大跨連續(xù)梁橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)

韓智強(qiáng)， 謝剛， 李路遙， 李華騰， 晉民杰

(1.太原科技大學(xué)交通與物流學(xué)院， 太原 030024; 2.太原科技大學(xué)先進(jìn)控制與裝備智能化山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 太原 030024)

大跨連續(xù)梁橋由于跨越能力強(qiáng)、線形優(yōu)美等特點(diǎn)，成為中國(guó)公路及市政橋梁設(shè)計(jì)的首選。與其他橋型相比，大跨連續(xù)梁橋由于剛度相對(duì)較小，在典型荷載作用下，車橋耦合問題尤為突出。因此，開展大跨連續(xù)梁橋車橋耦合研究具有重要意義。各國(guó)學(xué)者進(jìn)行深入研究，也取得了較為豐富的研究成果。在19世紀(jì)初期，學(xué)者們建立4種較為經(jīng)典分析模型，即Krylov[1]提出的勻速移動(dòng)常力模型；Timoshenko等[2]提出的勻速移動(dòng)簡(jiǎn)諧力模型；Willis[3]提出的勻速滾動(dòng)質(zhì)量模型；Biggs[4]提出的勻速移動(dòng)彈簧-質(zhì)量模型。自19世紀(jì)70年代以來(lái)，隨著有限元理論和計(jì)算機(jī)快速發(fā)展，車輛耦合數(shù)值分析變?yōu)榭赡躘5-6]。Harris等[7]和Obrien等[8]分別采用五軸和六軸車模型，并參考橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范中軸距和軸重分布情況，建立相關(guān)車輛仿真模型，并作用于簡(jiǎn)支梁板橋中，驗(yàn)證了車型的正確性；陳代海等[9]基于有限單元法和虛功原理，采用整體法和分離法推導(dǎo)公路車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程，通過算例對(duì)比研究2種車橋耦合分析方法差異性和適用條件；鄧露等[10]結(jié)合現(xiàn)有設(shè)計(jì)規(guī)范，提出了適用于中國(guó)車-橋耦合振動(dòng)分析車輛動(dòng)力模型，并通過4座簡(jiǎn)支梁橋數(shù)值分析和1座橋梁實(shí)橋試驗(yàn)，驗(yàn)證了車型的正確性；陳水生等[11]采用濾波白噪聲法生成單輪橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)時(shí)域模型，結(jié)合車輛左右輪的相干關(guān)系，生成三軸空間車輛對(duì)應(yīng)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本，并驗(yàn)證了樣本的有效性；許漢錚等[12]運(yùn)用有限元軟件建立三跨混凝土連續(xù)曲線橋梁和車輛模型，并開展了考慮橫豎向車橋耦合動(dòng)力響應(yīng)研究。

綜上可知，已有車橋耦合分析主要針對(duì)常規(guī)簡(jiǎn)支梁橋，或者分析時(shí)未考慮規(guī)范設(shè)計(jì)車型，使得計(jì)算結(jié)果與規(guī)范取值無(wú)法統(tǒng)一比較。因此，現(xiàn)基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理，結(jié)合中國(guó)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范，擬建立五軸重卡車輛模型和大跨連續(xù)梁橋動(dòng)力模型；通過車橋幾何和力學(xué)耦合條件，組建車橋耦合時(shí)變矩陣，并考慮空間橋面不平度影響，通過自編程序，擬開展敏感參數(shù)下大跨連續(xù)梁橋動(dòng)力響應(yīng)和沖擊系數(shù)研究，預(yù)期成果可為此類橋梁安全運(yùn)營(yíng)提供參考。

