利用教材題組發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的實(shí)踐與反思

文|戴夢(mèng)竹

題組設(shè)計(jì)是浙教版《數(shù)學(xué)》教材的重要特色之一。好的題組能有效幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時(shí)降低探究難度，在應(yīng)用概念時(shí)避免機(jī)械操練，感受自主創(chuàng)造、自覺(jué)內(nèi)化的樂(lè)趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)情感的積極發(fā)展。

以下嘗試對(duì)教材中的題組編寫策略進(jìn)行一定的整理和反思，以方便一線教師共同讀懂、用好，乃至借鑒創(chuàng)編相應(yīng)的練習(xí)。

一、一題多變?cè)O(shè)計(jì)題組

一題多變是最常見(jiàn)的題組形式，為了凸顯知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括的能力，教材設(shè)計(jì)了大量變式練習(xí)調(diào)動(dòng)學(xué)生思維。

（一）改變敘述方式，強(qiáng)化抽象與概括。

1.情境變化型。

一些學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，常常被題目的情境所迷惑，不能識(shí)別出問(wèn)題的根本模型。針對(duì)學(xué)生只會(huì)解一道題，而不是一類題的情況，可有意識(shí)地以題組形式呈現(xiàn)情境變化的問(wèn)題。如，在學(xué)習(xí)工程問(wèn)題時(shí)，我們進(jìn)一步改編浙教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第76頁(yè)練習(xí)數(shù)據(jù)，構(gòu)造題組——

（1）一條道路，甲隊(duì)單獨(dú)修12天能完成，乙隊(duì)單獨(dú)修18天才能完成，如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？

（2）甲車從A地開(kāi)到B地需要12分鐘，乙車從B地開(kāi)到A地需要18分鐘，兩車同時(shí)從兩地相向開(kāi)出，經(jīng)過(guò)幾分鐘相遇？

（3）一筆錢單獨(dú)買衣服可以買12件，單獨(dú)買褲子可以買18條，如果一件衣服和一條褲子配成一套，這筆錢最多可以買幾套？

引導(dǎo)學(xué)生在具體練習(xí)的基礎(chǔ)上，建立不同情境之間的對(duì)應(yīng)，感悟相同的數(shù)量結(jié)構(gòu)。

2.表達(dá)變化型。

通過(guò)不同的敘述方式呈現(xiàn)題目中的某個(gè)條件，有利于學(xué)生對(duì)不同的數(shù)學(xué)概念、公式、工具進(jìn)行鏈接。如——

（1）西山苗圃中松樹(shù)苗占地2.7公頃，比柏樹(shù)苗的占地面積多。柏樹(shù)苗占地多少公頃？

（2）西山苗圃中松樹(shù)苗占地2.7公頃，柏樹(shù)苗的占地面積比松樹(shù)苗少。柏樹(shù)苗占地多少公頃？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)）

學(xué)生通過(guò)對(duì)兩題的關(guān)系句進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)不同的表述方式反映出相同的數(shù)量關(guān)系，即松樹(shù)苗占地面積是9份，柏樹(shù)苗占地面積有這樣的8份，數(shù)量關(guān)系式都可以寫成：松樹(shù)苗占地面積×=柏樹(shù)苗占地面積。放手讓學(xué)生繼續(xù)改編題組，學(xué)生還會(huì)聯(lián)想到倍、比等知識(shí)，這樣在不知不覺(jué)中對(duì)知識(shí)進(jìn)行了擴(kuò)展和串聯(lián)。

3.問(wèn)題變化型。

利用相同信息發(fā)展出不同的問(wèn)題，使一道題目變成一組題目，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。如，在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，原教材配有題組——

某食品廠計(jì)劃18天生產(chǎn)飲料540箱，實(shí)際前4天生產(chǎn)144箱。照這樣計(jì)算：

（1）可以提前多少天完成？

（2）18天可以多生產(chǎn)多少箱？

（3）剩下的還要生產(chǎn)多少箱？

（4）剩下的時(shí)間還可以生產(chǎn)多少箱？

（5）生產(chǎn)12天后，還剩多少箱沒(méi)完成？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第79頁(yè)）

