讓信息技術成為學生學習的認知工具

【摘 要】以2019年人教版高中數(shù)學（A版）教材選擇性必修中的“解析幾何”內容為素材，以信息技術為載體，在課堂教學中可采用一種有別于常規(guī)的教學組織方式，讓信息技術成為學生在學習過程中的認知工具，促進學生對數(shù)學本質的理解，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，提高其數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】解析幾何;信息技術;創(chuàng)造性思維

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）27-0012-03

【作者簡介】王凱，浙江省杭州市源清中學（杭州，310015）教師，高級教師，杭州市普通高中新課程新教材研究小組成員，杭州市高中數(shù)學青年教師核心組成員。

解析幾何是高中數(shù)學中與“數(shù)形結合”聯(lián)系最緊密的內容之一，“在建立幾何直觀的基礎上，利用代數(shù)方法予以表達”是其基本理念。在以往的解析幾何教學中，無論是新授課還是習題課，教師經(jīng)常會使用信息技術軟件演示動畫效果，借助直觀呈現(xiàn)來幫助學生更好地理解概念和思考問題，從這個層面上來說，技術的引入僅僅是為了驗證問題。在信息化的環(huán)境下，學習解析幾何，應嘗試用技術去設計實驗、驗證猜想，用技術的力量促進學生對數(shù)學知識的理解走向更高層面。

2019年人教版高中數(shù)學（A版）教材強調通過信息技術軟件探究圖形之間的關系[1]，把信息技術作為學生的一種認知工具，在教學過程中幫助學生的學和教師的教。[2]“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的軟件，它能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關系、運行變化規(guī)律，是一款用于輔助教授代數(shù)、歐氏幾何、微積分等數(shù)學知識的動態(tài)幾何軟件。

本文以人教A版教材選擇性必修中的“解析幾何”內容為素材，以“幾何畫板”為工具，談談如何構建信息技術與數(shù)學教學深度融合的課堂，讓信息技術成為學生學習的認知工具。

一、解題后顯形

筆者以2019年人教A版選擇性必修一第二章“直線和圓的方程”中“圓與圓的位置關系”的例6為例題，引入本節(jié)課。

問題：如圖1，已知圓O的直徑AB=4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的[2]倍，試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系。

對于這個問題的解決，教材立足解析法，引導學生通過適當?shù)慕ㄏ?，用代?shù)式表示幾何關系，然后化簡，求出點M的軌跡方程。在解決此問題后，課本中又提出：“如果把本例中的‘[2]倍’改為‘k（k>0）倍’，你能分析并解決這個問題嗎？”這種由特殊到一般的過程，旨在培養(yǎng)學生數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

以上解題方法需要學生具備較強的抽象思維能力，但由于缺少對幾何圖形的直觀觀察和理解，所以很多學生不確定通過計算得出的答案是否準確。此時教師可以借助幾何畫板，展示點M的軌跡方程。如圖2，筆者用繪圖軟件作點A（-2，0）、B（2，0），設置參數(shù)[k]，作線段BD并度量出其長度r2。以點B為圓心，BD長為半徑作圓B;以點A為圓心，k·BD長r1為半徑作圓A。圓B與圓A交于點M，改變BD的長度，就可以得到點M的軌跡。

此過程使點M的運動軌跡直觀地呈現(xiàn)在學生面前，讓不可見的“代數(shù)關系”變成了可見的“幾何圖形”。上述教學中，筆者先用解析的方法進行代數(shù)推理，再用信息技術工具進行數(shù)學實驗，讓學生通過數(shù)和形的角度去理解這種比值構圓的過程。高中數(shù)學中有很多概念具有較強的抽象性，所以在概念教學的過程中，教師可以借助信息技術讓學生直觀地感知概念，這對學生正確理解、掌握數(shù)學概念有很大的幫助。

二、用變形引導探究

通過以上過程，學生對信息技術在解決幾何問題中的應用有了一定的認識。此時教師可以對上述問題進行拓展，增加變量，引導學生使用信息技術再現(xiàn)幾何圖形的運動過程，強化學生對信息技術的理解和運用。

