金融市場(chǎng)中遞增擴(kuò)張映射模型的混沌吸引子分叉

顧恩國(guó)，孫維湘川

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

自從DAY開(kāi)創(chuàng)性地討論了具有異質(zhì)相互作用主體的金融市場(chǎng)模型［1］后，已有數(shù)百篇后續(xù)論文［2-6］研究了市場(chǎng)參與者的交易可能導(dǎo)致明顯不可預(yù)測(cè)的價(jià)格動(dòng)態(tài)——價(jià)格隨機(jī)交替上漲或下跌，即所謂的牛市和熊市動(dòng)態(tài)，這加深了對(duì)金融市場(chǎng)如何運(yùn)作的理解.本文對(duì)文獻(xiàn)［7］中的假設(shè)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到一個(gè)具有3個(gè)子系統(tǒng)的不連續(xù)映射模型，主要討論其單調(diào)映射系統(tǒng)的混沌吸引子的兩種分叉.

本文首先確定與多波段混沌吸引子相關(guān)的參數(shù)區(qū)域，它由與排斥周期環(huán)發(fā)生同宿分叉的相關(guān)曲線界定，該同宿分叉可能導(dǎo)致吸收區(qū)間的合并、消失、擴(kuò)展或混沌吸引子的最終分叉［8-10］.值得注意的是，一維映射的多波段混沌吸引子的邊界由關(guān)鍵點(diǎn)（critical point）及其像給出.關(guān)鍵點(diǎn)的像和原像也稱為某一級(jí)的關(guān)鍵點(diǎn).混沌吸引子的邊界點(diǎn)（即關(guān)鍵點(diǎn)）與屬于吸引子直接吸引域邊界的排斥周期環(huán)中的一個(gè)點(diǎn)發(fā)生碰撞，該排斥環(huán)就發(fā)生同宿分叉；其次是研究導(dǎo)致吸引子幾何結(jié)構(gòu)突變的邊界碰撞分叉（BCB）.當(dāng)映射有多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，混沌吸引子邊界上的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可能與另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)發(fā)生碰撞.在最簡(jiǎn)單的情況下，可能是與不屬于混沌吸引子的不連續(xù)點(diǎn)發(fā)生碰撞，即可能發(fā)生混沌吸引子的BCB.它的一個(gè)特征是當(dāng)參數(shù)接近分叉值時(shí)，吸引子的一個(gè)或幾個(gè)新波段出現(xiàn)/消失，其大小收縮到零.應(yīng)該指出的是，對(duì)混沌吸引子邊界碰撞分叉的研究是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作，目前相關(guān)研究還很少.文獻(xiàn)［11］在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用模型的背景下，首次報(bào)道了其中的一些機(jī)制.文獻(xiàn)［12］描述了具有多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的一維映射中混沌吸引子出現(xiàn)的兩種新的分叉機(jī)制：混沌吸引子的外部邊界碰撞分叉與內(nèi)部邊界碰撞分叉.

1 動(dòng)力學(xué)模型

本文假設(shè)一個(gè)造市商通過(guò)提供或吸收流動(dòng)性來(lái)調(diào)節(jié)超出均衡的交易，這取決于超額需求是正的還是負(fù)的.除清盤(pán)外，市場(chǎng)按以下規(guī)則調(diào)整價(jià)格：

其中P是價(jià)格對(duì)數(shù)，μ是正的價(jià)格調(diào)整參數(shù)，是4種類型投資商的需求.因此，過(guò)度購(gòu)買會(huì)導(dǎo)致價(jià)格升高，過(guò)度拋售會(huì)導(dǎo)致價(jià)格降低.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，且不失通用性，本文取參數(shù)μ等于1.圖表分析師相信牛市和熊市的持續(xù)存在.第一類圖表分析師需求如下：

其中反應(yīng)參數(shù)c1，a，c1，b，c1，c，c1，d都是非負(fù)的.反應(yīng)參數(shù)c1，a，c1，c分別表示達(dá)到某種普遍的樂(lè)觀和悲觀，而參數(shù)c1，b，c1，d表示第一類圖表分析師感知價(jià)格變化后的交易反應(yīng)強(qiáng)度.如果價(jià)格處于牛市（熊市）市場(chǎng)，即如果價(jià)格對(duì)數(shù)P高于（低于）基本價(jià)值對(duì)數(shù)F，則第一類圖表分析師樂(lè)觀地買入（悲觀地賣出）.所有市場(chǎng)參與者都知道基本價(jià)值是恒定的.