根據(jù)信息，這道題中有兩個(gè)歸一量，即“計(jì)劃每天生產(chǎn)箱數(shù)”和“實(shí)際每天生產(chǎn)箱數(shù)”，學(xué)生需要根據(jù)問(wèn)題，靈活選擇信息，找準(zhǔn)歸一量進(jìn)行解題。這樣的題組練習(xí)對(duì)學(xué)生整體把握和辨析數(shù)量關(guān)系提出了更高的要求。

（二）增加推理層次，強(qiáng)化分析與綜合。

1.隱藏信息型。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在學(xué)生掌握了基本的概念和結(jié)構(gòu)以后，不妨將題目中的一些直接信息變?yōu)殚g接信息，為學(xué)生提供“化歸”的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。例如——

（1）有5盒同樣的玻璃球，每盒的個(gè)數(shù)一樣。如果各取出12個(gè)，取出的個(gè)數(shù)正好是原來(lái)2盒玻璃球的個(gè)數(shù)。原來(lái)每盒有多少個(gè)玻璃球？

（2）5只桶里的水一樣多，如果從每只桶里倒出6千克水，5只桶里剩下的水相當(dāng)于原來(lái)2只桶里的水。原來(lái)每只桶里有多少千克水？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)）

第（1）題是第（2）題的基礎(chǔ)，第一題取出個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的盒數(shù)已知，利用取出個(gè)數(shù)除以對(duì)應(yīng)盒數(shù)就能解題。第二題將倒出質(zhì)量對(duì)應(yīng)的桶數(shù)隱藏起來(lái)，學(xué)生解題時(shí)要先將“剩下的水相當(dāng)于原來(lái)2只桶里的水”轉(zhuǎn)化成“倒出的水相當(dāng)于原來(lái)3只桶里的水”，增加了推理層次，豐富了化歸的體驗(yàn)，突出了“對(duì)應(yīng)”的思想。

2.綜合運(yùn)用型。

在練習(xí)過(guò)程中，教師如果僅呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)比較單一的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)依靠思維慣性，不假思索地寫出答案，失去了鍛煉思維的價(jià)值。而隨著學(xué)習(xí)的推進(jìn)，把同一領(lǐng)域不同方面的知識(shí)，不同領(lǐng)域的知識(shí)，乃至不同學(xué)科的知識(shí)，不斷整合、迭代，則可幫助學(xué)生不斷升級(jí)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力水平。如下面這組題——

（1）如圖所示，這個(gè)物體的體積是多少立方分米？

（2）一個(gè)立方體鋼坯的棱長(zhǎng)是0.5m，把它鍛造成橫截面面積是10dm2的長(zhǎng)方體鋼材。鍛造成的鋼材有多長(zhǎng)？（用方程解答）

（3）一個(gè)圓錐形的容器高15cm，底面直徑是8cm，容器裝滿水后，將水倒入底面直徑為16cm、高為15cm的圓柱形容器中。水面距圓柱形容器上端多高？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第71、72頁(yè)）

這樣的題組，從易到難，既考查了圓柱體積的知識(shí)，又考查了立方體體積、圓錐體積、體積單位、方程等知識(shí)。在練習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要辨析概念之間的差別和聯(lián)系，對(duì)空間想象能力的要求不斷攀高，思維得到了鍛煉。

二、利用對(duì)比設(shè)計(jì)題組

為了打破思維定勢(shì)，教材通過(guò)將順向思維的題目逆向化或?qū)⒈竟?jié)課的內(nèi)容與前面所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較等方式設(shè)計(jì)一批對(duì)比題組，使學(xué)習(xí)效果事半功倍。

1.正逆對(duì)比型。

很多所謂的基本問(wèn)題，都是順著情境發(fā)生發(fā)展就可以順理成章得到答案的問(wèn)題。這時(shí)，只要把情境事實(shí)稍微加以符號(hào)化就可以了。而只有當(dāng)學(xué)生對(duì)于逆向問(wèn)題也能夠頭頭是道地展開(kāi)分析，我們才認(rèn)為他的頭腦中具備了相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使得他們可以超越具體情境的限制，基于數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)行多向度的推導(dǎo)。

例如，將“相遇問(wèn)題”中的條件和問(wèn)題進(jìn)行輪換，幫助學(xué)生從整體上把握速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系。

（1）貨車和客車分別以60千米/時(shí)和80千米/時(shí)的速度行駛。它們同時(shí)從A、B兩城市出發(fā)，相向而行，3小時(shí)后相遇。A、B兩城市相距多少千米？

