兩條切線,M,N為切點(diǎn).求證:直線MN恒過一定點(diǎn).

簡解不妨設(shè)直線MN恒過一定點(diǎn)P(x0,y0),由阿基米德三角形性質(zhì)4,可知點(diǎn)A的軌跡方程為y0y-4(x0+x)=0,即4x-y0y+4x0=0.此直線方程與x-2y+13=0等價(jià),由待定系數(shù)法可得x0=13,y0=8.故直線MN恒過定點(diǎn)P(13,8).

(1)求證:直線AB過定點(diǎn);

(2)求?PAB的面積S的最小值,以及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

簡解(1)不妨設(shè)直線AB恒過一定點(diǎn)M(x0,y0),由阿基米德三角形性質(zhì)4知點(diǎn)P的軌跡方程為x0x-(y0+y)=0,即x0x-y-y0=0.此直線方程與y=x-2等價(jià),由待定系數(shù)法得x0=1,y0=2.故直線MN恒過定點(diǎn)M(1,2).

六、教學(xué)建議

1.夯實(shí)雙基,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

圓錐曲線問題充當(dāng)壓軸題的角色已經(jīng)屢見不鮮,然而圓錐曲線壓軸題并不是高不可攀.因?yàn)閳A錐曲線解答題一般設(shè)置二至三小問,一般來說每問之間聯(lián)系緊密,梯度明顯,循序漸進(jìn),第一問往往立足基本知識,所以學(xué)生理所應(yīng)當(dāng)在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中夯實(shí)圓錐曲線的雙基;第二、三問往往充當(dāng)著壓軸的地位,對學(xué)生的邏輯推理能力,特別是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高.如本文所闡述的2021年全國乙卷理科壓軸題壓軸第二問,通過認(rèn)真審題,大部分學(xué)生應(yīng)該都知道需要用參數(shù)表示出三角形的面積,然而三角形面積的表示并不容易,無疑對學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)要求較高. 所以教師要善于創(chuàng)設(shè)問題情境,將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題,明確運(yùn)算對象,確定運(yùn)算思路,合理選用運(yùn)算法則,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.適當(dāng)拓展,積極開展探究活動(dòng)

查閱近十年的全國卷圓錐曲線解答題,不難發(fā)現(xiàn)很多題都有著豐富的數(shù)學(xué)背景.如本文所述的阿基米德三角形背景.所以教學(xué)中教師要善于超越具體知識與基本技能,深入到數(shù)學(xué)思維層面,適當(dāng)拓展,積極開展探究活動(dòng),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).然而,拓展探究并非易事,章建躍博士提出的如下探究 “基本套路”,值得借鑒.

教師要善于抓住機(jī)會引導(dǎo)學(xué)生按上述邏輯開展探究活動(dòng),經(jīng)過長時(shí)間熏陶,學(xué)生就會在潛移默化中養(yǎng)成一種深入思考、樂于探究的好習(xí)慣,如此不僅能培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維,更對數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的發(fā)展大有裨益.