第一類基本面分析師期望價(jià)格能回歸它們的基本價(jià)值，因此，基本面分析師的需求如下：

其中反應(yīng)參數(shù)f1，a，f1，b，f1，c，f1，d都是非負(fù)的.第一類圖表分析師跟第一類基本面分析師總是往相反方向進(jìn)行交易.他們?cè)谝粋€(gè)估值過(guò)高的市場(chǎng)賣出，而在一個(gè)估值過(guò)低的市場(chǎng)買入.與第一類圖表分析師相似，第一類基本面分析師的交易強(qiáng)度可能會(huì)取決于市場(chǎng)情況：牛市中某一價(jià)格對(duì)基本價(jià)值的偏差可能會(huì)導(dǎo)致比熊市同一偏差更高或者更低的交易.第一類圖表分析師與第一類基本面分析師的共同點(diǎn)是他們總是保持活躍.一旦他們察覺(jué)到價(jià)格對(duì)基本價(jià)值的偏差，他們便開(kāi)始交易.第二類圖表分析師和基本面分析師與第一類是不同的，因?yàn)樗麄冎挥性诔^(guò)臨界值水平的時(shí)候才會(huì)變得活躍.本文假設(shè)第二類交易者更喜歡關(guān)注市場(chǎng)進(jìn)入和交易固定數(shù)量的資產(chǎn)，第二類圖表分析師與基本面分析師的需求分別如下：

和

其中c2，a＞0，f2，a＞0分別表示圖表分析師和基本面分析師在牛市訂單的多少，而c2，b＞0，f2，b＞0分別表示圖表分析師和基本面分析師在熊市訂單的多少，z＞0表示臨界值.將上述（2）～（5）式代入（1）式得：

這 里s1=c1，b-f1，b，s2=c1，d-f1，d，m1=c1，a-f1，a，m2=f1，c-c1，c，m3=c2，a-f2，a，m4=f2，b-c2，b.注 意s1，s2，m1，m2，m3，m4可以取任意值，在牛市和熊市中，s1和s2的正值（負(fù)值）分別意味著第一類圖表分析師比第一類基本面分析師具有更多（更少）的侵略性.當(dāng)然，對(duì)第二類投資者的m3，m4有同樣的解釋：m3的正值（負(fù)值）意味著在牛市中，第二類圖表分析師比第二類基本面分析師具有更多（更少）的侵略性，在熊市中，m4的正值（負(fù)值）意味著在熊市中第二類圖表分析師比第二類基本面分析師具有更少（更多）的侵略性.m1，m2分別表示在牛市和熊市中第一類交易者的預(yù)期差異.

對(duì)（6）式做變換ut=Pt-F，可得到以下動(dòng)力系統(tǒng)：

考慮到第一類交易者的侵略性和預(yù)期方面在牛市和熊市中是一樣的，本文令s1=s2=s，m1=m2=m'，那么（7）式可以表示為一維不連續(xù)映射：

本文雖然只討論線性映射，但是用函數(shù)值fL(-1)、fM(-1)和fM(1)、fR(1)表示的結(jié)果，對(duì)于具有非線性的這類映射仍然有效.本文只研究遞增擴(kuò)張映射，即1+s＞1的情況，其他情況以后作討論.

2 排斥環(huán)的同宿分叉

本節(jié)主要在參數(shù)平面(mL，mR)上討論并確定混沌存在的區(qū)域，研究吸收區(qū)間的產(chǎn)生/消失、合并/拆開(kāi)和擴(kuò)張/縮小的機(jī)制，涉及排斥周期環(huán)的同宿分叉.圖1給出了映射（8）不變的吸收區(qū)間I，在此區(qū)間內(nèi)映射（8）具有有界的漸近動(dòng)力學(xué)行為.

當(dāng)s＞0時(shí)，映射為擴(kuò)張映射，所有不動(dòng)點(diǎn)L*=均是映射（8）的排斥1周期環(huán)，當(dāng)mL＞s＞m＞-s＞mR，所有不動(dòng)點(diǎn)均存在即是實(shí)的.圖1中3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)均是實(shí)的均衡點(diǎn)，條件fM(-1)=fR(1)和fL(-1)=fM(1)對(duì)應(yīng)于吸收區(qū)間邊界的變化，這也可能導(dǎo)致混沌吸引子邊界的變化.

