直線參數(shù)方程下兩點(diǎn)間距離公式的微課探究
——一次糾錯(cuò)的意外收獲

仰宏麗

(安徽省無(wú)為第一中學(xué),238300)

一、教學(xué)背景

在安徽省蕪湖市2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)的教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控的文科數(shù)學(xué)試卷上,有這樣一道題:

(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

這是一道考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程相關(guān)內(nèi)容的常規(guī)題,試題難度雖然不大,但第(2)問(wèn)的解答卻不盡如意.很多同學(xué)給出了如下的解答:

學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢?筆者認(rèn)為主要是學(xué)生對(duì)直線的參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)發(fā)生遺忘,只會(huì)套用公式.那如何糾錯(cuò)呢?回歸課本無(wú)疑是最好的策略.為此,筆者準(zhǔn)備就此題在班上展開(kāi)一次微課教學(xué).

二、微課教學(xué)探究

首先，借助希沃白板投影了錯(cuò)誤答案.

師:如此求解對(duì)嗎?

生1:不對(duì).

師:哪里不對(duì)?

大家陷入了沉思,筆者見(jiàn)時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟,請(qǐng)同學(xué)們拿出教材,重新閱讀直線的參數(shù)方程這一節(jié)的內(nèi)容.

師:通過(guò)閱讀,大家對(duì)剛才的問(wèn)題有何感想?

師:生2的意思是說(shuō)題設(shè)中的直線可以有兩種不同形式的參數(shù)方程,它們形式不同時(shí),參數(shù)的含義也不同.

師:由教材可見(jiàn),當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α?xí)r,它的參數(shù)方程可以表示成

①

我們稱① 式為直線l參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,此時(shí)參數(shù)t有明確的幾何意義.那大家能不能將此問(wèn)題一般化呢?

生3:經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程還可以表示成

②

師:可以將② 式稱為直線參數(shù)方程的一般形式.② 式與① 式的區(qū)別在于參數(shù)t沒(méi)有明確的幾何意義,所以應(yīng)用參數(shù)的幾何意義解題時(shí),我們通常選擇① 式.如果題目給出的是② 式,我們可以把② 式轉(zhuǎn)化為① 式.

錯(cuò)解的同學(xué)恍然大悟,原來(lái)是直線的參數(shù)方程選擇不當(dāng)導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

問(wèn)題似乎已經(jīng)得到了圓滿解決,這時(shí)突然有學(xué)生提出了新的問(wèn)題.

師:這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得很好!大家看看該如何解答?

過(guò)了片刻,有同學(xué)提出如下的解答.

兩種解法都能很好的回答學(xué)生4所提出的問(wèn)題.

師:解題中不僅要會(huì)求PA，PB的長(zhǎng)度,有時(shí)還要會(huì)求AB的長(zhǎng)度.形式① 下兩點(diǎn)間距離公式教材已經(jīng)得到,那么形式② 下的直線上任兩點(diǎn)A，B的距離公式如何表示呢?

師生共同探討:設(shè)點(diǎn)AB在參數(shù)方程形式② 下所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,則其直角坐標(biāo)分別為A(x0+at1,y0+bt1),B(x0+at2,y0+bt2).于是

特別地,當(dāng)a2+b2=1時(shí),有|AB|=|t1-t2|,這便是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程形式① 下兩點(diǎn)間的距離公式.

三、教學(xué)感悟

一次糾錯(cuò),我們不僅讓學(xué)生明白了他們錯(cuò)在何處,而且還意外收獲了直線參數(shù)方程在一般形式下兩點(diǎn)間的距離公式.這表明我們?cè)谝痪€教學(xué)時(shí),一方面要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材,透徹領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)容內(nèi)在的深刻含義;另一方面要有不止于教材的研究意識(shí),用科學(xué)的態(tài)度和方法專研教材,使所學(xué)內(nèi)容有效拓展、融會(huì)貫通.