（2）貨車和客車同時(shí)從相距420千米的A、B兩城市出發(fā)，相向而行，速度分別是60千米/時(shí)和80千米/時(shí)。幾小時(shí)后相遇？

（3）貨車和客車同時(shí)從相距420千米的A、B兩城市出發(fā)，相向而行，3小時(shí)后相遇。貨車的速度是60千米/時(shí)，客車的速度是多少？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第24頁(yè)）

2.相似對(duì)比型。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，還經(jīng)常會(huì)發(fā)生將新知識(shí)與之前學(xué)過(guò)的相似知識(shí)混淆，用同種思維去解決性質(zhì)不同的題目的錯(cuò)誤。將涉及相似知識(shí)點(diǎn)的題目組織起來(lái)，進(jìn)行對(duì)比分析，可以幫助學(xué)生做好基本概念的強(qiáng)化和分化。如，學(xué)習(xí)正比例和反比例后，提供題組——

（1）濃度一定，水和藥的用量成（ ）比例。

（2）長(zhǎng)方體的體積一定，長(zhǎng)方體的底面積和（ ）成反比例。

（3）ab=c，當(dāng)a一定時(shí)，b和c成（ ）比例；當(dāng)c一定時(shí)，a和b成（ ）比例。（a、b、c均不等于0）

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第38頁(yè)）

通過(guò)對(duì)正比例、反比例的辨析，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)正比例和反比例的區(qū)別與聯(lián)系，掌握概念的本質(zhì)。如果進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)正比例和反比例進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化與改編，學(xué)生在應(yīng)用過(guò)程中，還能概括出：凡是成分總關(guān)系的一組數(shù)量，必定存在著正、反比例的關(guān)系。

三、利用開(kāi)放因素設(shè)計(jì)題組

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)開(kāi)放性，倡導(dǎo)學(xué)生多視角看問(wèn)題，拓展他們思考和創(chuàng)新的空間。教材在問(wèn)題的提出和解答方式上挖掘開(kāi)放因素，給學(xué)生留有充分的自由度。

1.開(kāi)放條件或問(wèn)題。

學(xué)生不但應(yīng)具備解決問(wèn)題的能力，更應(yīng)具備創(chuàng)造性提出問(wèn)題和改編問(wèn)題的能力，后者對(duì)學(xué)生的思維要求更高。設(shè)計(jì)條件或問(wèn)題不唯一的題組，讓學(xué)生在不斷嘗試中增進(jìn)思維的發(fā)散性和系統(tǒng)性。例如——

先把下列各題的條件補(bǔ)充完整，再計(jì)算。

（1）白兔有34只，________。白兔和黑兔一共有多少只？

（2）李師傅修理了34把椅子，____________。張師傅修理了多少把椅子？

（3）書(shū)架上原來(lái)有25本書(shū)，____________。現(xiàn)在有多少本？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)第53頁(yè)）

由于學(xué)生思維層次不同，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解水平存在差異，他們編的題目有難有易。實(shí)際教學(xué)時(shí)，通過(guò)小組討論和全班交流，大家可以相互借鑒，既生成共同概括，又體驗(yàn)不同變化，每個(gè)人都能在自己原有思維水平的基礎(chǔ)上有所突破。

2.開(kāi)放解題結(jié)果型。

結(jié)果不唯一的練習(xí)除了要求學(xué)生能解題外，還要求學(xué)生積極考慮存在的其他可能性，甚至所有的可能性，不斷挖掘?qū)W生潛力。如，浙教版在《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》單元中配有如下練習(xí)——

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第29頁(yè)）

像這樣的開(kāi)放設(shè)計(jì)，學(xué)生為探究不同結(jié)果，會(huì)主動(dòng)去嘗試大量的計(jì)算，而在嘗試的基礎(chǔ)上，逐漸生成反思和歸納，巧妙應(yīng)用有序思考，理性分析所有可能。從普遍的嘗試——檢驗(yàn)策略自主過(guò)渡到更高思維層次的組合——推理策略，體現(xiàn)了創(chuàng)新思維的發(fā)展。

題組練習(xí)是創(chuàng)建小學(xué)數(shù)學(xué)整體教學(xué)、差異發(fā)展的有效途徑。教師在教學(xué)中，自覺(jué)運(yùn)用上述策略，不僅能增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性，更能為學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展思維的深刻性與靈活性提供機(jī)會(huì)。