圖1 吸收區(qū)間Fig.1 Absorbing intervals

定理3的后兩個(gè)條件保證混沌吸引子包含兩個(gè)不連續(xù)點(diǎn).如果只有其中一個(gè)條件遭到破壞，則吸收區(qū)間將通過(guò)同宿分叉縮小為僅包含一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的吸收區(qū)間（產(chǎn)生類似于圖1（a）的吸收區(qū)間）；若兩個(gè)條件同時(shí)遭到破壞，則吸收區(qū)間將通過(guò)同宿分叉拆分為兩個(gè)僅包含一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的吸收區(qū)間（產(chǎn)生類似于圖1（b）的吸收區(qū)間）.定理3中前4個(gè)條件對(duì)應(yīng)的吸收區(qū)間必須包含在以排斥環(huán)為端點(diǎn)的吸引域中，如果其中一個(gè)條件不成立，例如fM(-1)=m-(1+s)=即中間分段的關(guān)鍵點(diǎn)與左邊的排斥不動(dòng)點(diǎn)L*發(fā)生碰撞時(shí)，此時(shí)排斥不動(dòng)點(diǎn)L*產(chǎn)生一個(gè)同宿軌道，即系統(tǒng)（8）會(huì)發(fā)生同宿分叉.分叉后，即當(dāng)fM(-1)＜時(shí)，混沌吸引子消失，該分叉被稱為混沌吸引子的最終分叉，它伴隨著混沌吸引子的產(chǎn)生和消失.圖2給出了定理3中前4個(gè)條件的數(shù)值驗(yàn)證，它是關(guān)于(mL，mR)的二維分叉圖.參數(shù)取在白色區(qū)域，系統(tǒng)是混沌的，該區(qū)域的邊界為4條曲線，它們分別對(duì)應(yīng)著排斥環(huán)L*和R*產(chǎn)生同宿分叉的4個(gè)可能條件.

圖2 關(guān)于mL，mR的二維分叉圖，其中s=1.2，m=0.4Fig.2 Two dimensional bifurcation diagram onmL，mR，where s=1.2，m=0.4

綜上3個(gè)定理，構(gòu)成混沌吸引子邊界的關(guān)鍵點(diǎn)與構(gòu)成吸引域邊界的排斥周期環(huán)發(fā)生碰撞時(shí)會(huì)產(chǎn)生同宿分叉，并且碰撞后，其吸收區(qū)間的擴(kuò)張/縮小、合并/拆分、產(chǎn)生/消失也可能伴隨著混沌吸引子的產(chǎn)生/消失（即混沌吸引子的最終分叉）.

3 混沌吸引子的外部邊界碰撞分叉

在圖3中，可以觀察到隨截距mL、mR的變化，映射中的分叉結(jié)構(gòu)：映射中具有單波段混沌吸引子的區(qū)域（黃色）與多波段混沌吸引子的區(qū)域（其他不同顏色）混合在一起.目前，人們還無(wú)法完整地描述所觀察到的結(jié)構(gòu)的組織原則.事實(shí)上，在第2節(jié)已經(jīng)看到，有界動(dòng)力學(xué)和發(fā)散動(dòng)力學(xué)區(qū)域之間的邊界對(duì)應(yīng)于最終分叉，它與排斥周期1環(huán)（即不動(dòng)點(diǎn)）的同宿分叉是相關(guān)的.進(jìn)一步地，圖3中的一些子結(jié)構(gòu)也可以被識(shí)別出來(lái)，例如，圖3中位于mL=3附近存在小的梯形區(qū)域，在文獻(xiàn)［11］中也報(bào)道了類似的結(jié)構(gòu).然而，對(duì)于具有不同波段數(shù)的混沌吸引子對(duì)應(yīng)的區(qū)域之間的大部分邊界，目前還不清楚它們與哪些分叉有關(guān).舉例來(lái)說(shuō)，在圖3中用A標(biāo)記的參數(shù)路徑上，相應(yīng)的一維分叉圖如圖4所示，本節(jié)中將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)研究.在圖4中標(biāo)記的μ2和μ3分叉中，可以看出一些吸引子的擴(kuò)張分叉，其特征是在分叉處混沌吸引子的大小突然跳躍.至于另外一種分叉，與吸引子附加波段（或間隙）的出現(xiàn)有關(guān)，導(dǎo)致它們的機(jī)制尚不清楚，下面本文通過(guò)一個(gè)例子來(lái)解釋該機(jī)制.

