高中函數(shù)概念教學(xué)的實(shí)踐與探索
——“函數(shù)的概念和圖象(1)”教學(xué)設(shè)計(jì)

楊 靜

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué),225002)

本文以蘇教版普通高中教材《數(shù)學(xué)》(必修第一冊)“函數(shù)的概念和圖象(1)”的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施為例,介紹筆者落實(shí)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]要求，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一次實(shí)踐性探索.本教學(xué)設(shè)計(jì)獲江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動(dòng)一等獎(jiǎng).

一、教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)通過豐富的實(shí)例,提供函數(shù)概念的背景,使學(xué)生體會函數(shù)是描述兩個(gè)變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

(2)能用集合語言和對應(yīng)關(guān)系表達(dá)函數(shù)概念,體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

(3)理解高中階段函數(shù)概念的意義,理解函數(shù)符號表達(dá)與抽象定義之間的關(guān)聯(lián),了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.

(4)通過從實(shí)例中抽象概括函數(shù)概念的活動(dòng),積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培育數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生體會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)概念的過程,掌握函數(shù)概念及構(gòu)成函數(shù)的要素,會求簡單函數(shù)的定義域.

難點(diǎn)是抽象概括函數(shù)的概念,理解函數(shù)抽象定義的符號表達(dá).

二、教學(xué)過程

1. 數(shù)學(xué)情境,引出概念

情境1前段時(shí)間,揚(yáng)州疫情牽動(dòng)著全省乃至全國人民的心.在黨和政府的關(guān)心下,在全省人民的支援下,自8月15日開始,疫情得到了切實(shí)有效的遏制.表1是8月15日到8月22日8天的每日新增新冠肺炎確診病例數(shù),記8月15日為第1天.

表1 8月15日—8月22日每天新增病例數(shù)據(jù)表

問題1用數(shù)學(xué)的眼光看問題,這里的天數(shù),新增病例人數(shù)都構(gòu)成了集合,你能寫出這兩個(gè)集合嗎?

問題2這兩個(gè)集合之間有關(guān)系嗎?

總結(jié):天數(shù)構(gòu)成的集合A與新增病例人數(shù)構(gòu)成的集合B之間有如圖1所示的對應(yīng)關(guān)系. 以上問題告訴我們,某些集合之間可能存在某種對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光思考現(xiàn)實(shí)世界,發(fā)現(xiàn)集合與集合之間可能會存在對應(yīng)關(guān)系,為情境2引出函數(shù)做鋪墊.

情境2連淮揚(yáng)鎮(zhèn)鐵路被譽(yù)為江蘇高鐵的金腰帶.昨天我乘“復(fù)興號”從揚(yáng)州來到交通樞紐——徐州東站,假設(shè)“復(fù)興號”高速列車加速到240 km/h后保持勻速運(yùn)行10分鐘.這段時(shí)間內(nèi),列車行進(jìn)的路程S(單位km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為S=240t.

問題3S=240t(在初中見過)表達(dá)了什么關(guān)系?

生:路程S是關(guān)于時(shí)間t的一次函數(shù).

問題4同學(xué)們,初中還學(xué)過哪些函數(shù)?

生:一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

問題5你還記得初中階段函數(shù)是怎樣定義的嗎?

生:每一個(gè)自變量x,都有一個(gè)y與它對應(yīng).

師:很好!下面回顧一下初中階段函數(shù)的概念:在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量,記為x和y,如果對于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù).x是自變量.

追問:為何路程S是關(guān)于時(shí)間t的一次函數(shù)?

生:對于t的每一個(gè)值,S都有唯一的值與它對應(yīng).

追問:t=1時(shí),S的對應(yīng)值是多少呢?

生:S也構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)集,集合B=[0,40].

師:集合A中每一個(gè)元素t,在集合B中都有唯一的S與它對應(yīng).也就是集合A與集合B之間存在某種對應(yīng)關(guān)系(如圖2).這個(gè)對應(yīng)關(guān)系就是S=240t.且這種對應(yīng)關(guān)系可以構(gòu)成一次函數(shù).

