一種分解運(yùn)動(dòng)的新方法

山西 景小娟

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是高中物理重要的思想方法之一，是把疑難問題化繁為簡(jiǎn)的主要途徑?！镀胀ǜ咧形锢沓虡?biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中明確提出要求：“會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解的方法分析曲線運(yùn)動(dòng)。體會(huì)將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的物理思想?！倍\(yùn)動(dòng)的合成和分解體現(xiàn)了“等效替代”的物理思維，本身就具有抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生理解和接受起來具有一定的難度。

在中學(xué)階段，一般都把曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相互垂直方向上的直線運(yùn)動(dòng)來研究。比如把平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)；把帶電粒子在磁場(chǎng)中的螺旋線運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和垂直這個(gè)平面方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)。但是如果物體運(yùn)動(dòng)的軌跡更加復(fù)雜一些，不存在上述明顯的分解特征時(shí)，處理起來可能就較為棘手。那么，讓我們拓寬思路，把分解的思想拔高并融入具體題目，把速度、加速度、力這些矢量進(jìn)行另類的等效分解，巧妙的重新組合，就會(huì)形成令人耳目一新的分運(yùn)動(dòng)形式，進(jìn)而解出在常規(guī)的正交分解情況下無法解得或難以解得的題目。本文就幾道例題從不同的角度進(jìn)行巧分解、妙解題。

【例1】如圖1所示，輕繩一端系于O點(diǎn)，另一端系一金屬小球，將小球拉至懸繩位于水平伸直狀態(tài)時(shí)，由靜止釋放小球，問：小球在擺向最低點(diǎn)的過程中，所受重力的瞬時(shí)功率何處最大？

圖1

【分析】本題的常規(guī)出題方式是讓學(xué)生確定重力的瞬時(shí)功率從位置A到位置B過程中怎么變化，根據(jù)A處速度為0，所以A處的重力的瞬時(shí)功率為0；B處重力的方向和速度的方向垂直，所以B處的重力瞬時(shí)功率也為0，所以重力的瞬時(shí)功率先增加后減少。

但是題目稍作變化，要求學(xué)生做定量分析，求出重力的瞬時(shí)功率何處最大，則難度倍增。普遍采用的方法是數(shù)學(xué)方法，即寫出重力瞬時(shí)功率的函數(shù)表達(dá)式，然后對(duì)t求導(dǎo)即可。

然而若是有了分解運(yùn)動(dòng)的思維，本題就可迎刃而解，且也沒有很大的數(shù)學(xué)運(yùn)算量。

解：設(shè)小球質(zhì)量為m，繩長(zhǎng)為l，取A至B間任意位置，繩與水平方向夾角為θ，此時(shí)瞬時(shí)速度為v。

此時(shí)重力的瞬時(shí)功率為P=mgvcosθ

若把小球的運(yùn)動(dòng)按水平方向和豎直方向進(jìn)行分解，在豎直方向上，當(dāng)合力為0，即豎直分加速度為0時(shí)，豎直分速度vcosθ就有最大值，則此時(shí)P就最大。如圖2所示。

圖2

可得N=3mgsinθ

【點(diǎn)評(píng)】本題中對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)做了兩次正交分解，一次是沿軌跡徑向和切向分解，另一次是沿水平和豎直方向分解，在自由切換中，明晰了物理情境，化繁為簡(jiǎn)。后面依然會(huì)涉及在同一個(gè)物理情境中作兩次或兩次以上的不同方向上的分解的問題。

【例2】如圖3所示，空間存在一個(gè)范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)中一質(zhì)量為m、帶電量為q(q<0)的小球(小球可看作質(zhì)點(diǎn))，從高為h處以豎直向下的速度v0拋出，若小球恰好不會(huì)與地面相碰，且運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為vm，以下關(guān)系式正確的是

圖3

( )

【分析】當(dāng)帶電粒子在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(或重力場(chǎng))所形成的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力(或重力)不平衡，電場(chǎng)力(或重力)會(huì)改變粒子的速度，而速度的變化又會(huì)使洛倫茲力不斷改變，使粒子做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，常規(guī)方法難以解決此類問題。針對(duì)這類問題，通常采用“配速法”即給帶電粒子配上一對(duì)等大反向的速度或者分解初速度，使其中一個(gè)速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力與電場(chǎng)力(或重力)平衡，則該速度對(duì)應(yīng)的分運(yùn)動(dòng)就是勻速直線運(yùn)動(dòng)；另一速度和對(duì)應(yīng)的洛倫茲力構(gòu)成另一分運(yùn)動(dòng)——?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，這樣就可將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單的勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

圖4

【例3】某位工人師傅用如圖5所示的裝置，將重物從地面沿豎直方向拉到樓上，在此過程中，工人師傅沿地面以速度v向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)量為m的重物上升高度為h時(shí)輕繩與水平方向成α角(重力加速度大小為g，滑輪的質(zhì)量和摩擦均不計(jì))，在此過程中，下列說法正確的是

圖5

( )

