真問題引領(lǐng) 大空間探索
——以《用字母表示數(shù)》教學(xué)為例

文|趙勁松

【課前思考】

本課是學(xué)生從算術(shù)領(lǐng)域向代數(shù)領(lǐng)域的第一次跨越，再次研究這節(jié)經(jīng)典課例，源于兩個(gè)方面的思考。

1.內(nèi)容方面，這節(jié)課究竟要學(xué)什么？

從字母表示數(shù)的歷史發(fā)展來看，最初表示的是單詞的縮寫，后來用字母表示未知數(shù)，而用字母表示概括性的任意數(shù)則是最后一個(gè)階段才出現(xiàn)。課前調(diào)查了一部分學(xué)生：字母可以表示什么數(shù)？多數(shù)學(xué)生回答的是“未知數(shù)”，顯然這一層意義是距離學(xué)生最近的。所以，筆者將本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容定為兩個(gè)方面四個(gè)知識(shí)點(diǎn)：用字母表示數(shù)，這個(gè)“數(shù)”包括未知數(shù)和任意數(shù)；用字母式表示數(shù)量關(guān)系，也表示結(jié)果，這是學(xué)生比較難以理解的地方。

2.形式方面，學(xué)生需要怎樣的學(xué)習(xí)？

蘇教版教材例題的編排，例1和例2均是以幾道算式為鋪墊，再過渡到寫出含有字母的式子。

筆者認(rèn)為，這樣編排有如下問題：其一，這種呈現(xiàn)方式與學(xué)生的表達(dá)習(xí)慣有沖突，學(xué)生更習(xí)慣于用“數(shù)”來表示量，這里算式的出現(xiàn)對(duì)他們來說是突兀的；其二，窄化了學(xué)生創(chuàng)造的空間，在一定程度上回避了其他可能出現(xiàn)的表示方法；其三，也不利于學(xué)生理解字母式也表示一個(gè)數(shù)。學(xué)生所需要的學(xué)習(xí)，不應(yīng)該是這種填空式的學(xué)習(xí)。

從教學(xué)的方式來看，大多是教師精心設(shè)計(jì)好每一個(gè)細(xì)節(jié)，將教學(xué)內(nèi)容逐步拋出來。比如這位教師的教學(xué)：

教師用小棒在黑板上擺三角形。

師：老師擺了——

生：1個(gè)三角形。

師：用了幾根小棒？

生：用了3根小棒。

師：繼續(xù)看，老師擺了——

生：2個(gè)三角形，用6根小棒。

師：6是怎么算出來的？

生：2×3=6。

師：我們繼續(xù)擺。（邊擺邊讓學(xué)生說出三角形的個(gè)數(shù)和計(jì)算小棒根數(shù)的算式，擺出4個(gè)三角形）

師：這樣擺，你們覺得有意思嗎？

生：沒意思。因?yàn)槟憬酉氯ゾ蜁?huì)擺第5個(gè)、第6個(gè)。

師：能擺完嗎？

生：不能。

師：擺不完，怎么辦？

生：用省略號(hào)。

師：（板書：……）同學(xué)們，一個(gè)省略號(hào)，就把所有沒擺出來的情況都包括進(jìn)去了。這就是把復(fù)雜的事情——

生：變簡(jiǎn)單。

師：這么一來，我想到了一個(gè)問題。

出示：擺（ ）個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是（ ）×3。

師：你們覺得難嗎？

生：不難。

師：說不難，有時(shí)也——（難），說難有時(shí)也——（不難）。動(dòng)筆填一填吧，看看誰填得水平高。

學(xué)生填空，教師依次展示、交流四位學(xué)生的作業(yè)，其中第四位學(xué)生是用字母表示的。

這段教學(xué)配上教師精心設(shè)計(jì)的語言，讓課堂顯得很細(xì)膩，還有點(diǎn)哲理的味道。但從學(xué)生的角度來思考，有三個(gè)問題：一是學(xué)生根本就不知道這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容到底是什么；二是學(xué)生走的每一小步都是在教師的牽引之下，缺少學(xué)習(xí)的空間；第三，并不是每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了用字母表示的過程，多數(shù)學(xué)生只是看到了最終的結(jié)果。

理想的課堂，應(yīng)該讓學(xué)生看見學(xué)習(xí)的全貌，全員經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全過程，如此，學(xué)習(xí)才能夠真實(shí)而深刻地發(fā)生。

綜合上述分析，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定位如下：

1.經(jīng)歷探索用字母表示數(shù)的過程，了解用字母可以表示未知數(shù)和任意數(shù)，含有字母的式子可以表示結(jié)果和數(shù)量關(guān)系。

2.經(jīng)歷提出問題和解決問題的全過程，培養(yǎng)提問意識(shí)；感受數(shù)學(xué)的抽象性和概括性，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

