深入理解教材 把握方程本質(zhì)
——《方程的意義》一課教材解讀

文|何海濱

讀懂教材是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的前提，在讀懂教材的同時(shí)，要深入把握知識(shí)的本質(zhì)，才能準(zhǔn)確提煉有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的核心問題。下面以人教版教材《方程的意義》一課為例，談?wù)勅绾卧诮庾x教材中把握本質(zhì)，有效提煉核心問題。

一、溝通聯(lián)系，借實(shí)物來理解等式

方程是含有未知數(shù)的等式，認(rèn)識(shí)等式是認(rèn)識(shí)方程的前提。等式是方程的生長點(diǎn)，教學(xué)方程的概念要從等式引入。在學(xué)生的日常學(xué)習(xí)中，經(jīng)常接觸等式，這時(shí)的等式多數(shù)是對某個(gè)式子運(yùn)算而得出來，例如為計(jì)算“12+20”這一式子得到“12+20=32”這一等式。此時(shí)，學(xué)生對等式“32”的認(rèn)知是一個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果，式子與結(jié)果在學(xué)生的認(rèn)知中更多的是因果關(guān)系的存在，對其等式的感知較為薄弱。表示兩個(gè)量或兩個(gè)表達(dá)式相等的式子叫做等式，小學(xué)生理解等式的含義、形成等式的概念并不容易。如何從已有的認(rèn)知入手，讓學(xué)生充分感受等式的這一特點(diǎn)，教材采用了天平這一實(shí)物，讓學(xué)生從具體的情境中來理解抽象的數(shù)學(xué)算式，體驗(yàn)等式的含義。

借助天平能夠直觀地表現(xiàn)“相等”和“不相等”兩種現(xiàn)象。天平的兩個(gè)托盤相當(dāng)于等式的左右兩邊，當(dāng)天平平衡時(shí)，就表示兩個(gè)托盤的物體質(zhì)量相等，可以用等號(hào)連接兩邊物體的質(zhì)量，從而形成等式。圖1中借助天平展示左邊有2個(gè)50g的砝碼，右邊有1個(gè)100g的砝碼，左邊代表的是“50+50”的式子，右邊代表的是一個(gè)質(zhì)量為“100”的量，兩個(gè)托盤表示兩種不同的意義，借助天平左右兩邊平衡，幫助學(xué)生建立兩者之間的相等關(guān)系。圖2則是通過發(fā)現(xiàn)空杯和100g的砝碼剛好平衡，利用空杯與天平是方程的形象支撐，得出一只空杯質(zhì)量為100g，這時(shí)學(xué)生感受到的是平衡就代表等量，可以借助天平平衡的特點(diǎn)來求解未知的量。

圖1

圖2

二、體驗(yàn)過程，在變化中感受關(guān)系

表示等量關(guān)系是形成方程的核心。學(xué)生形成關(guān)于方程的概念，不僅要知道方程是含有未知數(shù)的等式，更要體驗(yàn)方程能夠表示數(shù)量之間的相等關(guān)系。認(rèn)識(shí)方程的意義，不能局限于它的外在特點(diǎn)，還要凸顯它是表示相等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)形式。教材借助系列圖，通過兩種變化，讓學(xué)生去感受數(shù)量之間的關(guān)系。

圖3中學(xué)生向杯中加水，天平失衡。提出問題“如果水重xg，杯子和水共重……”由此引發(fā)學(xué)生對“一杯水水有多重”這一方程的主要因素——未知量的感知。

