在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中理解“余數(shù)”
——《有余數(shù)的除法》教學(xué)片斷與思考

文|張 彥

《有余數(shù)的除法》是蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。作為這個(gè)單元的起始課，本課教學(xué)的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)“有余數(shù)的除法”，難點(diǎn)是理解“余數(shù)要比除數(shù)小”。在教學(xué)中，教師的目光不能僅僅停留在課時(shí)的知識(shí)點(diǎn)上，而是要具備知識(shí)、方法和過(guò)程的結(jié)構(gòu)意識(shí)，進(jìn)行整體架構(gòu)。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生，對(duì)“有余數(shù)的除法”的知識(shí)建構(gòu)和意義理解感到比較抽象深?yuàn)W，基于這樣的學(xué)情，怎樣促進(jìn)學(xué)生理性思維發(fā)展呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是打開學(xué)習(xí)的有效方式，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，“做”中學(xué)，在問(wèn)題啟思下，借助實(shí)驗(yàn)材料，展開操作和交流，從而認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法，理解余數(shù)和除數(shù)之間的關(guān)系。

片斷一：在“分蘋果”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中完善建構(gòu)

師：同學(xué)們，認(rèn)識(shí)它嗎？（小豬佩奇）

師：小豬佩奇正在果園里摘蘋果。摘了10個(gè)蘋果（出示10個(gè)蘋果圖），每人分2個(gè)，可以分給幾人呢？

生：5人。

師：每人分2個(gè)，也就是2個(gè)2個(gè)分，可以分給5人，正好分完。佩奇把結(jié)果記了下來(lái)。

師：那10個(gè)蘋果，如果每人分3個(gè)，結(jié)果會(huì)怎樣？每人分4個(gè)？5個(gè)呢？動(dòng)手分一分、填一填、說(shuō)一說(shuō)。

師：我們可以像佩奇那樣，同桌合作，用圓片代替蘋果分一分，把每次分的結(jié)果記在表格里。再互相說(shuō)一說(shuō)，每次分得的結(jié)果怎樣？

交流：老師收到了這些分法，看得懂嗎？你們也是這樣分的嗎？誰(shuí)來(lái)介紹一下？結(jié)合圖說(shuō)一說(shuō)。

生1：10個(gè)蘋果，每人分3個(gè)，可以分給3人，還剩1個(gè)。

生2：10個(gè)蘋果，每人分4個(gè)，可以分給2人，還剩2個(gè)。

生3：10個(gè)蘋果，每人分5個(gè)，可以分給2人。

出示《記錄單》：

?

師：把10個(gè)蘋果平均分，我們得到了這些結(jié)果。仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？同桌討論。

生：有的正好分完，有的有剩余。

師：（追問(wèn)）哪些情況是正好分完的？有剩余的呢？

發(fā)現(xiàn)：把10個(gè)蘋果平均分，會(huì)出現(xiàn)兩種情況：正好分完、有剩余。

【思考：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是簡(jiǎn)單的動(dòng)手操作，而是促進(jìn)學(xué)生對(duì)未知探索、主動(dòng)思考和發(fā)現(xiàn)的一種方式，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是“10個(gè)蘋果，每人分2個(gè)，可以分給5人，正好分完”，那每人分3個(gè)、4個(gè)呢？這就產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，在結(jié)果不可知的情況下，教師組織學(xué)生用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式去探究發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的必要性與合理性，通過(guò)有序地分一分，記錄分的結(jié)果，根據(jù)過(guò)程體驗(yàn)和數(shù)據(jù)觀察，較好地感受平均分有兩種情況，“正好分完”和“有剩余”，幫助學(xué)生形成更加完整的知識(shí)體系架構(gòu)。】

