關(guān)于前沿研究融入電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)的探索

伏洋洋 董大興 劉友文

（南京航空航天大學(xué)理學(xué)院 江蘇 南京 211106）

電動(dòng)力學(xué)作為一門經(jīng)典的理論物理課，很多學(xué)生由于基礎(chǔ)沒有打牢，在面對(duì)電動(dòng)力學(xué)課程中大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，抽象的物理概念時(shí)，會(huì)覺得難以理解而逐漸失去學(xué)習(xí)興趣［1］.

另外，教學(xué)內(nèi)容過于陳舊，也很少聯(lián)系實(shí)際的問題，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決一些具體問題，這在一定程度上也降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.如何改進(jìn)電動(dòng)力學(xué)課程的教學(xué)模式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)師生之間的互動(dòng)交流成為亟需解決的問題［2］.

1 在教學(xué)中融入前沿研究的優(yōu)勢(shì)

事實(shí)上，每位教師或多或少了解一些與電動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理論有關(guān)的前沿科學(xué)研究，完全可以將一些合適的前沿成果融入到電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)中.比如，在光學(xué)領(lǐng)域蓬勃發(fā)展的等離激元光學(xué)、光子晶體、變換光學(xué)、超構(gòu)材料、超構(gòu)表面等前沿研究方向，更是與電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系.在這些前沿研究中，利用計(jì)算軟件（比如MATLAB）和數(shù)值仿真軟件（如COMSOL MULTIPHYSICS，簡(jiǎn)稱：COMSOL）計(jì)算電磁場(chǎng)特性、呈現(xiàn)物理圖像也成為主流手段.這些科研工具完全可以引入到電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)中去.M ATLAB強(qiáng)大的數(shù)學(xué)處理能力可以實(shí)現(xiàn)抽象“物理問題”可視化［3］，能夠讓學(xué)生在腦海中呈現(xiàn)清晰的物理圖像，對(duì)“不可見的”電磁場(chǎng)形成有效的認(rèn)知.CO MSOL則充當(dāng)“虛擬實(shí)驗(yàn)”的角色，可以對(duì)具體理論模型的電磁場(chǎng)問題進(jìn)行仿真模擬［4］，用以檢驗(yàn)理論的正確性，有效避免了真實(shí)實(shí)驗(yàn)中的操作繁瑣、體驗(yàn)效果差等缺點(diǎn).

通過在電動(dòng)力學(xué)教學(xué)中引入前沿研究成果，并以科研軟件M ATLAB和CO MSOL作為輔助工具，可以有效幫助學(xué)生直觀地觀察電磁現(xiàn)象，越過電動(dòng)力學(xué)概念抽象不易理解的門檻，拓展科學(xué)視野，并可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力.本文將結(jié)合一些超構(gòu)材料研究領(lǐng)域的前沿進(jìn)展，探討如何在電動(dòng)力學(xué)教學(xué)過程中融入相關(guān)的前沿科研成果，激發(fā)學(xué)生們的探索熱情，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的深入理解，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).下文給出一些具體教學(xué)實(shí)例，希望能夠給予讀者一些啟發(fā).

2 靜電教學(xué)實(shí)例

2.1 靜電隱身斗篷

以《電動(dòng)力學(xué)》（第三版 郭碩鴻著）教材第二章靜電場(chǎng)第3節(jié)拉普拉斯方程習(xí)題2為例：求解介電常數(shù)為ε1的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)時(shí)的電勢(shì)分布，如圖1（a）所示.由拉普拉斯方程得到介質(zhì)球內(nèi)外電勢(shì)的通解，利用邊界條件，可以求出介質(zhì)球內(nèi)外區(qū)域的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.如果學(xué)生僅僅滿足數(shù)學(xué)求解過程而無法清晰理解物理本質(zhì)，電動(dòng)力學(xué)對(duì)于學(xué)生來說便只是一門復(fù)雜的數(shù)學(xué)課程.

