實(shí)施降冪策略 優(yōu)化問(wèn)題化歸

姚星桃

(江蘇省揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225000)

化歸是一種數(shù)學(xué)思想方法,是一種思維方式,在學(xué)習(xí)心理學(xué)意義下,化歸又是一種學(xué)習(xí)活動(dòng).姬梁飛在文[1]中指出:化歸是由目標(biāo)、對(duì)象、性質(zhì)、特征、方法等要素構(gòu)成,聯(lián)系、變維、映射及類化是化歸的四大特征,其中“降維”是化歸的核心[1]. 這里“降維”就是將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)為為簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法,如三角函數(shù)中的降冪、解方程中的消元、空間幾何問(wèn)題平面化,利用同解變形化三角方程、指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程為簡(jiǎn)單方程等.特殊地,將高次的問(wèn)題化歸為較低次的類似問(wèn)題來(lái)研究稱為降冪.降冪在解題中有著廣泛的應(yīng)用.本文探討一些降冪方法,研究其在化歸解題中的作用.

一、巧用降冪方法

降冪是化歸解題過(guò)程中的核心,靈活運(yùn)用這種降冪的方法解題,則能收到滿意的效果.

1.使用公式降冪

分析直接利用降冪公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式加以轉(zhuǎn)化,就能順利解題.

變式1(1995年全國(guó)高考題)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.

分析本題雖然可以采用構(gòu)造法、幾何法等方法求解,但都相對(duì)復(fù)雜,而利用降冪公式和積化和差公式可迎刃而解.

分析從條件和結(jié)論之間的差異看,本題可通過(guò)平方關(guān)系及降冪公式將其降冪且倍角,得到解題的目的.

2.用變量代換降冪

化歸起始于聯(lián)系,這種聯(lián)系存在于數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)部或不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.化歸的實(shí)現(xiàn)必須將研究問(wèn)題予以分解、重組及類化,要具有豐富的聯(lián)想,善于發(fā)掘事物內(nèi)外的聯(lián)系,尋找與其相關(guān)的元素或曾經(jīng)解決過(guò)的類似問(wèn)題.

例2關(guān)于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

評(píng)注本題在求解過(guò)程中,有意識(shí)地建立引參代換是一種整體轉(zhuǎn)化的思想,也是實(shí)現(xiàn)降冪的關(guān)鍵.由題目中已知條件的結(jié)構(gòu)來(lái)確定變量代換的形式是需要在解題過(guò)程中靈活處理的.下面的問(wèn)題原式不易化簡(jiǎn),而解方程后代入求解又不可取,可運(yùn)用逐步代換進(jìn)行降冪化簡(jiǎn),使求值能輕松獲解.

3.選擇主元降冪

所謂主元法,是在解決多元問(wèn)題時(shí),以其中一個(gè)變?cè)獮椤爸髟?而將其他變?cè)暈槌Ａ康慕忸}策略.

2）從學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)看，具有開(kāi)放性、整合性。主題學(xué)習(xí)有異于傳統(tǒng)的以教材為中心的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容可根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇，涉及多學(xué)科、多領(lǐng)域，不必按照傳統(tǒng)的課本教材。

例5已知-1≤m≤1,函數(shù)f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范圍.

分析若視m為主元,則x2+(m-4)x+4-2m是關(guān)于m的一次函數(shù).由一次函數(shù)的單調(diào)性可快捷地確定x的取值范圍.

解以m為主元,則原函數(shù)可改寫(xiě)為關(guān)于m的一次函數(shù)g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.依題意,要g(m)在-1≤m≤1時(shí)恒大于零,只需g(-1)>0,g(1)>0.

由g(-1)=x2-5x+6>0,解得x<2或x>3;由g(1)=x2-3x+2>0,解得x<1或x>2.

綜上,所求x的取值范圍是(-∞,1)∪(3,+∞).

二、運(yùn)用降冪思維

化歸思想的應(yīng)用歸根結(jié)底是體現(xiàn)解決問(wèn)題過(guò)程中所擁有的一種數(shù)學(xué)思維意識(shí),自覺(jué)地應(yīng)用聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的眼光觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題,利用事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)復(fù)雜抽象問(wèn)題向簡(jiǎn)單方向予以轉(zhuǎn)化,這就是降維思維,它能引導(dǎo)解題的方向和策略的選擇.

例6若正數(shù)a,b,c同時(shí)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的第m,n,k項(xiàng),求證:(b-c)lga+(c-a)lgb+(a-b)lgc=0.

分析若等比數(shù)列的公比q=1,則a=b=c,則結(jié)論顯然成立.

下面的證明過(guò)程中假設(shè)q≠1.設(shè)題中的等差數(shù)列為{bn},bm=a,bn=b,bk=c,由等差數(shù)列的性質(zhì),可得

(m-n)d=bm-bn=a-b,

①

(n-k)d=bn-bk=b-c,

②

(k-m)d=bk-bm=c-a.

③

設(shè)題中的等比數(shù)列為{an},am=a,an=b,ak=c,由等比數(shù)列的性質(zhì),可得

④

⑤

⑥

接下來(lái)就是通過(guò)計(jì)算來(lái)證明結(jié)論的正確性,但這一步卻是大多數(shù)學(xué)生理不出頭緒、容易算錯(cuò)的一步.為了解決這類問(wèn)題,仔細(xì)觀察①～⑥ 幾個(gè)等式,并聯(lián)系待證結(jié)論,需要把④ ⑤ ⑥ 中冪指數(shù) “降”下來(lái),轉(zhuǎn)化到①～③ 式.不難發(fā)現(xiàn),取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化是最佳選擇,事半功倍.于是把上述指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,得

由此結(jié)合①～③ 式,可得

將此三式相加,就可以得到要證明的等式.

評(píng)注本題中出現(xiàn)了帶參數(shù)的冪的運(yùn)算,證明時(shí)采取了把指數(shù)式④ ⑤ ⑥ 化為對(duì)數(shù)式的方法,有效簡(jiǎn)化了計(jì)算.這里降冪意識(shí)是取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化，迅速化解了計(jì)算遇到的困難.英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾通過(guò)化歸法解決了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的運(yùn)算問(wèn)題,將復(fù)雜的乘方開(kāi)方運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的加減與倍積問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了計(jì)算方法的一次革命[2].這種思維方式被經(jīng)常地應(yīng)用到問(wèn)題解決中.

2.最值問(wèn)題借力降冪不等式策略

例7已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求P=x2+3y2+z3的最小值.

分析這類題可用拉格朗日乘數(shù)法求解,但此解法在大學(xué)數(shù)學(xué)中才介紹.如果用初等的方法求解,由于求最值的表達(dá)式三個(gè)被加項(xiàng)的系數(shù)不同,次數(shù)也不等,使基本不等式用不上,給求解帶來(lái)困難.對(duì)x2,3y2,z3三項(xiàng),靈活選擇t,則可使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明快的解決.

評(píng)注降冪放縮法在在討論含指數(shù)式的不等式中具有高效快速特點(diǎn).

史寧中教授認(rèn)為,模式是認(rèn)識(shí)、表達(dá)、解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的程式化了的方法[3].化歸是數(shù)學(xué)活動(dòng)中普遍應(yīng)用的一個(gè)基本思想方法,有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).無(wú)論是從空間到平面、從數(shù)字到圖形、從曲線到直線、從無(wú)限到有限、從特殊到一般、從雜亂到有序、從抽象到具體、從現(xiàn)象到模型,“降維”是實(shí)施化歸的核心,對(duì)探究數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)、優(yōu)化問(wèn)題解決尤其重要,需要高度關(guān)注.