片斷二：在“除法算式”表征中滲透數(shù)形結(jié)合思想

師：像這樣正好分完，你會(huì)用除法算式表示嗎？

生：10÷2=5（個(gè)）。

師：這一種有剩余的情況，也可以寫一個(gè)除法算式嗎？

生：10個(gè)蘋果，每人分3個(gè)，可以分給3人，10÷3=3（人）。

師：還剩1個(gè)可以怎樣表示呢？可以在后面點(diǎn)上6個(gè)小圓點(diǎn)（……），再在小圓點(diǎn)（……）后寫1（個(gè)）。

師：會(huì)讀嗎？

生：10除以3等于3人還剩下1個(gè)。

師：剩下1個(gè)就是“余1個(gè)”。

師：這個(gè)算式表示什么意思？誰(shuí)能完整地說(shuō)一說(shuō)？

生：10個(gè)蘋果，每人分3個(gè)，可以分給3人，還剩1個(gè)。

師：兩個(gè)“3”，意思相同嗎？分別表示什么？1呢？

介紹：1表示剩下的個(gè)數(shù)，不夠再分，在除法中，它就叫“余數(shù)”。這就是有余數(shù)的除法。

師：今天這節(jié)課我們就來(lái)認(rèn)識(shí)《有余數(shù)的除法》（揭示課題）。

師：10個(gè)蘋果，每人分4個(gè)，也可以用有余數(shù)的除法算式來(lái)表示嗎？

生：10÷4=2（人）……2（個(gè)）。

師：兩個(gè)2表示的意思相同嗎？

生：商2表示可以分給2人，余數(shù)2表示剩下2個(gè)蘋果。

【思考：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)操作結(jié)果加以提煉，進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。10個(gè)蘋果，每人分3個(gè)，可以分給3人，還剩1個(gè)。從圖形表征到算式表征，提出有余數(shù)的除法算式，展開讀寫認(rèn)知，結(jié)合平均分的過(guò)程與結(jié)果，在抽象的算式與直觀的操作之間建立聯(lián)系，溝通有余數(shù)除法算式的算理，理解其含義，這樣的教學(xué)活動(dòng)更利于學(xué)生形成初次的有余數(shù)除法的算式表達(dá)，建立有余數(shù)除法的算式模型?！?/p>

片斷三：在“擺小棒”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中探究余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系

1.動(dòng)手做：“用12、13、14根小棒擺正方形”。

師：佩奇分完了蘋果，又在做什么了？他在擺小棒！

佩奇：我用4根小棒擺1個(gè)正方形，8根小棒擺2個(gè)正方形。像這樣用12、13、14根小棒擺正方形，結(jié)果會(huì)怎樣呢？

師：你們會(huì)和佩奇一起來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題嗎？我們來(lái)動(dòng)手做一做。

師：同桌合作，先用小棒擺一擺，根據(jù)結(jié)果寫算式，填在表格里，完成后，同桌互相交流你們的想法。

教師巡視，了解學(xué)生用小棒擺正方形的過(guò)程和結(jié)果。

師：這些擺法你都看得懂嗎？都對(duì)嗎？誰(shuí)來(lái)給大家完整地介紹一下？

學(xué)生介紹擺法和記錄情況（如圖）。

師：你們也是這樣擺的嗎？

師：這些商表示什么？余數(shù)呢？

生：商表示正方形的個(gè)數(shù)，余數(shù)表示剩下的小棒根數(shù)。

2.靜心想：用“15、16根小棒擺正方形”。

師：觀察以上這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？如果用15根小棒擺正方形結(jié)果會(huì)怎樣？用16根小棒呢？

挑戰(zhàn)：你能不用小棒，直接想一想，寫出算式嗎？在《作業(yè)單》上試一試。

教師巡視，收集學(xué)生資源。

師：老師收集了兩份作業(yè)，比較一下，有什么相同和不同？

生：15除以4的算式和結(jié)果是相同的，16除以4的結(jié)果不同。

師：（圈出15的兩個(gè)算式）沒有擺小棒，是怎么想到15根可以擺成3個(gè)正方形，還剩3根的呢？

生：可以根據(jù)14根來(lái)想，因?yàn)?5根比14根多1根，14根可以擺3個(gè)正方形，余2根，那么15根就還是可以擺3個(gè)正方形，余3根。

師：你真有辦法，不用小棒，根據(jù)14根就能直接推想出15根的結(jié)果。

師：是??！15比14多1根，可以擺3個(gè)正方形，還剩3根。算式是：15÷4=3（個(gè)）……3（根）。

師：（圈出16的兩個(gè)算式）關(guān)于16根，兩個(gè)算式結(jié)果不一樣，你們贊同誰(shuí)的呢？為什么？

生1：余數(shù)不能是4。因?yàn)橹灰獫M4根就可以擺成一個(gè)正方形。

生2：剩下的只能是不夠擺的，不滿4根的，也就是余數(shù)要比4小，不能是4。

生3：在這里，剩下的根數(shù)只會(huì)是1、2、3根，不會(huì)是4根。

師：把這4根再擺成一個(gè)正方形，所以，商3變成了4，現(xiàn)在的余數(shù)是幾？（0）余數(shù)是0，可以省略不寫。

形成算式：16÷4=4（個(gè)）。

3.揭示余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。

師：小棒根數(shù)在變，余數(shù)也在變，這里的余數(shù)大小有什么秘密呢？同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