圖1 介質(zhì)球殼結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)靜電隱身M ATLAB理論計(jì)算和CO MSOL數(shù)值仿真

回到例題，我們得到了球內(nèi)外電勢(shì)的解為

其中，R0為球半徑，r為空間點(diǎn)到球心的距離（球心為坐標(biāo)原點(diǎn)），ε0為真空介電常數(shù)，E0為背景靜電場(chǎng)大小.從該結(jié)論出發(fā)，我們可以考慮到兩種極端情況：

（1）ε1→-∞，此時(shí)介質(zhì)從數(shù)值計(jì)算上可近似被看作金屬對(duì)待，因而在靜電平衡條件下，球內(nèi)不再有電場(chǎng)且電勢(shì)為零.

（2）ε1=ε0，即介質(zhì)球被空氣代替時(shí)，介質(zhì)球?qū)υ磮?chǎng)的影響不復(fù)存在，我們對(duì)各處電勢(shì)的計(jì)算回歸到φ=-E0rcosθ.由該點(diǎn)出發(fā)，我們可以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，是否能夠設(shè)計(jì)出一種球殼結(jié)構(gòu)，即在介質(zhì)球外加另一層介質(zhì)球殼，最終使球外的電場(chǎng)依然為勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖1（b）所示.此時(shí)，我們便無法從外部電場(chǎng)的分布判斷介質(zhì)球是否存在，這也就是所謂的靜電隱身效果［5］.如前文所述，將拉普拉斯方程的通解求解過程拓展到該球殼結(jié)構(gòu)，可解出結(jié)構(gòu)外的電勢(shì)分布為

其中

為散射勢(shì)場(chǎng)系數(shù)，ε2為球殼層的介電常數(shù),為球殼內(nèi)外半徑比（a和b分別為球殼內(nèi)半徑和外半徑）.當(dāng)散射電勢(shì)分布為零（D=0），即達(dá)成了靜電隱身?xiàng)l件.假定內(nèi)核球設(shè)定為金屬時(shí)（ε1→-∞），靜電隱身?xiàng)l件滿足

通過該隱身?xiàng)l件，利用M ATLAB可以呈現(xiàn)理論計(jì)算的靜電隱身的“物理圖像”.進(jìn)一步地利用相關(guān)參數(shù)，結(jié)合CO MSOL的模擬實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證理論計(jì)算的有效性.圖1（c）與圖1（d）是分別使用M ATLAB和CO MSOL展現(xiàn)的球殼在空間中引起的電勢(shì)變化及電場(chǎng)強(qiáng)度（顏色分布表示空間電勢(shì)變化，黑色箭頭表示電場(chǎng)方向），可以觀察到中心金屬電勢(shì)為零，而空間電勢(shì)分布以及電場(chǎng)強(qiáng)度分布在球殼結(jié)構(gòu)外是均勻的，所有擾動(dòng)只存在其內(nèi)部，因此實(shí)現(xiàn)了靜電隱身的效果.基于此，和學(xué)生一起探討該靜電隱身的物理本質(zhì)是分布在兩個(gè)內(nèi)外球面上束縛電荷的等效“偶極子”散射相消的結(jié)果.因此，前沿研究在幫助學(xué)生深入理解課本例題的同時(shí)，也提升其創(chuàng)新意識(shí)和能力，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)及科研工作大有裨益.

2.2 靜電場(chǎng)下的有效媒介設(shè)計(jì)

除靜電隱身問題之外，我們也可選擇性地啟發(fā)學(xué)生探討靜電場(chǎng)下的有效電介質(zhì)設(shè)計(jì)研究.在研究靜電隱身模型時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無論單層介質(zhì)球還是雙層介質(zhì)球殼外的電勢(shì)總是有著相似的表達(dá)式cosθ.該表達(dá)式由兩部分構(gòu)成，即背景電勢(shì)和介質(zhì)球引發(fā)的散射電勢(shì).若將單層介質(zhì)球和雙層介質(zhì)球殼散射勢(shì)場(chǎng)系數(shù)進(jìn)行等量匹配，則二者將具有完全相同的電磁響應(yīng).物理上來講，雙層介質(zhì)球殼中的復(fù)合電磁參數(shù)等價(jià)為相同尺寸單層介質(zhì)球中的均勻有效參數(shù)

比如，在設(shè)定球殼內(nèi)外層材料由二氧化硅和銀構(gòu)成（假定二氧化硅的相對(duì)介電常數(shù)為2.42，銀為-4.7），只改變球殼內(nèi)外半徑之比，其等效介電常數(shù)可以被有效調(diào)節(jié).