A.人的速度比重物的速度小

B.輕繩對(duì)重物的拉力小于重物的重力

C.重物的加速度不斷增大

C選項(xiàng)的判斷相對(duì)麻煩些，可以用下面幾種方法。例如趨于極限法，當(dāng)人在勻速向右運(yùn)動(dòng)過程中，α是不斷減小的，當(dāng)α趨近于0時(shí)，vG無限接近于v，速度增加的越來越慢，所以加速度減小，則C錯(cuò)誤；也可以利用數(shù)學(xué)微分的方法，將vG對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，即可解出重物加速度的表達(dá)式，得出結(jié)果，此處不再詳細(xì)解答。

圖6

【點(diǎn)評(píng)】本題巧妙利用運(yùn)動(dòng)的分解輕松地算出重物的加速度，避免了數(shù)學(xué)微分法繁復(fù)的計(jì)算過程，不失為一種捷徑。

【例4】如圖7所示，勁度系數(shù)為100 N/m的輕彈簧下端固定于傾角θ=53°的光滑斜面底端，上端連接物塊Q，Q同時(shí)與平行于斜面的輕繩相連，輕繩跨過定滑輪O與套在光滑豎直桿的物塊P連接，圖中O、B兩點(diǎn)等高，間距d=0.3 m。初始時(shí)在外力作用下，P在A點(diǎn)靜止不動(dòng)，A、B間距離h=0.4 m，此時(shí)輕繩中張力大小為50 N。已知P質(zhì)量為0.8 kg，Q質(zhì)量為5 kg?，F(xiàn)將P由靜止釋放(不計(jì)滑輪大小及摩擦，取g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)，下列說法正確的是

圖7

( )

A.P上升至B點(diǎn)時(shí)，彈簧的壓縮量為0.2 m

B.P由靜止釋放的瞬間，繩的拉力為50 N；P上升至B點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為30 N

C.P上升至B點(diǎn)的過程中，Q的加速度先增大后減小

D.P上升至B點(diǎn)的過程中，輕繩拉力對(duì)其所做的功為8 J

【解析】本題中AD選項(xiàng)是比較容易判斷的。由題意知，初始狀態(tài)時(shí)，彈簧處于拉伸狀態(tài)，由平衡條件可得彈簧拉力為T=kx0+mgsinθ，T=50 N，則x0=0.1 m；當(dāng)P上升至B點(diǎn)到達(dá)末狀態(tài)時(shí)，因?yàn)槔K子不可伸縮，Q下降Δx=0.2 m，所以此時(shí)彈簧是壓縮狀態(tài)，壓縮量為x=0.1 m，A錯(cuò)誤。

僅對(duì)B、C做出正誤判斷還是比較簡(jiǎn)單的，通過邏輯推理和定性分析就可以。由題意可知，Q初末狀態(tài)速度都是0，所以Q沿斜面方向先做向下的加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，所以Q的加速度先減小后增大，C錯(cuò)。P物塊釋放瞬間和到達(dá)B點(diǎn)瞬間，沿繩方向上的加速度都不可能是0，而B選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)即繩的拉力 50 N 和30 N很顯然都是按照Q處于平衡狀態(tài)計(jì)算出來的，所以一定是錯(cuò)誤的，B錯(cuò)誤。

但是如果想要更加準(zhǔn)確的計(jì)算出運(yùn)動(dòng)過程中繩的拉力及兩物塊的加速度，就需要對(duì)P物塊的運(yùn)動(dòng)做更加巧妙的分解。首先對(duì)物塊P在運(yùn)動(dòng)過程中的任意一個(gè)時(shí)刻進(jìn)行受力分析及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析。

物塊P從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，P始終沿桿做豎直向上的直線運(yùn)動(dòng)，所以P受到向下的重力，沿繩方向的拉力，水平向左的桿的彈力，這三個(gè)力的合力始終沿桿方向，先向上后向下，取合外力向上的一個(gè)時(shí)刻為例來分析(合外力向下時(shí)，把所有力反向即可)。如圖8所示，首先把物塊P沿桿向上的速度v分解為沿繩方向上的分速度v1和垂直于繩方向上的分速度v2，再把物塊P受到的合外力F分解為沿繩方向上的F1和垂直于繩方向上的F2，再進(jìn)一步把F1等效分解為沿繩方向指向O點(diǎn)的向心力F向和沿繩方向上的另一個(gè)力F線，F(xiàn)線有可能指向O點(diǎn)，也有可能背向O點(diǎn)，如圖9所示。

圖9

圖10

圖11

由上面計(jì)算可知B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。Q在撤去外力時(shí)的加速度為沿斜面向下的加速度aQ0=6.4 m/s2，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的加速度是沿斜面向上的加速度aQ=40 m/s2，整個(gè)過程是漸變的過程，所以Q的加速度先減小后反向增大，C錯(cuò)。綜上所述，本題答案為D。

通過以上四個(gè)例題的解析，我們可以看到，當(dāng)遇到較為復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)或某些涉及牽連物體的直線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，可以采用另類運(yùn)動(dòng)的合成和分解方法，巧妙地把不熟悉的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為熟悉的運(yùn)動(dòng)來處理，就可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，解決常規(guī)方法解決不了的問題。不但能夠幫助學(xué)生解決問題，也可以促進(jìn)學(xué)生思維訓(xùn)練，提升學(xué)習(xí)興趣。