【教學(xué)過程】

一、問題聚焦

師：這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是《用字母表示數(shù)》（板書課題），見過嗎？

生：我知道方程里有字母，代表未知數(shù)。

生：我知道運(yùn)算律里面有字母，比如a+b=b+a。

生：周長(zhǎng)、面積公式里有字母，比如S=a×b。

師：對(duì)今天的內(nèi)容，還有好奇的地方嗎？

生：怎樣用字母表示數(shù)？

生：字母能表示什么數(shù)？

生：為什么用字母表示數(shù)？

生：用字母表示數(shù)有什么好處？

生：字母表示的數(shù)是固定的嗎？

師：（表揚(yáng)所有提出問題的學(xué)生）這些問題里，有沒有可以合并的？

生：第3個(gè)和第4個(gè)可以合并，第2個(gè)和第5個(gè)也有聯(lián)系。

二、素材研究

師：我們先來看這個(gè)問題，用字母能表示什么數(shù)呢？

生：能表示未知數(shù)。

師：你們都聽過未知數(shù)嗎？

生：聽過，就是不知道的數(shù)。

師：怎樣用字母表示未知數(shù)，此外字母還能表示什么數(shù)呢？老師給大家?guī)砹巳“簦ǔ鍪荆旱谝粋€(gè)袋子是透明的，后兩個(gè)袋子是不透明的），還帶來一些小棒用來擺三角形（示范擺出3個(gè)）。下面我們利用這些素材，完成填空（出示《學(xué)習(xí)單》），同時(shí)思考黑板上的三個(gè)問題。

學(xué)生獨(dú)立完成《學(xué)習(xí)單》，教師巡視，了解學(xué)生的答題情況。

三、對(duì)話釋疑

1.小組交流。

師：接下來是小組交流的時(shí)間，由小組長(zhǎng)安排發(fā)言的順序，每個(gè)人都要講一講你填了什么，為什么這么填。發(fā)言要讓別人聽明白，同學(xué)發(fā)言后要有回應(yīng)——同意、補(bǔ)充或質(zhì)疑。

四人小組進(jìn)行交流，教師參與小組活動(dòng)，了解學(xué)生的想法。

2.全班交流。

活動(dòng)一：我會(huì)做記錄。

師：我們先來交流任務(wù)一，哪個(gè)小組代表來匯報(bào)你們的想法？

生：（邊說邊寫）第一個(gè)袋子里能看到有4根，就寫“4”，第二個(gè)袋子看不到有幾根，就用字母x表示，第三個(gè)袋子里比第二個(gè)袋子里少3根，就用x-3來表示。

師：大家給他一些回應(yīng)。

生：第一袋我們填的是一樣的，第二袋和第三袋我寫的都是s。

生：我填的第二袋有x根，第三袋有y根。

生：第二袋我寫的是7，第三袋比第二袋少3根，就是4根。

師：有三位同學(xué)是用字母表示后兩袋的數(shù)量，第四位同學(xué)用的是數(shù)字，你們有什么看法？

生：我不同意用數(shù)字表示后兩袋的數(shù)量，你又看不見。第一袋可以用數(shù)字4表示，因?yàn)槟莻€(gè)是已經(jīng)知道的。

生：我也不同意用數(shù)字來表示后面兩袋的根數(shù)。因?yàn)檫@是未知數(shù)，不能用數(shù)字來表示，所以要用字母來表示。

生：我想問一個(gè)問題，為什么能用字母表示數(shù)？

師：你問的是我們黑板上記錄的第三個(gè)問題嗎？

生：不是，我的意思是，未知數(shù)不能用數(shù)字表示，為什么就可以用字母表示？

生：因?yàn)樽帜甘遣还潭ǖ?，沒有說是幾，所以可以用來表示未知數(shù)。

師：體會(huì)一下，有道理嗎？我們換個(gè)角度思考，如果不用字母表示，還有其他表示方法嗎？

生：我們以前曾經(jīng)用圖形來表示過不知道的數(shù)。

生：可以用“若干”來表示。

師：是的，其實(shí)字母和我們的漢字、圖形一樣，都是符號(hào)，這些符號(hào)本身并不表示某個(gè)確定的數(shù)，所以我們就用來表示這個(gè)不知道的未知數(shù)。相比較，你們喜歡哪一種，為什么？

