用運動的眼光認(rèn)識平行四邊形

郝宇雁 郜舒竹

【摘? ?要】一直以來，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)常?！爸厮爿p看”，輕視學(xué)生對圖形的觀察和圖形間關(guān)系的整體感知，導(dǎo)致學(xué)生視覺感知能力和視覺推理能力的欠缺。因此，需要以運動的眼光認(rèn)識幾何圖形，為學(xué)生觀察物體提供新的視角，初步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)新意識。

【關(guān)鍵詞】運動;眼光;平行四邊形;幾何圖形

長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)“重算輕看”，重視公式的推理、計算和程序化的操作，而輕視對圖形的觀察和圖形間關(guān)系的整體感知。在認(rèn)識基本圖形的教學(xué)上更是“輕看”，以“認(rèn)識平行四邊形”為例，不少教師僅通過呈現(xiàn)平行四邊形的圖片、學(xué)生猜想平行四邊形的特征、學(xué)生驗證平行四邊形這樣的程序來強(qiáng)化學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識。[1]這樣的教學(xué)，看似創(chuàng)設(shè)了寬松、和諧的氛圍，發(fā)展了學(xué)生的自主探究能力，實則只是程序性地強(qiáng)化了學(xué)生對已有知識的記憶，而缺少視覺感知（Visual Perception）和視覺推理（Visual Reasoning）活動。顯然，這種“重算輕看”的教學(xué)是亟須變革的。在此，借“用運動的眼光認(rèn)識平行四邊形”來說明“運動”的眼光對學(xué)生認(rèn)識幾何圖形的重要性。

一、“運動”（Motion）

《現(xiàn)代漢語詞典》（第7版）中對“運動”一詞的解釋是“物體的位置不斷變化的現(xiàn)象。通常指一個物體和其他物體之間相對位置的變化”。《牛津英語詞典》中將“運動”看作是某物移動的行為、過程或方式。而哲學(xué)范疇中的“運動”是指物質(zhì)的存在形式及其根本屬性[2]，它包括宇宙間所發(fā)生的一切變化和過程，從簡單的位置運動到人類思維。[3]

關(guān)于“運動”，美國認(rèn)知語言學(xué)教授倫納德·泰爾米（Leonard Talmy）在20世紀(jì)80年代最早提出“虛擬運動”（Fictive Motion）[4]一詞，其最大的特點就是用動態(tài)的表達(dá)即運動動詞來描述靜態(tài)的場景。虛擬運動是一種心理模擬。[5]在這種情況下，輸入大腦中的概念本沒有運動，但這些概念被整合成了虛擬運動的場景。[6]比如在“長城從北京一直蜿蜒到嘉峪關(guān)”這句話中，長城本是靜態(tài)的，但經(jīng)過大腦的整合讓我們對長城的位置以及它和其他省市的空間關(guān)系有了基本的了解，這就是使用“運動”來呈現(xiàn)靜態(tài)的場景?？梢?，“運動”的內(nèi)涵是如此廣泛和深刻：不僅包括實體的移動，而且涵蓋了虛擬的運動，甚至囊括了人類思維的發(fā)展。

運動變成幾何中的基本概念要追溯到菲利克斯·克萊因（Felix Klein，1849—1925）在埃爾朗根大學(xué)（University of Erlangen）的演講[7]，他改變了人們用靜止的觀點研究幾何的傳統(tǒng)，將運動的眼光發(fā)展到了幾何領(lǐng)域（Geometry），他提出運動應(yīng)該成為人們研究不同空間之間關(guān)系的一種思維方式。小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及“運動”的主要是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“圖形的運動”，可以理解為幾何圖形位置發(fā)生變化的行為、過程或方式。在變化的過程中，圖形的形狀和大小始終保持不變，且平面或空間中的所有點保持一對一相關(guān)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“圖形的運動”包括的內(nèi)容有平移（Translation）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）、軸對稱（Symmetry/Reflection）。平移即圖形中的所有點在平面上沿同一方向移動同樣的距離;旋轉(zhuǎn)即一個圖形繞給定的點旋轉(zhuǎn)給定的角度;軸對稱即一條線像鏡子一樣反射一個圖形。“圖形的運動”不僅是一種實體的運動，而且是一種虛擬運動。如果關(guān)注運動的過程，圖形的位置每時每刻都在發(fā)生變化，這便是實體的運動;如果關(guān)注運動后的狀態(tài)，借運動來呈現(xiàn)靜止的狀態(tài)，這就可以理解為虛擬運動。因此，“運動”不僅是一種行動方式，更應(yīng)當(dāng)成為一種眼光，幫助兒童認(rèn)識基本幾何圖形。

