一道“強基”題的柯西不等式解法

史多動

(甘肅省高臺縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校，734300)

一、試題呈現(xiàn)

這是2021年1月清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試(THUSSAT)新高考第15題.本文從柯西不等式及其變式多角度揭示求解這類問題常用的基本思路和方法.

二、解法探析

1.基礎(chǔ)知識

二維柯西不等式 設(shè)a,b,c,d∈R,則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,

等號當(dāng)且僅當(dāng)a∶c=b∶d時成立.

變式設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),則

等號當(dāng)且僅當(dāng)a∶c=b∶d時成立.

2.多視角求解

(1)配湊視角

分析1根據(jù)已知式和所求式的結(jié)構(gòu)特征,利用柯西不等式配湊,將已知等式的兩邊都加上3,使含有a的項的分子出現(xiàn)a+1,然后進(jìn)行常數(shù)代換,利用二維柯西不等式求得最值.

分析2根據(jù)已知式和所求式的結(jié)構(gòu)特征利用柯西不等式的變式配湊,將所求式變形、配湊出含有已知式中的項,利用二維柯西不等式變式求解。

(2)消元視角

分析3由條件消去a,得到關(guān)于b的式子,再按柯西不等式的形式配湊、求解.

評注(1)亦可消去b轉(zhuǎn)化為a的式子進(jìn)行求解(此處從略).

(2)消去b得到關(guān)于a的式子后，亦可用柯西不等式的變式求解.具體過程如下：

(3)換元視角

分析4根據(jù)已知式進(jìn)行和差換元(均值換元),并代入所求式,得到關(guān)于新元的式子,進(jìn)行“1”的代換,利用柯西不等式求解.

分析5根據(jù)已知式結(jié)合平方關(guān)系進(jìn)行三角換元,再利用柯西不等式的變式求解.

由上可見,對典型試題進(jìn)行多解探究,既能梳理解決這類問題的一般方法,尋求解答此類問題的通性通法,揭示問題的本質(zhì)和一般規(guī)律,又能拓寬學(xué)生的知識面,權(quán)衡解法優(yōu)劣,積累解題經(jīng)驗,提高解題效率.此外還能溝通知識間的聯(lián)系,厘清知識脈絡(luò),構(gòu)建完整的知識體系,使知識、方法、能力融為一體,學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題,開發(fā)智能,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).