圖3 映射（8）參數(shù)為s=0.22，m=-0.5時(shí)的二維分叉圖，給出了波段數(shù)為1，2，…，6，混沌吸引子相對(duì)應(yīng)的區(qū)域和與發(fā)散動(dòng)力學(xué)相關(guān)的區(qū)域Fig.3 2d bifurcation diagram of map（8）withs=0.22，m=-0.5，the region corresponding to chaotic attractor with band number 1，2，…，6，and the region related to divergence dynamics are given

例1在圖4中用μ1標(biāo)記的參數(shù)值下，混沌吸引子從四波段過(guò)渡到十波段.本例中，在分叉時(shí)刻，一些間隙中（即在分叉之前已經(jīng)存在的吸引子的外邊界的外面）出現(xiàn)大量的混沌波段.

圖4 映射（8）的一維分叉圖，其中s=0.22，mL=3.9，m=-0.5Fig.4 One dimensional bifurcation diagram of the map（8），wheres=0.22，mL=3.9，m=-0.5

下面給出導(dǎo)致這種分叉的機(jī)制.考慮隨著參數(shù)值mR遞增時(shí)映射的分叉過(guò)程.在分叉之前，吸引子由4個(gè)波段組成，如圖5（a）所示.此時(shí)，不連續(xù)點(diǎn)x=-1在混沌邊界點(diǎn)的內(nèi)部，而不連續(xù)點(diǎn)x=1在混沌邊界點(diǎn)的外部.在分叉之前，吸引子的中間靠上面的波段位于映射的左側(cè)和中間兩個(gè)定義區(qū)域，即x＜1；然后，隨著mR增加，這個(gè)中間靠上面波段的上邊界向上移動(dòng).考慮到這個(gè)上邊界是由fL?fL?fR?fL(-1)給出的，則當(dāng)滿足下面條件fL?fL?fR?fL(-1)=1時(shí)發(fā)生分叉，此時(shí)吸引子的中間靠上面的波段與不連續(xù)點(diǎn)x=1發(fā)生碰撞（見(jiàn)圖5（b））.碰撞發(fā)生后，中間靠上面的波段跨越映射（8）所有的3個(gè)定義區(qū)域，而其中一部分是由區(qū)間J=[1，fL?fL?fR?fL(-1)]給出，它位于映射fR的定義域，這個(gè)區(qū)間的像形成了在分叉后出現(xiàn)的吸引子的附加波段.可以證明，J的前6階像位于分叉前已經(jīng)存在的波段外側(cè)，第7階像則位于已經(jīng)存在的吸引子波段內(nèi)部（見(jiàn)圖5（c），f7（J）位于中間靠上面的波段）.因此，人們就觀察到了從四波段到十波段混沌吸引子的轉(zhuǎn)變.不僅如此，分叉還改變了吸引子的外邊界，分叉后，它們與吸收區(qū)間的邊界相重合.由于發(fā)生分叉時(shí)，區(qū)間J退化到一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)參數(shù)接近分叉值時(shí)，這些新波段的寬度縮小為零，這就解釋了一維分叉圖4中新增波段的楔形特征.從上面的例子中，可以認(rèn)識(shí)到混沌吸引子的外部邊界碰撞分叉的主要特征.顧名思義，這些分叉是在混沌吸引子的邊界點(diǎn)（即關(guān)鍵點(diǎn)）與分叉之前位于映射吸引子外的另一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)碰撞時(shí)發(fā)生的.

圖5 （a）分叉之前，（b）分叉時(shí)，（c）發(fā)生邊界碰撞分叉之后，四波段混沌吸引子變成十波段混沌吸引子Fig.5 （a）before bifurcation，（b）at the moment of bifurcation，（c）after boundary collision bifurcation，the four-band chaotic attractor becomes the ten-band chaotic attractor

本文只研究了遞增擴(kuò)張映射模型的動(dòng)力學(xué)行為，得到了混沌的存在條件.而混沌存在是確定的系統(tǒng)可以產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)的內(nèi)在原因之一，因此，本文揭示了金融資產(chǎn)的價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)的內(nèi)生原因.由于與同宿分叉有關(guān)的最終分叉與混沌吸引子的出現(xiàn)和消失有關(guān)，因此最終分叉產(chǎn)生的條件揭示了金融市場(chǎng)發(fā)生金融危機(jī)的條件，因此，相關(guān)研究結(jié)果有利于監(jiān)管機(jī)構(gòu)了解發(fā)生金融市場(chǎng)崩潰或金融危機(jī)的原因.混沌吸引子的外部邊界碰撞分叉揭示了混沌吸引子的結(jié)構(gòu)發(fā)生突變的條件，這也揭示了金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的內(nèi)在復(fù)雜性，其研究結(jié)果將加深人們對(duì)金融市場(chǎng)內(nèi)生變化規(guī)律的認(rèn)識(shí).