二、運動眼光下的平行四邊形

平行四邊形（Parallelogram），用“平行”一詞來限定“四邊形”，使“平行四邊形”成為一類特殊的四邊形。[8]以靜止的眼光看，一個平行四邊形是由四條直線段圍成的四邊形，并且兩組對邊分別平行且相等，兩組對角分別相等。以運動的眼光看，一個平行四邊形可以由平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等不同的運動方式得到。下面介紹幾種以運動的眼光認(rèn)識平行四邊形的方法。

（一）線段的平移

以運動的眼光來看，圖1中的平行四邊形ABCD可以看作是一條運動的線段EF從AB位置平移到CD位置留下的軌跡。平移的方向不是沿著垂直于線段EF的方向，而是沿著與線段EF形成一定角度的方向（圖1中線段AD或者線段BC的方向）。在平移的過程中，運動著的“線”留下的軌跡是“面”，概括來說就是“線動成面”。[9]

（二）三角形繞一邊的中點旋轉(zhuǎn)

如圖2將三角形ABC繞BC邊的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后得到的三角形和原三角形共同組成平行四邊形AC'A'B'。原B點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成B'點且與原C點重合，原C點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成C'點且與原B點重合，原A點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成A'點。

由此可見，將任意一個三角形繞其一邊的中點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)可以得到相應(yīng)的平行四邊形，這個過程也可以看作是由兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師教學(xué)《三角形的面積》時常說的一句話就是“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”。這是借助了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將未知的三角形轉(zhuǎn)化為已知的平行四邊形，進(jìn)而推導(dǎo)其面積的計算方法。

（三）三角形兩邊取中點后繞點旋轉(zhuǎn)

以運動的眼光看，平行四邊形還可以看作是將三角形兩邊取中點后繞點旋轉(zhuǎn)而得到的。[10]如圖3，在三角形ABC的AC邊和BC邊上分別取中點D和E，并連接DE（此時DE邊平行于三角形的底邊AB且長度為AB邊的一半），便得到了小三角形CDE。將小三角形CDE繞E點順時針旋轉(zhuǎn)180°后，原C點變成C'點且與原B點重合，原D點變成D'點。由旋轉(zhuǎn)得到的三角形C'D'E與原梯形ABED共同組成平行四邊形AC'D'D。同理，也可以將小三角形CDE繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)180°后（原C點變成C'點且與原A點重合，原E點變成E'點）和原梯形ABED共同組成平行四邊形BC'E'E（如圖4）。

（四）直角三角形的軸對稱變換

如圖5，直角三角形ABC經(jīng)過兩次軸對稱變換可得到平行四邊形AB'A'B。具體操作如下：將直角三角形ABC以短直角邊BC所在的直線為對稱軸進(jìn)行第一次軸對稱變換，原A點經(jīng)軸對稱后得到A'點，原三角形ABC經(jīng)軸對稱變換后得到三角形AA'B（其中點A、C、A'經(jīng)軸對稱變換后在一條直線上）。在此基礎(chǔ)上，將三角形AA'B以AA'邊所在的直線為對稱軸進(jìn)行第二次軸對稱變換，之后形成平行四邊形AB'A'B。

（五）凸四邊形中的平行四邊形

如圖6，有凸四邊形ABCD，在其四條邊AB、BC、CD、DA上分別取中點E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE四邊（此時邊EH、FG均平行于BD邊，且長度為BD邊的一半;邊EF、HG均平行于AC邊，且長度為AC邊的一半），可得到平行四邊形EFGH。這是在凸四邊形中繪制平行四邊形的第一種方法。