生：字母，因?yàn)楹脤憽?/p>

師：同樣用字母表示，你能評(píng)價(jià)一下剛才三位同學(xué)的表示方法嗎？

生：第二位同學(xué)兩袋都用s不合適，因?yàn)閮纱煌?，如果都寫s的話，就表示兩袋同樣多了。

生：我比較喜歡第三位同學(xué)的，兩袋分別是x和y，簡(jiǎn)單，而且表示了不同的數(shù)。

生：我認(rèn)為第一種表示最好，因?yàn)槟芤谎劭闯鰞纱年P(guān)系。

師：現(xiàn)在我們把圖拿走，體會(huì)一下這兩種記錄：第二袋有x根，第三袋有y根；第二袋有x根，第三袋有（x-3）根。

生：還是后一種好，更清楚。

生：我總覺得不對(duì)勁，我們是要表示一個(gè)數(shù)，但這是一個(gè)式子??？

師：對(duì)啊，x-3這個(gè)式子的結(jié)果是多少呢？

生：這個(gè)結(jié)果也是一個(gè)未知數(shù)，可以用y來表示。

生：那不如直接用y表示了！

師：其實(shí)，x-3不僅能表示出數(shù)量關(guān)系，這個(gè)式子本身也表示計(jì)算的結(jié)果，x-3的結(jié)果就是x-3。

活動(dòng)二：我會(huì)舉例子。

生：（邊說邊寫）擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)三角形用6根小棒，小棒的數(shù)量永遠(yuǎn)是三角形數(shù)量的3倍，擺3個(gè)三角形用9根小棒。

師：為什么不寫了？

生：太多了，都一樣。

師：那就回答第二個(gè)問題，用一個(gè)例子把所有的例子都表示出來。

生：我寫的是“擺1個(gè)三角形用3根小棒”。

師：其他同學(xué)有什么回應(yīng)？

生：這個(gè)例子怎么能代表所有的例子呢？

生：因?yàn)槎家粯樱矣X得這個(gè)可以作代表，其他的都是在這個(gè)基礎(chǔ)上計(jì)算的。

生：那你這個(gè)沒有把2個(gè)三角形表示出來啊。

師：這個(gè)例子能表示2個(gè)三角形嗎？

生：不能。因?yàn)?是一個(gè)數(shù)，只能表示一個(gè)具體的例子。

生：可以改成字母。用a表示三角形個(gè)數(shù)，因?yàn)樾“舾鶖?shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍，所以用a×3表示小棒的根數(shù)。

生：這樣就相對(duì)應(yīng)了。

生：因?yàn)槿切问俏粗獢?shù)，所以個(gè)數(shù)用字母表示，三倍就再乘以3。

師：你們是在解釋a×3表示小棒根數(shù)的合理性。那么，這個(gè)a把所有的情況都表示出來了嗎？

生：都表示出來了。可以是1，也可以是2、3……

師：a×3把相應(yīng)的情況也都表示出來了嗎？

生：也表示出來了，a是1的時(shí)候，a×3是3；a是2的時(shí)候，a×3是6……

師：用一個(gè)模糊的字母，把所有具體的情況都表示出來了。剛才有同學(xué)說，這里表示的還是未知數(shù)，比較一下，這里的字母表示和剛才的一樣嗎？

生：第一個(gè)例子是一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)，第二個(gè)例子是一個(gè)字母代表很多數(shù)。

生：前面只表示一個(gè)數(shù)，后面表示無限種。

師：前面的看不見，是未知數(shù)，但我們知道它就表示一個(gè)固定的數(shù)；后面的就不表示某一個(gè)具體的數(shù)，所以，我們可以稱它為任意數(shù)。當(dāng)然，在這里也不是絕對(duì)的任意，比如它不可以是———

生：小數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)。

師：這里它應(yīng)該是任意——

生：任意自然數(shù)。

師：剛才我們重點(diǎn)研究的是用字母可以表示哪些數(shù)。我們來梳理一下課前的問題。你還能回答哪些？

生：為什么用字母表示？因?yàn)椴恢赖摹⒉痪唧w的數(shù)用數(shù)字表示不了，可以用字母表示。

生：我知道用字母表示數(shù)，有的是固定的，有的是不固定的。

生：袋子里的小棒是固定的，后面是不固定的。

師：好不好奇袋子里有幾根小棒？我們來看看第3袋吧。（打開袋子）

生：2根。

師：也就是x-3=2，那我們就知道了——

生：x是5。

師：所以，這里的x表示的是一個(gè)固定的數(shù)。

生：怎么用字母表示數(shù)？其中一個(gè)用字母表示后，另一個(gè)要根據(jù)關(guān)系來寫式子。

師：真好，看來我們所學(xué)習(xí)的所有的數(shù)量關(guān)系，加減乘除，字母式都可以使用字母，把字母和數(shù)同等對(duì)待，進(jìn)行列式就可以了。

