讓“研究性學(xué)習(xí)”為“數(shù)學(xué)建?！辈迳巷w翔的翅膀

秦紅

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一，同時(shí)“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”更是作為單獨(dú)的主題貫穿高中數(shù)學(xué)課程，必修6個(gè)課時(shí)，選擇性必修4個(gè)課時(shí)，這是前所未有的。如何在高中開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課，推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是廣大一線教師普遍關(guān)心的問(wèn)題。

一、問(wèn)題提出

綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中包含研究性學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在3年內(nèi)每學(xué)年完成1個(gè)課題研究或項(xiàng)目設(shè)計(jì)，以開(kāi)展跨學(xué)科研究為主。筆者所在學(xué)校一直組織學(xué)生認(rèn)真開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)自由組合小組，經(jīng)歷選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題四個(gè)階段，最終提交一份研究性學(xué)習(xí)報(bào)告。而數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的課程定位是“作為基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)”，教學(xué)要“以課題研究的形式開(kāi)展，課題研究的過(guò)程包括選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)”，故數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課是否可以依托學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)更好的開(kāi)展？

《課標(biāo)（2017版）》明確要求數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)以課題研究的形式展開(kāi)，而在《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》（國(guó)辦發(fā)[2019]29號(hào)）中強(qiáng)調(diào)：“在全面實(shí)施新課程、使用新教材的過(guò)程中，要積極探索基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項(xiàng)目設(shè)計(jì)、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開(kāi)展驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)?！庇纱艘匝芯啃詫W(xué)習(xí)的教學(xué)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)既符合《課標(biāo)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)的要求，更符合新時(shí)代育人方式改革的要求，以學(xué)生發(fā)展為主，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與教師教的方式，讓學(xué)生主動(dòng)的探索、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題。本文以本校情況為例，談?wù)劺醚芯啃詫W(xué)習(xí)開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的過(guò)程。

二、前期調(diào)研與動(dòng)員準(zhǔn)備階段

通過(guò)調(diào)研學(xué)生以往研究性學(xué)習(xí)完成情況發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要選擇文科類進(jìn)行研究，較少有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等理科的研究。結(jié)合對(duì)學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)研研究發(fā)現(xiàn)，由于數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課程實(shí)施不夠，學(xué)生的體驗(yàn)感不強(qiáng)，從而學(xué)生并不明確研究性學(xué)習(xí)可以研究數(shù)學(xué)里的哪些內(nèi)容，同時(shí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)，普遍具有畏難心理;另一方面數(shù)理化生的成績(jī)對(duì)研究性學(xué)習(xí)的開(kāi)展也有較大的影響。針對(duì)上述情況，在新一屆高一教學(xué)中我們作了如下努力：

第一階段：了解數(shù)學(xué)建模的發(fā)展史及其現(xiàn)實(shí)意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中總有一個(gè)問(wèn)題困擾著：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？日常生活中好像除了購(gòu)物算賬之外很難看到數(shù)學(xué)的蹤跡，但數(shù)學(xué)來(lái)源于人們生產(chǎn)和生活的需要，生活中好似看不到，只是由于日常生活的數(shù)學(xué)規(guī)律一般隱藏在生活的深層。而數(shù)學(xué)建模正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)通向?qū)嶋H應(yīng)用的必經(jīng)之途。數(shù)學(xué)建?？梢岳藗?cè)谛撵`上與數(shù)學(xué)的距離，促使人們?cè)趹?yīng)用的過(guò)程中更好的品味數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和熱愛(ài)生活。我們要讓學(xué)生明確生活中其實(shí)處處都是數(shù)學(xué)的身影，而自己只是缺乏一雙發(fā)現(xiàn)的眼睛。而數(shù)學(xué)建模將會(huì)讓我們擦亮雙眼，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。在這一階段教師可布置學(xué)生自主查閱數(shù)學(xué)建模的發(fā)展情況，明確數(shù)學(xué)建模在國(guó)內(nèi)外的現(xiàn)狀，同時(shí)推薦學(xué)生閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)建模的書籍，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有一定的了解，同時(shí)也點(diǎn)燃學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)的激情。

第二階段：技能培訓(xùn)——查閱資料、論文書寫、信息技術(shù)輔助

數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)系統(tǒng)的研究活動(dòng)，研究性學(xué)習(xí)也需要學(xué)生以科學(xué)研究為主進(jìn)行課題研究，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，故教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的研究的能力，所謂“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，高一學(xué)生在進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)之前，我們會(huì)相應(yīng)地培訓(xùn)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)數(shù)字資源查閱資料，介紹數(shù)字資源庫(kù)，如中國(guó)知網(wǎng)CNKI中小學(xué)數(shù)字圖書館、廣州數(shù)字圖書館等中文數(shù)據(jù)庫(kù)的使用方法。同時(shí)也利用信息技術(shù)課以及數(shù)學(xué)課培訓(xùn)學(xué)生數(shù)據(jù)處理的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)常用的軟件如Excel工作表格、GeoGebra、Matlab等的使用。而論文書寫則主要是給學(xué)生欣賞往期《中學(xué)生數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐征文》中獲獎(jiǎng)的文章，學(xué)習(xí)論文書寫格式等等。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模知識(shí)

