利用復擺測量重力加速度及對擺的位形參數(shù)的測量

隋林泓 劉利霜 趙鑫雨 曹彥煜 賈春碩 李喜彬

（內(nèi)蒙古師范大學物理與電子信息學院 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

重力加速度在工程物理的各個領(lǐng)域中都扮演著重要的角色，因此，精確地測量當?shù)氐闹亓铀俣纫恢笔枪こ涛锢韺嵺`中的一項重要任務(wù).對重力加速度的測量方法有很多，比如單擺法［1］，懸掛彈簧法［2］，當然最簡單的辦法是在小球上貼一個加速度傳感器.不過以上方法只能實現(xiàn)一次測量，無法給出不同物理量下的實驗數(shù)據(jù)，這就增大了實驗的偶然誤差.本實驗最大的亮點在于可以通過懸掛不同質(zhì)量磁鐵的方法，獲得多組數(shù)據(jù)，并利用回歸分析的方法，有效地降低了偶然實驗誤差，從而提高了實驗精度.

1 實驗?zāi)康?/h2>

對當?shù)刂亓铀俣冗M行精確地測量，以及對鋼尺不規(guī)則部分有效長度的測量.

2 實驗器材（含規(guī)格）及成本

硬件：鋼尺（5 cm）、釹鐵硼磁鐵10塊（40 m m×20 m m×5 m m）、游標卡尺、天平、長尾夾、MR63ZZ微型軸承（Dφ6 m m×dφ3 m m×B2.5 m m）、智能手機、計算機.

軟件：phyphox，M ATLAB R2019，Anaconda3，Adobe illustrator CC2019.

成本：10塊釹鐵硼磁鐵約40元，50 cm鋼尺10元，軸承1.5元，其余物品儀器均可在實驗室或者日常生活中找到，總成本約50元.

說明：這里沒有用到復擺支架，是因為實驗過程中要在鋼尺的一端吸附上磁鐵，而復擺的支架同樣為鐵質(zhì)，會對實驗產(chǎn)生非常大的影響.

3 實驗原理

實驗裝置的原理圖如圖1所示，O點為旋轉(zhuǎn)中心.旋轉(zhuǎn)中心到下邊緣的距離為l1，其分布的質(zhì)量為m1，剩余的質(zhì)量為m2.鋼尺總質(zhì)量M=m1+m2，下端磁鐵質(zhì)量為m.由于上端的質(zhì)量分布不是規(guī)則的，這里設(shè)有效長度為l2，即質(zhì)量為m2的物質(zhì)分布在長度l2上，而且這個長度可以通過本實驗測量得到.

圖1 實驗裝置原理示意圖

由上面的討論可以得到如下關(guān)系.

設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量為I，由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

得到系統(tǒng)的運動方程為

在小擺角條件下，式（3）可以近似為

可對上式中的角頻率作進一步的處理

這里用到了式（1）.在式（5）的分母上，雖然l2要比l1小很多，但為了保證實驗的精度，這里保留關(guān)于l2的一階項，但忽略l2的二階項，并定義有效質(zhì)量

于是，式（5）中的角頻率就可以寫為

復擺往復運動的周期就可以寫為

在實驗原理上，本實驗有如下優(yōu)勢.第一，對實驗裝置進行了盡可能詳細的理論計算，并分析了它對實驗結(jié)果帶來的影響.第二，通過在鋼尺末端吸附不同質(zhì)量的磁鐵，即改變變量m來得到不同情況下的運動周期，從而排除了偶然誤差對實驗結(jié)果的影響.第三，所需測量的物理量，包括擺長l1、擺錘運動周期T以及懸掛磁鐵的質(zhì)量m，都可以進行精確地測量，相對誤差均遠小于.最后，可以通過非線性回歸分析得到鋼尺的有效質(zhì)量，從而確定有效位形參數(shù)l2.

4 實驗方法

原理圖圖1所對應(yīng)的實物圖如圖2所示，前文已經(jīng)明確說過，實驗中不應(yīng)該使用復擺架，這里只需放在一個比較空曠的位置即可.

圖2 原理圖1所對應(yīng)的實物圖

具體的實驗步驟如下.

（1）用游標卡尺測量50 cm處到圓孔上端的距離，如圖3所示，讀數(shù)為23.80 m m，鋼尺小孔直徑6.20 m m.則50 cm處到旋轉(zhuǎn)中心的距離l1為讀數(shù)減去軸承外直徑的一半，即l1=0.520 7 m.

圖3 鋼尺刻度50 cm處到小孔遠端的距離讀數(shù)

（2）取一個長尾夾的手柄并在末端反復纏繞透明膠帶，直到使得軸承恰好卡在上面不發(fā)生滑動.在軸承的外側(cè)纏上雙面夾帶，使得恰好嵌入在鋼尺的圓形切口處，并使之不發(fā)生相對滑動.用長尾夾將上面的裝置夾在空曠的位置，比如桌角處.

說明：使用軸承有以下幾個好處.第一，如果將鋼尺直接懸掛在懸針上，鋼尺會發(fā)生縱向滑動，這會嚴重地增加實驗誤差.第二，減小了摩擦力.第三，補償在鋼尺圓環(huán)處質(zhì)量的缺失.

（3）用天平測量需要吸附在鋼尺上磁鐵的質(zhì)量.