圖2（a）和（b）分別是M ATLAB計(jì)算的球殼結(jié)構(gòu)（內(nèi)層為二氧化硅，外層為銀；內(nèi)層為銀，外層為二氧化硅）的等效介電常數(shù)，自變量k為內(nèi)外半徑比.可以發(fā)現(xiàn)，該等效介電常數(shù)是可以通過控制半徑比調(diào)整的，擴(kuò)大了可用電磁參數(shù)的范圍，也為新型電磁材料的產(chǎn)生提供了渠道.比如，我們以內(nèi)層為銀，外層為二氧化硅為例［圖2（b）］，當(dāng)內(nèi)外半徑比為0.5時(shí)，球殼的等效介電常數(shù)為-3.1.圖2（c）和（d）是基于CO MSOL數(shù)值仿真的有等效介電常數(shù)的介質(zhì)球和復(fù)合參數(shù)的球殼結(jié)構(gòu)對(duì)相同均勻靜電場(chǎng)響應(yīng)的模擬場(chǎng)圖，二者完全相同（顏色分布表示空間電勢(shì)分布，黑色箭頭表示電場(chǎng)方向，坐標(biāo)原點(diǎn)位于球心），證實(shí)了基于M ATLAB中的理論計(jì)算.該仿真計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生們極易上手，能夠幫助學(xué)生充分理解等效電磁參數(shù)的意義.

圖2 介質(zhì)球殼結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)MATLAB計(jì)算和COMSOL數(shù)值仿真

3 電磁波傳播教學(xué)實(shí)例

3.1 奇異介質(zhì)界面的透反射

電磁波傳播作為電動(dòng)力學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要部分，絕大多數(shù)教材都會(huì)講述電磁波在均勻介質(zhì)、有耗介質(zhì)、兩種介質(zhì)分界面和受限空間（矩形波導(dǎo)）等系統(tǒng)中的傳播性質(zhì).以電磁波在介質(zhì)界面反射、折射一節(jié)為例，通過菲涅爾公式，學(xué)生學(xué)習(xí)了不同偏振下的反射系數(shù)和透射系數(shù)，了解了典型的光學(xué)現(xiàn)象，如布儒斯特角、全反射等.如圖3（a）所示，這里可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握有限厚度的電介質(zhì)平行板的反射系數(shù)和透射系數(shù)

其中Z為阻抗，對(duì)于橫電（TE）偏振，Z=對(duì)于橫磁（TM）偏振，Z=為介質(zhì)中垂直平板表面的波數(shù)分量，kx為空氣中垂直平板表面的波數(shù)分量，ε′和μ′分別為介質(zhì)板的相對(duì)介電常數(shù)及相對(duì)磁導(dǎo)率.通過對(duì)比這兩個(gè)體系的反射系數(shù)和透射系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探討其中的Fab ry-Perot共振機(jī)制，如圖3（b）所示.此外，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考在光密到光疏介質(zhì)環(huán)境下，入射波超過其臨界角入射時(shí)，一定會(huì)出現(xiàn)全反射嗎？是否存在奇異的電磁材料能夠打破常規(guī)認(rèn)識(shí)：超過臨界角時(shí)，甚至可以無反射波？引導(dǎo)學(xué)生分析介質(zhì)平行板的反射系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)存在電磁參數(shù)復(fù)共軛且純虛的超構(gòu)材料可以實(shí)現(xiàn)超過其臨界角時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)全反射現(xiàn)象［6］，并在其滿足一定阻抗條件下實(shí)現(xiàn)無反射的電磁場(chǎng)衰減或電磁場(chǎng)放大效應(yīng).圖3（c）和（d）是CO MSOL的模擬場(chǎng)圖（顏色分布表示空間電／磁場(chǎng)分布，黑色箭頭表示能流分布，入射波的振幅為1），完美驗(yàn)證了理論結(jié)果：在超構(gòu)材料電磁參數(shù)為ε=0.5i，μ=-0.5i（有效折射率為0.5）且入射角度為39.2°時(shí)，TE入射波是實(shí)現(xiàn)無反射的電磁場(chǎng)放大效應(yīng)，而TM 入射波實(shí)現(xiàn)了無反射的電磁場(chǎng)衰減效應(yīng)［6］.此外，該結(jié)構(gòu)體系還具有其他的新奇物理現(xiàn)象值得師生共同探討其中的物理機(jī)制.