mv1、mv2分別為車頭質(zhì)量與掛車質(zhì)量，kg；Zv1、Zv2分別為車頭與掛車的豎向位移,mm；θv1、θv2分別為車頭與掛車的縱向轉(zhuǎn)動(dòng)角度,rad,其中θ2可通過θ1表示；Iθ1(2)為車頭或掛車縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；φ為車體橫向扭轉(zhuǎn)角；mL(R)x1～mL(R)x5為左右側(cè)懸掛裝置和輪胎質(zhì)量之和,kg；ZL(R)1～ZL(R)5為左右側(cè)懸掛系統(tǒng)的豎向位移,mm；dL(R)1～dL(R)5為左右車輪與橋梁接觸位置處的橋梁豎向位移,mm；KL(R)s1～KL(R)s5為左右側(cè)懸掛系統(tǒng)的剛度,kN/m；KL(R)t1～KL(R)t5為左右側(cè)輪胎剛度,kN/m；CL(R)s1～CL(R)s5為左右側(cè)懸掛系統(tǒng)阻尼,kN·s/m；CL(R)t1～CL(R)t5為左右側(cè)輪胎的阻尼,kN·s/m；S1～S8分別對(duì)應(yīng)車輛模型的幾何尺寸，m；B為輪距，m圖2 五軸車輛動(dòng)力學(xué)空間簡(jiǎn)化模型Fig.2 Dynamic model of five-axis space trailer

1 大跨連續(xù)梁橋車橋耦合振動(dòng)分析方法

1.1 車輛模型選取及建立

1.1.1 車輛模型選取

車輛模型的選取主要依據(jù)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范和大量外業(yè)調(diào)查得出的代表性車型，如Wang等[13]采用的三軸空間車輛模型和Obrien等[14]采用的五軸空間車輛模型，而中國(guó)車輛模型的選取主要依據(jù)《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60—2015)[15](簡(jiǎn)稱“15規(guī)范”)中五軸重卡模型，如圖1所示，并結(jié)合實(shí)際車型，確定簡(jiǎn)化模型，如圖2所示。其中車輛模型可視為質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，可分為車頭和掛車。車輛共有15自由度，其中包括車體豎向位移、點(diǎn)頭、橫向側(cè)翻、懸架和輪胎的豎向自由度等。

圖1 15規(guī)范車輛荷載立面布置Fig.1 15-standard vehicle load elevation layout

1.1.2 車輛動(dòng)力學(xué)方程建立

根據(jù)虛功原理求解車輛總動(dòng)能T、總勢(shì)能V、阻尼耗散總能量Q，qk為廣義坐標(biāo)，并將車體各自由度代入拉格朗日(Largange)方程中，整理成矩陣，即

(1)

(2)

式中：Mv為車輛的質(zhì)量矩陣；Cv為車輛的阻尼矩陣；Kv為車輛的剛度矩陣；Fv為車輛的慣性荷載向量；U為車輛各自由度列向量。其中：Mv的表達(dá)式為

(3)

同理可得Cv和Kv。

1.2 橋梁模型建立

1.2.1 基本假定

(1)將橋梁的結(jié)構(gòu)剛度及阻尼視為沿縱向方向均勻分布；

(2)不考慮樁土效應(yīng)影響；

(3)橋梁橫截面滿足平截面假定；

(4)車輛上橋后，車輪與橋面始終接觸。

1.2.2 橋梁動(dòng)力學(xué)模型建立

根據(jù)振型疊加法原理，橋梁結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)可由模態(tài)空間坐標(biāo)表示，橋梁位移U與前n階振型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

U=ΦQ

=φ1q1+φ2q2+…+φNqN

(4)

式(4)中：Q為模態(tài)空間坐標(biāo)；Φ為振型矩陣；φi為橋梁振型向量；qi為模態(tài)基坐標(biāo)矢量。

通過結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理，組建大跨連續(xù)梁橋動(dòng)力學(xué)方程，即

(5)