（4）將安裝有phyphox應(yīng)用程序的智能手機放在裝置下方約10 cm處，將需要進行實驗的磁鐵吸附在鋼尺末端，并調(diào)整位置，使得磁鐵的上邊緣恰好和鋼尺上的1 cm刻度重合，這樣磁鐵重心剛好落在了鋼尺的末端.

（5）給鋼尺一個合適的初始擺角（小于5°）并無初速度釋放.運行phyphox應(yīng)用程序的磁力計并記錄數(shù)據(jù)，一組記錄時長約65 s，保存數(shù)據(jù)并導入計算機.同樣的方法共記錄11組數(shù)據(jù).

（6）數(shù)據(jù)分析.

5 數(shù)據(jù)處理與分析

5.1 數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)顯示，復擺的運動具有很好的周期性，phyphox應(yīng)用程序記錄的周期性磁場如圖4所示.

將保存好的Excel文件由M ATLAB讀取、畫圖.打開圖片，找到圖像相對穩(wěn)定的一段（一般在25 s之后），選擇一個峰并放大直到可以看清最大值所在的位置，單擊該點，此時會顯示最大值處的坐標，橫坐標即為該峰頂點所在的時間坐標.再縮小，選擇和此峰間隔數(shù)為10的另外一個峰.重復上面的放大操作，得到這個峰的坐標.那么復擺的運動周期就是

圖5是懸掛質(zhì)量為26.0 g的數(shù)據(jù)獲取示意圖，數(shù)據(jù)可以精確到10-5s.

圖5 獲取復擺周期的方法示意圖

重復這個步驟，可獲得其他10組實驗的數(shù)據(jù)，其詳細的結(jié)果展示在表1中.

表1 懸掛磁鐵質(zhì)量與周期的實驗數(shù)據(jù)

5.2 非線性回歸分析

針對表1獲得的測量數(shù)據(jù)，采用式（8）定義的回歸函數(shù)，計算過程中利用M ATLAB軟件自帶的Non Linear Model.fit函數(shù)，最終得到最佳擬合結(jié)果是：重力加速度估計的中心值為g=9.803 9 m／s2，置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.803 9±0.023 006）m／s2，誤差為0.054%（當?shù)貥藴手亓铀俣葹間標準=9.798 64 m／s2），有效質(zhì)量估計的中心值為M*=114.79 g，0.95的置信區(qū)間為（114.79±3.617 9）g.同樣利用方差傳遞公式，得到有效位形參數(shù)的中心值為=6.760 6 m m（M=116.3 g），置信區(qū)間為（6.760 6±0.0162 4）m m.利用python軟件繪制出T2-m的數(shù)據(jù)點及擬合函數(shù)并帶有誤差棒，如圖6所示.

圖6 實驗數(shù)據(jù)的回歸分析圖

6 誤差分析

在之前的討論中可知，為了確定重力加速度需要測量如下幾個物理量：旋轉(zhuǎn)中心到鋼尺零刻度的距離，這是誤差最大的來源，首先旋轉(zhuǎn)中心到50 cm刻度處的距離測量誤差會比較大，但不會超過1 m m；磁鐵的寬度并沒有達到20 m m，事實上只有約19.6 m m，因此在磁鐵上端與鋼尺的10 m m處重合的同時，磁鐵的重心并未與鋼尺的零刻度處重合，但誤差不會超過0.3 m m，總體而言旋轉(zhuǎn)中心到鋼尺的零刻度的距離誤差大約在1 m m左右.利用天平測量釹鐵硼磁鐵的質(zhì)量時，系統(tǒng)誤差為0.1 g，但隨著磁鐵數(shù)量的增加，這個相對誤差會越來越小.振動周期利用相關(guān)軟件獲得，精度為10-4s，雖然有人為的誤差，但只要做到精細，這個誤差可以維持在10-4s.利用前面的計算，重力加速度可以寫為

利用誤差傳遞公式，重力加速度g的絕對誤差為

實驗的絕對誤差與相對誤差如表2所示.

表2 實驗數(shù)據(jù)誤差分析

7 結(jié)論

本實驗利用智能手機上的應(yīng)用程序phyphox，利用手機自帶的磁傳感器測量復擺末端規(guī)則磁鐵運動的周期，并付諸以其他計算機軟件，比較廉價但準確地測量出了呼和浩特市當?shù)氐闹亓铀俣?，值為g=9.803 9 m／s2，相對準確的測量值誤差僅為萬分之五.這個實驗還成功地測量出了鋼尺頂端不規(guī)則部分的有效位形尺寸.利用復擺測量加速度有如下優(yōu)勢：

第一，末端懸掛物為規(guī)則的條形磁鐵，磁鐵的中心剛好可以和鋼尺的末端重合，這就有效的減少了實驗中的誤差.

第二，不同于單擺實驗，復擺的運動周期依賴于擺錘的質(zhì)量，可以通過懸掛多塊磁鐵獲得不同質(zhì)量情況下的擺動周期，再利用回歸分析的方法，減小了實驗的偶然誤差，從而有效地提高了實驗的精度.

第三，結(jié)合智能手機上的應(yīng)用程序，簡化了實驗流程但提高了實驗精度，通過手機傳感器采集數(shù)據(jù)，成本更加低廉，操作上更加簡易，而且數(shù)據(jù)獲取更加靈活.

此外，該實驗很好地展示了剛體旋轉(zhuǎn)與非剛體旋轉(zhuǎn)的區(qū)別，不論是在高中階段的教學中，還是在本科階段力學課程的教學中，乃至在計算物理相關(guān)課程的教學中，都具有重要的啟發(fā)意義.