問題6情境1中,從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成函數(shù)嗎?

生:能,集合A中每一個(gè)元素,在集合B中都有唯一的元素與它對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖通過追問“t=1時(shí),S=240對嗎?”引導(dǎo)學(xué)生需考慮時(shí)間t的范圍,從而給出實(shí)數(shù)集合間對應(yīng)關(guān)系的表述.在對情境1是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的討論中,幫助學(xué)生建立從集合之間對應(yīng)關(guān)系的角度去認(rèn)識函數(shù),為用集合語言描述函數(shù)概念作出鋪墊.

情境3以下是徐州市某一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖(圖3).

問題7一天的溫度與時(shí)間能夠成函數(shù)關(guān)系嗎?

生:能,時(shí)間構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)集A=[0,24],溫度構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)集B=[-2,9],集合A中的每一個(gè)時(shí)刻t,集合B中都有唯一的溫度θ與它對應(yīng)(如圖4).

設(shè)計(jì)意圖情境3很難用一個(gè)解析式表示.讓學(xué)生在思維碰撞中感知變量依存關(guān)系表達(dá)的局限性,認(rèn)識到進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性.

2.數(shù)學(xué)建構(gòu),生成概念

問題8如圖5,上述3個(gè)情境中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系有何共同特點(diǎn)?你能嘗試用集合語言和對應(yīng)關(guān)系重新描述這一共性嗎?你能用集合語言和對應(yīng)關(guān)系重新描述函數(shù)的概念嗎?

引導(dǎo)學(xué)生抽象概括如下關(guān)系(圖6):

設(shè)計(jì)意圖通過“變中求同”總結(jié)3個(gè)情境的共同特征.并從集合與對應(yīng)的角度概括描述以上3個(gè)函數(shù)的本質(zhì),形成函數(shù)的概念.

函數(shù)的概念:給定兩個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合A和B,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中x叫作自變量,集合A叫作函數(shù)的定義域.

若A是函數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個(gè)x(輸入值),都有一個(gè)y(輸出值)與之對應(yīng).所有輸出值y組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域(圖7).

3.數(shù)學(xué)活動(dòng),內(nèi)化概念

數(shù)學(xué)活動(dòng)1請同學(xué)們舉一些生活中的例子,并請同桌判斷是否為函數(shù).

數(shù)學(xué)活動(dòng)2請同學(xué)們判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)(圖8).

分析判斷對應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)的依據(jù)只有定義,只要判斷是否滿足定義即可.

數(shù)學(xué)活動(dòng)3下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)?

分析如果定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同,則函數(shù)相同.而值域由定義域與對應(yīng)關(guān)系決定,所以如果對應(yīng)關(guān)系、定義域相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù).

問題9你認(rèn)為函數(shù)定義中有哪些關(guān)鍵要素?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生理解并使用函數(shù)符號y=f(x).通過圖8中④,理解值域C={y|y=f(x),x∈A}的定義,得到C?B的認(rèn)知.

4.數(shù)學(xué)應(yīng)用,鞏固概念

例1判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù):

(2)x→y,這里y2=x,x∈N,y∈R.

(3)當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),x→1;當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),x→0.

例2求下列函數(shù)的定義域:

例3求下列函數(shù)的值域:

(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};

(2)f(x)=(x-1)2+1.

設(shè)計(jì)意圖函數(shù)概念形成后,通過3道例題促使學(xué)生關(guān)注函數(shù)的本質(zhì),加深對函數(shù)概念的理解.

5.自主小結(jié),融通概念

問題10本節(jié)課,我們在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,運(yùn)用集合語言進(jìn)一步完善了函數(shù)的概念,請你談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲?

師生共同完成表2：

表2 初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系

拓展閱讀:函數(shù)概念的發(fā)展史.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過自主小結(jié),感悟不同階段的函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系.每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)歷史文化,拓展性閱讀有助于學(xué)生深刻認(rèn)識和理解函數(shù)概念,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念還可以繼續(xù)完善和擴(kuò)充.