圖3

圖4則是分別添加100g砝碼，發(fā)現(xiàn)天平左右失衡，得出100+x＞200和100+x＜300兩個(gè)不等式。許多教師在這里存在著不解，方程的意義與等量有關(guān)，為什么要出現(xiàn)不等式？教材的意圖并非為引入不等式，而是讓學(xué)生帶著“一杯水有多重”這一問題，借助兩次調(diào)整砝碼的過程，體驗(yàn)到天平左右兩邊的關(guān)系并未形成等量關(guān)系，因而等式不能成立，同時(shí)在過程中感受水的重量所在的區(qū)間，為等量關(guān)系的建立埋下伏筆——當(dāng)呈現(xiàn)砝碼為250g的時(shí)候，天平平衡了，學(xué)生在體驗(yàn)中得知“100+x”和250的相等關(guān)系，從而引導(dǎo)得出100+x=250。

圖4

教材借助情境圖的變化，通過盤秤的情境，以等量關(guān)系蘊(yùn)含在圖畫中的形式呈現(xiàn)方程的相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷從相等到不等再到相等的過程，感受量與量之間的變化關(guān)系。既讓學(xué)生探索隱含其中的等量關(guān)系，也使學(xué)生經(jīng)歷了用半符號(hào)語言表達(dá)等量關(guān)系、用未知數(shù)x來表達(dá)等量關(guān)系的過程，讓學(xué)生在過程中感受方程的形成過程。

三、把握本質(zhì)，在應(yīng)用中建立模型

方程的內(nèi)涵本質(zhì)是什么？張奠宙教授指出：方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。方程是描述客觀世界中數(shù)量關(guān)系之間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個(gè)等量關(guān)系。方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過程，一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程。在小學(xué)中方程不僅僅是一個(gè)概念而已，方程是有用的，是從現(xiàn)實(shí)情境到用自然語言等價(jià)地表達(dá)出來。方程的教學(xué)應(yīng)該經(jīng)歷“生活中的提煉，到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的過程，再到最終解決方程問題”。

當(dāng)學(xué)生借助天平的情境圖理解等式與方程的關(guān)系后，教材從生活入手，出現(xiàn)了每本練習(xí)本x元，三本練習(xí)本一共2.4元的情境（如圖5），這里把每本練習(xí)本的單價(jià)——“x元”當(dāng)成一個(gè)量存在，但這是一個(gè)未知量，需要找到等量關(guān)系來列式解決，從而出現(xiàn)3x=2.4這一方程。在解決問題中理解數(shù)量關(guān)系，建立方程的模型——“像100+x=250；3x=2.4……這樣含有未知數(shù)的等式就是方程”。

圖5

四、深化思考，在理解中深刻認(rèn)識(shí)

能順利辨認(rèn)方程的樣子就是認(rèn)識(shí)方程了嗎？能流利地說出方程的定義就是理解方程了嗎？這顯然是狹隘的理解方程。

史寧中教授曾提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知量的等式’，但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn)，在這個(gè)共同點(diǎn)上兩個(gè)故事的數(shù)量相等?！币簿褪钦f，從定義出發(fā)去判斷一個(gè)式子是不是方程，意義不大，關(guān)鍵是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。而學(xué)生必須要掌握的是要用數(shù)學(xué)的符號(hào)把要說的話（即兩件事情等價(jià)）表達(dá)出來。

如何理解史寧中教授的話，我們舉一個(gè)例子來說，例如，從甲地到乙地，客車每小時(shí)行a千米，m小時(shí)到達(dá)。貨車每小時(shí)行b千米，n小時(shí)到達(dá)。這里講的是客車行駛和貨車行駛的兩件事，兩件事的共同點(diǎn)是都從甲地到乙地，找到了共同點(diǎn)，就明白了兩車所行的路程相等,也就有了a×m=b×n這一關(guān)系，不論速度和時(shí)間有什么變化，它們兩者之間的等量關(guān)系是一直存在的，在解決問題的過程中，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們就可以解決生活問題中的未知量。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，對學(xué)生來說是思維方式上的一次飛躍。學(xué)生能否通過學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)變，直接關(guān)系到學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展。只有認(rèn)真解讀教材，基于方程的本質(zhì)來理解方程的意義，才能促進(jìn)學(xué)生思維的提升。