圖3 電介質(zhì)平行板的Fab ry-Perot共振現(xiàn)象和基于超構(gòu)材料的無反射電磁場(chǎng)放大／衰減效應(yīng)

3.2 二維金屬平行板波導(dǎo)

在電磁波傳播的教學(xué)內(nèi)容中，矩形波導(dǎo)中的電磁模式傳播問題相對(duì)比較復(fù)雜，如圖4（a）所示，通過分離變量等手段求出電磁波導(dǎo)中的特征傳播常數(shù)

很多教材會(huì)在列出截止頻率后，指明三維波導(dǎo)中TE波模式的基模為TE01或TE10模.對(duì)于TM波而言，m及n則都不可為零.當(dāng)x或y方向波導(dǎo)寬度為無限大時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生研究金屬平行板波導(dǎo)［如圖4（b）所示］的電磁模式傳播問題，該情況下的波導(dǎo)傳播常數(shù)

圖4（c）是通過M ATLAB列出的不同波導(dǎo)模式的傳播常數(shù)與波數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)TE波與TM 波的差異僅在于是否存在零模，也就是說TE波的基模為TE1，而T M 波無截止頻率，其基模為TM0（對(duì)應(yīng)自由空間的TEM模式）.這些結(jié)果在CO MSOL的仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虻玫阶C實(shí).從圖4（d）中我們能發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們?nèi)D4（c）中總波數(shù)為6.28時(shí)，TE0模不存在，TM0模能夠被激發(fā).對(duì)于TM1或TE1模式來說，兩種偏振波都能夠被激發(fā).而對(duì)于TM2或TE2模式，兩種偏振波是倏逝波，在波導(dǎo)中發(fā)生了迅速的衰減而無法傳播.通過CO MSOL數(shù)值仿真，學(xué)生能夠清晰地觀察到不同波導(dǎo)模式的傳播情況，增加了對(duì)課本三維矩形波導(dǎo)傳播規(guī)律的深入理解.該二維金屬平行板波導(dǎo)還可以與其他材料結(jié)構(gòu)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)不同的物理機(jī)制探索一些奇特的波導(dǎo)光學(xué)現(xiàn)象.比如，在二維金屬平行板波導(dǎo)中間引入漸變折射率電介質(zhì)材料，通過波導(dǎo)模式演化機(jī)制，實(shí)現(xiàn)多樣化的波導(dǎo)功能器件［7］.

圖4 二維金屬平行板波導(dǎo)傳播模式和模擬場(chǎng)圖

4 結(jié)束語

筆者關(guān)于前沿研究融入電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)的探索和實(shí)踐，并通過以上的實(shí)例展示，我們可以發(fā)現(xiàn)，前沿研究可以讓電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容得到拓展和延伸.科研軟件的使用可以讓教學(xué)具有生動(dòng)性，幫助學(xué)生理解抽象的理論知識(shí).依照類似的方法和思路，其他前沿研究成果也可以巧妙地融入到電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)中去［8］.需要注意的是，針對(duì)不同學(xué)校的學(xué)生能力、水平的差異，相關(guān)前沿成果的選擇難度要因地制宜，同時(shí)要保證一定的階梯性，能夠讓不同層次的學(xué)生都能參與其中，實(shí)現(xiàn)不同的發(fā)展目標(biāo).比如，能力較差的學(xué)生可以通過仿真實(shí)例的趣味性、操作自由等特點(diǎn)調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)興趣，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；能力較強(qiáng)的學(xué)生可以在挑戰(zhàn)學(xué)科前沿知識(shí)的過程中鍛煉其思維方式、發(fā)明創(chuàng)新等能力，能夠形成一定的自主科研能力.前沿研究與電動(dòng)力學(xué)教學(xué)結(jié)合的案例值得有關(guān)高校教師進(jìn)一步探索，使具有悠久歷史的電動(dòng)力學(xué)課程不斷添加科技發(fā)展的新鮮血液，讓電動(dòng)力學(xué)的課程教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)經(jīng)典和前沿、基礎(chǔ)和創(chuàng)新、理論和實(shí)際的緊密結(jié)合，滿足新時(shí)代下基礎(chǔ)學(xué)科人才培養(yǎng)的需求.