實驗探究：若平面中一動點M到定點A和B距離之積為定常數(shù)k，即[AM·MB=k（k>0）]，請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形。

對于這個問題，我們可以把之前問題中圓[A]的半徑改成[kBD]，這在幾何畫板中非常容易實現(xiàn)。我們可以觀察到[k]的值會對圖形產生比較大的影響。圖3中兩個小圓是[k=2];類似于“[∞]”符號的圖形是[k=4];接下來3條封閉曲線由“凹”到“凸”依次是[k]等于6、8、10。接下來可以讓有能力的學生用解析法來探究該圖形的解析式。

以上探究過程以課本的例題為源，改變情境，借助技術探究結果，看似和之前處理問題的方式一致，但在化簡的過程中分類較多，對學生解析和操作能力的要求也較高。在此過程中，學生能夠自主利用信息技術解決問題、思考數(shù)學現(xiàn)象、發(fā)展數(shù)學思維，為接下來系統(tǒng)學習圓錐曲線提供了認知基礎和心理準備。我們的教學應該追求這樣一種境界——讓數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學生在學習過程中認知的過程、思維的過程合理。[3]

三、理解代數(shù)關系

通過信息技術再現(xiàn)幾何圖形的運動軌跡，化抽象的代數(shù)關系為直觀的幾何圖形，提高了學生利用信息技術分析和解決問題的能力。但在考試過程中，學生往往只能利用抽象思維推理出題目中的代數(shù)關系，因此教學最后的落腳點還是要落在代數(shù)關系的計算上。而信息技術則作為一種認知工具，能夠加強學生對此代數(shù)關系的理解，提高其解決問題的能力。

任務1：若平面中一動點[M]到定點[A]和[B]距離之和為定常數(shù)（即[AM+BM=2a]），請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形，并求出動點的軌跡方程。

任務2：若平面中一動點[M]到定點[A]和[B]距離之差的絕對值為定常數(shù)（即[AM-BM=2a]），請嘗試用繪圖軟件畫出滿足條件的圖形，并求出動點的軌跡方程。

按照之前的思路，解決這兩個問題時，教師可借助幾何畫板在繪制圖形的過程中，引導學生觀察方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，通過演繹推理，最終完成任務。

從最初的問題出發(fā)，學生在構圖軟件中再現(xiàn)了平面中一動點M到兩定點A和B距離之比、之積、之和、之差（的絕對值）為定常數(shù)的點軌跡，加深了對代數(shù)關系的理解。信息技術的介入能使學生的邏輯推理方向更加明確，找到解決問題的關鍵點。信息技術在這里不僅僅是學具，更是學生認知的孵化器，讓學生“學會學習”[4]，培育學生的創(chuàng)造性思維。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合，提高教學的實效性。[5]”以上教學設計更加側重利用信息技術工具培養(yǎng)學生獨立自主學習的意識，突出了數(shù)學知識的連貫性，旨在培養(yǎng)學生的學習興趣，提升學生的學習能力。在這一教學過程中，學生的學習由被動轉為主動，經(jīng)歷了探索和求新的過程，培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維。

作為教師，要努力為學生搭建基于信息技術的數(shù)學實驗平臺，比如幾何畫板、網(wǎng)絡畫板、GeoGebra和圖形計算器等，結合這些信息技術各自的特點，在教學的過程中組合使用，以活躍學生的思維、拓寬其視野、培育其創(chuàng)新精神。

【參考文獻】

[1]章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021：262，251.

[2]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書教師教學用書數(shù)學選擇性必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：11.

[3]王凱，蘇有生. 基于“兩個過程”的課堂教學設計——以“空間向量的正交分解及其坐標表示”為例[J].中學數(shù)學教學參考，2018（16）：38-40.

[4]王凱. 基于“兩個過程”合理性理念下的探究課設計——以“余弦定理”的教學為例[J].中小學數(shù)學（高中版），2021（5）：29-31.

[5]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：3.