感悟：余數(shù)可能是1、2、3，不能是4，余數(shù)比4小。

師：在除法算式中，余數(shù)和除數(shù)有怎樣的關(guān)系呢？

生：余數(shù)都比除數(shù)小。

師：如果繼續(xù)擺，17÷4，余數(shù)是幾呢？18÷4？19÷4？20÷4呢？

學(xué)生再次感悟余數(shù)比除數(shù)小。

【思考：引導(dǎo)學(xué)生理解“余數(shù)要比除數(shù)小”，這是本課難點(diǎn)。教師仍采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式推進(jìn)教學(xué)，在積累學(xué)生操作經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)更要激活思維、促進(jìn)表達(dá)、深化認(rèn)識(shí)，從而突破難點(diǎn)?；谝陨纤伎迹牙?擺小棒的活動(dòng)切割成“動(dòng)手做”和“精心想”兩塊，按照第一次實(shí)驗(yàn)的展開方式進(jìn)行，同桌合作擺一擺，記錄數(shù)據(jù)結(jié)果，數(shù)學(xué)算式表達(dá)?！坝?5、16根小棒擺正方形，結(jié)果又怎樣？這一次你能不用小棒，直接想一想，寫出算式嗎？”這里的想不是毫無(wú)依據(jù)地想，是基于動(dòng)手做經(jīng)驗(yàn)的推想，因?yàn)?5根比14根多1根，所以就比14根多剩余1根，由此推理出余數(shù)是3。用16根擺正方形的結(jié)果呢？仍然借助操作經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)推想，但學(xué)生的想法出現(xiàn)了矛盾沖突，為什么余數(shù)不能是4呢？這是一個(gè)突破教學(xué)難點(diǎn)的重要問(wèn)題，組織學(xué)生展開充分思辨，發(fā)現(xiàn)滿4根又可以擺成一個(gè)正方形，那么余數(shù)只可能是哪些數(shù)？繼而發(fā)現(xiàn)余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系。從實(shí)驗(yàn)操作到理性推想，動(dòng)靜有機(jī)結(jié)合，學(xué)生的成功動(dòng)機(jī)得到瞬時(shí)激發(fā)，知識(shí)難點(diǎn)得到有效突破，思維走向更深處?！?/p>

片斷四：在數(shù)學(xué)游戲中再次感悟余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系

師：做游戲的時(shí)間到了，同學(xué)們喜歡吹泡泡嗎？泡泡很神奇，藏在了大屏幕里，讓我來(lái)吹一吹。你們也想試一試嗎？

師：數(shù)一數(shù)，吹出了6個(gè)泡泡，每次拍3個(gè)，幾次拍完？

生：2次。

師：吹出了8個(gè)泡泡，每次拍3個(gè)，有剩余嗎？剩幾個(gè)？

生：剩2個(gè)。

師：還想吹嗎？為了吹出更多的泡泡，我建議大家做一次深呼吸，泡泡多得數(shù)不清，但還是每次拍3個(gè)，如果最后有剩余，可能會(huì)剩幾個(gè)？

師：你們是怎樣想的？能用今天學(xué)到的知識(shí)告訴大家嗎？

生：可能剩1個(gè)或者2個(gè)，一定比3小，因?yàn)樵诔ㄋ闶街?，余?shù)都比除數(shù)小。

【思考：數(shù)學(xué)游戲的設(shè)計(jì)是對(duì)“余數(shù)比除數(shù)小”知識(shí)的再一次感知和應(yīng)用，吹泡泡的活動(dòng)環(huán)節(jié)，從趣味角度看，學(xué)生參與主動(dòng)性強(qiáng)，從思維角度看，深刻而且敏捷，緊扣難點(diǎn)，在游戲互動(dòng)中進(jìn)一步加深理解余數(shù)的意義，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建模。

兩次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，完善了學(xué)生對(duì)平均分的認(rèn)知建構(gòu)，認(rèn)識(shí)了余數(shù)，并理解了余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的建模過(guò)程，內(nèi)容整體推進(jìn)，活動(dòng)有序進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)方式的展開，有利于學(xué)生把數(shù)與形很好地結(jié)合起來(lái)，把操作和思維自然地融合起來(lái)，把演繹和歸納合理地運(yùn)用起來(lái)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是邊做邊想的過(guò)程，讓思維在困頓處慢一點(diǎn)，在爭(zhēng)鳴處清一點(diǎn)，在生長(zhǎng)處活一點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式打開了學(xué)生的思維活動(dòng)軌跡，教育的魅力因此得以彰顯?！?/p>