師：對(duì)于a×3，還有要補(bǔ)充的嗎？

生：可以在前面寫3，后面寫a。

（課件出示簡(jiǎn)寫規(guī)則，學(xué)生閱讀規(guī)則）

師：對(duì)照規(guī)則，我們來試著簡(jiǎn)寫幾道式子（略）。

四、拓展延伸

師：對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)寫規(guī)則，你有什么問題嗎？

生：為什么要把數(shù)寫在字母的前面？

生：為什么要把乘號(hào)寫成一個(gè)點(diǎn)或省略？

生：我發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)寫只是針對(duì)含有字母的乘法，為什么呢？

生：2個(gè)a相乘，為什么要把2寫小一點(diǎn)放在右上角？

師：大家提的問題都很棒！學(xué)習(xí)規(guī)則，不僅要會(huì)用，還要知道制定規(guī)則的理由。這些問題就留給大家課后研究。

【課后思考】

《用字母表示數(shù)》是一節(jié)經(jīng)典課，有過很多經(jīng)典的案例，之所以重新研究這節(jié)課，源于我們教學(xué)觀念的改變——從關(guān)注知識(shí)，到關(guān)注學(xué)生。

首先，我希望能給學(xué)生提問的機(jī)會(huì)，進(jìn)而讓學(xué)生有提問的意識(shí)。提問，意味著思考，意味著明確知道了學(xué)習(xí)的對(duì)象，而對(duì)提問的梳理則意味著清晰了學(xué)習(xí)的方向，看見了學(xué)習(xí)的全貌。

用字母表示什么數(shù)？怎么用字母表示數(shù)？為什么用字母表示數(shù)？這三個(gè)問題在我的預(yù)設(shè)之內(nèi)，而課堂上學(xué)生追問的“字母怎么就能用來表示未知數(shù)”，這是我預(yù)料之外的“真問題”，它指向的是人類認(rèn)知并運(yùn)用字母表示數(shù)的發(fā)端：字母與漢字或其他的文字一樣，就是一個(gè)符號(hào)而已。但是今天的字母所指代的不是抽象的量，而是一個(gè)具體的數(shù)，就是第二袋中的小棒根數(shù)，這實(shí)際上就是數(shù)學(xué)史上對(duì)字母表示數(shù)的第二階段認(rèn)識(shí)。所以，學(xué)生的這個(gè)問題很真實(shí)，很有價(jià)值，因?yàn)檫@是一個(gè)跨階段的認(rèn)識(shí)。

課堂中設(shè)計(jì)的兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)分別指向了未知數(shù)與任意數(shù)，而學(xué)生對(duì)未知數(shù)與任意數(shù)的混淆是這節(jié)課體現(xiàn)出的另一個(gè)真問題。在學(xué)生的認(rèn)知里，字母表示的都是未知數(shù)，很正常，因?yàn)檫@又是一次認(rèn)知的跨越。歷經(jīng)數(shù)代的發(fā)展之后，字母才用來概括地表達(dá)任意數(shù)。

第三個(gè)活動(dòng)是規(guī)則的學(xué)習(xí)，對(duì)于規(guī)則，不僅要理解和掌握，還應(yīng)該有著對(duì)規(guī)則的追問：為什么制定這樣的規(guī)則？學(xué)生正是在一次次提問中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)所學(xué)內(nèi)容的深刻理解。

其次，我希望能給學(xué)生一個(gè)全員經(jīng)歷學(xué)習(xí)全過程的機(jī)會(huì)。

學(xué)習(xí)真正的發(fā)生一定是建立在“自主建構(gòu)”的基礎(chǔ)上。如何自主建構(gòu)？“大空間”探索便是很好的路徑。這里的大空間是指學(xué)習(xí)的自主、自足和自由。為此，在這節(jié)課上，我構(gòu)建了學(xué)習(xí)時(shí)間的長(zhǎng)度，給學(xué)生4分鐘的自學(xué)時(shí)間和6分鐘的小組對(duì)話時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解決問題的過程，并進(jìn)行充分的表達(dá)與交流；構(gòu)建了學(xué)習(xí)空間任務(wù)的寬度，一次性把學(xué)習(xí)任務(wù)呈現(xiàn)在學(xué)生面前，嘗試解決；構(gòu)建了學(xué)習(xí)空間的純凈度，以盡可能少的提示，給學(xué)生充分地思維的自由。

最后，我希望課堂的底色是真實(shí)的，不掩飾、不粉飾。教師是真實(shí)的，不擔(dān)心提前劇透，敢于讓學(xué)生說出自己已經(jīng)知道的；尊重學(xué)生的問題，敢于將學(xué)生的困惑呈現(xiàn)在課堂上進(jìn)行討論。學(xué)生是真實(shí)的，敢于發(fā)表自己真實(shí)的想法，哪怕和其他同學(xué)都不一樣；敢于提出自己真正的困惑，哪怕答案已經(jīng)呈現(xiàn)。沒有真實(shí)，提問將失去價(jià)值，也必將失去深度的問題和真正的探索。