除此之外，還可以借助旋轉(zhuǎn)、平移等變換將凸四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成平行四邊形EFF'E'。具體操作如圖7所示：在上述操作的基礎(chǔ)上，將三角形AEH繞H點順時針旋轉(zhuǎn)180°得到三角形A'E'H（原A點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成A'點且與原D點重合，原E點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成E'點）;將三角形CFG繞G點順時針旋轉(zhuǎn)180°得到三角形C'F'G（原C點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成C'點且與原D點重合，原F點經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成F'點）;將三角形EBF沿線段BD的方向平移線段BD的長度得到三角形E'B'F'（原E點經(jīng)平移變成E'點，原F點經(jīng)平移變成F'點，原B點經(jīng)平移變成B'點且與原D點重合）;變換后的三個三角形和原三角形HDG組成平行四邊形HGF'E'，并因此得到新的平行四邊形EFF'E'。這是將凸四邊形分割后的各部分進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的運動而得到平行四邊形的第二種方法。

除以上方法外，還可以將不同的圖形進(jìn)行不同的運動而得到平行四邊形。運動的眼光是一個全新的視角，用運動的眼光重新審視生活中司空見慣的圖形，這是一種突破，也是一種提升，有助于整體感知圖形間的關(guān)系，發(fā)展初步的空間能力。

三、運動的眼光對小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)價值

將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)落實在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼睛看，會用數(shù)學(xué)的思維想，會用數(shù)學(xué)的語言說。[11]運動的經(jīng)驗是普遍的，它滲透到人類生活的各個方面，與運動相關(guān)的語言可以滲透到語言表達(dá)中沒有真實運動的領(lǐng)域。[12]以運動的眼光觀察物體正是培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的能力，學(xué)生能夠從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出概念與概念的關(guān)系，把握概念的關(guān)鍵特征。認(rèn)識基本圖形的教學(xué)正是要讓學(xué)生掌握概念的關(guān)鍵特征[13]，通過圖形的運動體會不同圖形、不同概念之間的關(guān)系，進(jìn)而把握每一種圖形的關(guān)鍵特征。

以運動的眼光認(rèn)識基本圖形為學(xué)生觀察物體提供了新的視角，并且發(fā)展了學(xué)生初步的空間觀念。點動成線（如流星劃過夜空留下的軌跡）、線動成面（如汽車的雨刷在擺動時形成的圖形）、面動成體（如以長方形紙片的一邊為軸旋轉(zhuǎn)后得到的圓柱體）背后都蘊(yùn)藏著常見的生活現(xiàn)象。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生用運動的眼光審視日常生活，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生的空間觀念，空間觀念的提升能為初中乃至以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

不僅如此，以運動的眼光認(rèn)識基本圖形還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)新意識。在以運動的眼光審視世界的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形運動形成的圖案之美，發(fā)現(xiàn)圖形運動和藝術(shù)與生活的聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生感受美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力。早在20世紀(jì)初，荷蘭圖形藝術(shù)家莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898—1972）就受數(shù)學(xué)的啟發(fā)進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，他借助圖形的運動創(chuàng)作了許多精美絕倫的作品。[14]在埃舍爾“對平面的規(guī)則劃分”的創(chuàng)作方式中大量使用了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換，這也讓他的作品極具數(shù)學(xué)的圖形之美。同樣如此，學(xué)生也可以在掌握圖形運動的關(guān)鍵特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，這充分體現(xiàn)了馬克思主義關(guān)于人的全面發(fā)展學(xué)說的相關(guān)內(nèi)容，實現(xiàn)智育和美育的和諧統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)之一就是要讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼睛看，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光?！斑\動”作為數(shù)學(xué)眼光的一種，它不是一種現(xiàn)象，而是一種方法，一種工具，一種思維，一種模擬現(xiàn)實世界的模型，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識世界的重要抓手，對人的視覺感知能力和視覺推理能力的發(fā)展起到巨大作用;它理應(yīng)受到重視并被廣泛應(yīng)用。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）