式(5)中：Mb=ΦTMΦ為正則化橋梁模態(tài)質(zhì)量矩陣，其中M為橋梁質(zhì)量矩陣；Cb=ΦTCΦ為正則化橋梁模態(tài)阻尼矩陣，其中C為橋梁阻尼矩陣；Kb=ΦTKΦ為正則化橋梁模態(tài)剛度矩陣，其中K為橋梁剛度矩陣；Fb=ΦTF為正則化橋梁模態(tài)力向量，其中F為橋梁荷載向量。其中：

(6)

同理可得出Cb和Kb矩陣為

(7)

(8)

式中：ωi為橋梁結(jié)構(gòu)第i階自振角頻率，rad；ξi為橋梁結(jié)構(gòu)第i階頻率對(duì)應(yīng)的阻尼比。

1.3 車橋系統(tǒng)耦合作用研究

在車橋耦合計(jì)算分析時(shí)，根據(jù)相關(guān)假定，分別建立車橋系統(tǒng)的幾何和力學(xué)耦合關(guān)系。

1.3.1 車橋系統(tǒng)幾何耦合關(guān)系

假設(shè)車輛在行駛過程中第i個(gè)車輪與橋面接觸點(diǎn)所在的橋梁截面形心位移為Ub，車輪與橋面接觸點(diǎn)位置處的位移為Uv，則

Ub=[xbybzbθxbθybθzb]

(9)

Uv=[xvyvzvθxvθyvθzv]

(10)

根據(jù)車輛坐標(biāo)和橋梁坐標(biāo)幾何關(guān)系，如圖3所示。

e為橋梁截面形心至輪距中心處的水平距離mm；h為橋梁截面形心至車輪與車橋作用點(diǎn)處的豎向距離，mm圖3 橋梁與車輪幾何關(guān)系Fig.3 Geometric relationship between bridge and wheel

由于車輪在輪軸兩側(cè)，則左側(cè)車輪和右側(cè)車輪與橋面接觸點(diǎn)位置處的位移可分別表示為

(11)

(12)

將式(11)和式(12)進(jìn)行整理可得車橋耦合幾何關(guān)系矩陣為

Uv=TUb

(13)

式(13)中：T為車橋位移傳遞矩陣。

由于實(shí)際工程中，車軸兩側(cè)的車輪所接觸的橋面不平度并不完全相同，所以假設(shè)兩側(cè)車輪與橋面接觸點(diǎn)位置處的橋面不平度分別為rLi(x)和rRi(x)，則左右輪與橋梁作用點(diǎn)處豎向位移dLi和dRi分別為

(14)

(15)

1.3.2 車橋系統(tǒng)力學(xué)耦合關(guān)系

根據(jù)牛頓第二定律，在橋面不平度激勵(lì)作用下，車輛與橋梁之間會(huì)產(chǎn)生一組大小相等、方向相反的作用力。左右車輪所受豎向荷載如圖4所示。

圖4 輪-橋力學(xué)耦合關(guān)系Fig.4 Wheel-bridge mechanics coupling relationship

左右車輪所受豎向荷載為

(16)

任一個(gè)車輪i作用于橋梁的力可表示為

(17)

1.4 組建車橋耦合時(shí)變矩陣

基于車輛和橋梁動(dòng)力學(xué)方程，基于車橋幾何和力學(xué)耦合關(guān)系，組建車橋耦合時(shí)變矩陣為

(18)

式(18)中：Mv為車輛質(zhì)量矩陣；Mb為橋梁質(zhì)量矩陣；Cv為車輛阻尼矩陣；Cb為橋梁質(zhì)量時(shí)變矩陣；Cvb為車橋阻尼時(shí)變耦合矩陣；Cbv為橋車阻尼時(shí)變耦合矩陣；Kv為車輛剛度矩陣；Kb為橋梁剛度時(shí)變矩陣；Kvb為車橋剛度時(shí)變耦合矩陣；Kbv為橋車剛度時(shí)變耦合矩陣；Fv為車輛所受荷載時(shí)變矩陣；Fb為橋梁所受荷載時(shí)變矩陣。

1.5 空間橋面不平度

車輛在橋面行駛時(shí)，高低不平的橋面狀況不僅影響行車舒適性，也是橋梁振動(dòng)的主要激勵(lì)源。因此，對(duì)于橋面不平度模擬尤為關(guān)鍵。一般采用功率譜密度(power spectral density，PSD)表示為

(19)

式(19)中：n為空間頻率，m-1；n0為參考空間頻率，其值為0.1 m-1；Gq(n0)為參考空間頻率下的路面PSD值；w為頻譜指數(shù)，通常為2。

由于左右車輪對(duì)應(yīng)的橋面不平度并不完全相同，引入橋面橫向相關(guān)函數(shù)r(n)，對(duì)左右車輪的相位角的相關(guān)性進(jìn)行擬合[16]，得到空間橋面不平度樣本函數(shù)rL(x)和rR(x)為

(20)

θL=θR+sgnθ1arccos(e-pnB),n∈(nl,nu)

(21)

(22)

(23)

式中：B為軸距；P為經(jīng)驗(yàn)值，一般為1；nu、nl為有效空間頻率上限和下限；θ1為在L的隨機(jī)數(shù)；N為空間頻率帶所分成的份數(shù)；θ為在[0，2π]內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；x為橋面縱向坐標(biāo)值。

2 橋梁仿真模型建立及分析

2.1 工程概況

以某3跨連續(xù)梁橋?yàn)楣こ淌纠M(jìn)行車橋耦合振動(dòng)分析，橋梁全長(zhǎng)239 m，跨徑組合(50+100+50) m，上部結(jié)構(gòu)采用單箱單室截面，下部結(jié)構(gòu)采用雙柱式墩，主梁采用C55混凝土，橋墩采用C40混凝土，其相關(guān)尺寸和仿真模型如圖5所示。

圖5 工程示例Fig.5 Engineering example

2.2 仿真建模

采用仿真軟件進(jìn)行橋梁模態(tài)分析，其中主梁縱向按0.5 m等間距離散，普通鋼筋通過截面等效剛度考慮，材料彈性模量為35.5 GPa，泊松比為0.2。邊界條件設(shè)置時(shí)，按照設(shè)計(jì)圖紙進(jìn)行相應(yīng)設(shè)置，如圖6所示。

圖6 仿真模型Fig.6 Simulation model

2.3 橋梁自振特性

通過子空間迭代法進(jìn)行求解橋梁自振特性，如表1所示，本文中列舉前10階的自振特性結(jié)果。

表1 大跨連續(xù)梁自振特性統(tǒng)計(jì)表Table 1 Statistical table of natural vibration characteristics of long-span continuous beams

3 大跨連續(xù)梁橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)分析

3.1 沖擊系數(shù)定義

3.1.1 理論法

車輛荷載通過橋梁時(shí)，由于激振力作用橋梁產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)，形成沖擊效應(yīng)[17]，為簡(jiǎn)化計(jì)算， 采用沖擊系數(shù)μ進(jìn)行分析，其計(jì)算(圖7)式為

圖7 沖擊系數(shù)理論法計(jì)算圖示Fig.7 Calculation diagram of impact coefficient

μ=1-Yd，max/Yj，max

(24)

式(24)中：Yd，max為車輛過橋時(shí)跨中截面的動(dòng)撓度的最大值，mm；Yj，max為對(duì)應(yīng)車輛作用橋梁跨中截面的靜撓度最大值，mm。

3.1.2 規(guī)范法

中國(guó)公路橋涵通用規(guī)范[15](15規(guī)范)：沖擊系數(shù)μ與結(jié)構(gòu)基頻f的函數(shù)表達(dá)式為

(25)

3.2 車型參數(shù)選取

車輛采用五軸重卡模型，相關(guān)車輛參數(shù)[10]如表2、表3所示。

表2 車輛基本參數(shù)取值

表3 車輛模型剛度和阻尼參數(shù)取值

3.3 空間橋面不平度模擬

根據(jù)1.5節(jié)空間橋面不平度的相關(guān)理論，采用MATLAB軟件計(jì)算生成示例工程的空間橋面不平度，如圖8所示。

圖8 不同等級(jí)左右輪空間橋面不平度Fig.8 Bridge roughness of left and right wheels of different grades

3.4 敏感因素下大跨連續(xù)梁橋車橋耦合響應(yīng)分析

調(diào)研分析影響大跨連續(xù)梁橋動(dòng)力響應(yīng)的相關(guān)參數(shù)，確定了橋面不平度、車輛行駛速度、車輛重量和橋梁阻尼比4個(gè)主要敏感參數(shù)，并設(shè)計(jì)工況參數(shù)表，如表4所示，本文中列舉中跨跨中截面受各個(gè)敏感參數(shù)的動(dòng)力響應(yīng)曲線，如圖9所示。

表4 敏感工況設(shè)計(jì)表Table 4 Design of Influencing Parameters

由圖9可知：中跨跨中截面豎向位移在空間橋面不平度和車輛重量下較為敏感，隨著敏感參數(shù)的變化，響應(yīng)曲線較為敏感；而隨車速和阻尼比變化時(shí)，響應(yīng)曲線變化相對(duì)較小。

圖9 中跨跨中截面隨敏感參數(shù)變化動(dòng)力響應(yīng)圖Fig.9 The dynamic response diagram of the mid-span section of the mid-span with the change of sensitive parameters

3.5 大跨連續(xù)梁橋沖擊系數(shù)研究

通過式(24)計(jì)算得出各個(gè)敏感參數(shù)下典型截面沖擊系數(shù)的變化規(guī)律，如圖10所示。

由圖10可知：

圖10 關(guān)鍵截面沖擊系數(shù)隨敏感參數(shù)變化曲線圖Fig.10 The variation curve of the impact coefficient of the key section with the sensitive parameters

(1)在各個(gè)敏感參數(shù)下，理論法計(jì)算的沖擊系數(shù)普遍大于規(guī)范值。

(2)橋面不平度對(duì)橋梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)及沖擊系數(shù)影響顯著，呈正相關(guān)趨勢(shì)，且當(dāng)橋面狀況較差時(shí)，其沖擊系數(shù)遠(yuǎn)大于規(guī)范值。

(3)車輛行駛速度與橋梁動(dòng)力響應(yīng)較為復(fù)雜，究其原因，車輛過橋時(shí)，未對(duì)橋面形成周期性激勵(lì)，隨著車速增大，其沖擊系數(shù)呈先減小后增大趨勢(shì)，且邊跨跨中截面與中跨跨中截面變化趨勢(shì)不盡相同。

(4)車輛重量和橋梁阻尼比變化趨勢(shì)較為一致，都隨著變量參數(shù)的增大呈減小趨勢(shì)。

4 結(jié)論

(1)基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理，考慮中國(guó)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范，建立五軸設(shè)計(jì)重卡車輛模型和大跨連續(xù)梁橋動(dòng)力模型；通過車輛和橋梁幾何和力學(xué)耦合條件，組建大跨連續(xù)梁橋車橋耦合時(shí)變矩陣，并考慮空間橋面不平度影響，為開展后續(xù)大跨連續(xù)梁橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)研究提供理論基礎(chǔ)。

(2)通過自編程序，重點(diǎn)分析了空間橋面不平度、車輛行駛速度、車重載重和橋梁阻尼比參數(shù)下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)和沖擊系數(shù)變化規(guī)律，得出在各敏感參數(shù)下，橋梁典型截面沖擊系數(shù)計(jì)算值普遍大于規(guī)范值，且橋面不平度的影響最為敏感。相關(guān)研究成果可為此類橋梁安全運(yùn)營(yíng)提供參考和指導(dǎo)。