在高一階段每周的正常數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)中嵌入與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，在數(shù)學(xué)知識(shí)講解的過(guò)程中不斷加強(qiáng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并能經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)背景的分析中歸納、提煉數(shù)量關(guān)系并得到模型的過(guò)程，通過(guò)新教材的建模例題、習(xí)題的內(nèi)容表述來(lái)滲透“建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題”的要求。

例如：在2019版高中數(shù)學(xué)教材必修一中有這樣一道習(xí)題：某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為30元∕件的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)（單位：元）與日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系。

1.根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)畫出的點(diǎn)猜想與之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出一個(gè)函數(shù)解析式;

2.設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)？

為提升學(xué)生的解題興趣，授課時(shí)可將題目情境改編一下。2020年國(guó)家允許擺地?cái)傉吆?，快過(guò)年你想掙錢換新手機(jī)，于是在家人的幫助下批發(fā)一批進(jìn)價(jià)為30元∕件的中國(guó)結(jié)，假設(shè)在試銷中發(fā)現(xiàn)，中國(guó)結(jié)的銷售單價(jià)（單位：元）與日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系。

中國(guó)結(jié)每件賣多少元時(shí)？你能獲得最大日銷售利潤(rùn)？

改編情境讓學(xué)生更有代入感，能真正的感受到解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，可以和學(xué)生一起探討數(shù)據(jù)的處理方法，如畫散點(diǎn)圖、數(shù)據(jù)的擬合，給學(xué)生展示用信息技術(shù)來(lái)處理數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì)。通過(guò)解題學(xué)生也能經(jīng)歷構(gòu)建函數(shù)模型解決具體問(wèn)題的過(guò)程。雖然課本中數(shù)學(xué)應(yīng)用題是源于生活但總與生活有一些出入，教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生可以自己從生活中去發(fā)掘具體的例子真正的解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生充滿研究的興趣，最終在研究性學(xué)習(xí)中找到施展拳腳的機(jī)會(huì)。

四、數(shù)學(xué)建模的研究性學(xué)習(xí)的正式開(kāi)展

隨著高一課程的深入，教材在“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”之后，緊接著安排了“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，課題名為“特定室溫條件下剛泡好的茶水多長(zhǎng)時(shí)間可以達(dá)到最佳口感”，利用這一教材內(nèi)容在班級(jí)內(nèi)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模示范教學(xué)，在教師的帶領(lǐng)下讓學(xué)生體驗(yàn)完整的建模的環(huán)節(jié)，為學(xué)生自主進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)主要包含四個(gè)環(huán)節(jié)：選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題。首先由學(xué)生自主組合成若干個(gè)小組，分工完成教師布置的任務(wù)清單：1. 了解廣東的茶文化，找到影響茶水口感的因素，并確定哪些是主要因素;2.以小組為單位，收集茶水的溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù);3.回顧已學(xué)的函數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)，為建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ偷於ɑA(chǔ)。這些工作在課前完成，既能讓學(xué)生充分的建立小組、分工合作，又可以給學(xué)生充足時(shí)間了解影響茶水最佳口感這個(gè)現(xiàn)實(shí)情境背后的信息，能自發(fā)提出有數(shù)學(xué)價(jià)值的問(wèn)題研究，并能親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模中數(shù)據(jù)采集這一環(huán)節(jié)重要環(huán)節(jié)。同時(shí)利用課堂進(jìn)行選題開(kāi)題展示;建立模型，分析誤差;優(yōu)化模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?聯(lián)系實(shí)際，解決問(wèn)題;歸納小結(jié)，拓展提升。在建立模型階段，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的模型，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，辨析模型的優(yōu)劣，最終選用合適的指數(shù)模型，應(yīng)用模型代入數(shù)據(jù)得到剛泡好的茶水最佳飲用時(shí)間大約是7分鐘。

在《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書中對(duì)于教師如何將標(biāo)準(zhǔn)教科書中的問(wèn)題過(guò)渡到完整的建模周期給了幾個(gè)指導(dǎo)原則：1.從小問(wèn)題著手;2.用引導(dǎo)性的問(wèn)題和課堂討論，以此支持初步經(jīng)驗(yàn)的形成 ;3.使用普遍地日常經(jīng)驗(yàn)來(lái)激發(fā)數(shù)學(xué)方法的使用;4.使用小型的建模情境，使得只需一兩個(gè)要素便能組成一個(gè)完整的建模周期;5.與家長(zhǎng)和管理者分享你的目標(biāo)和教學(xué)實(shí)踐。研究茶水最佳飲用時(shí)間問(wèn)題恰好符合這些原則，利用這個(gè)小的課題研究讓學(xué)生能體驗(yàn)一次完整的建模過(guò)程，學(xué)生自己開(kāi)展研究學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，同時(shí)具有生活氣息的數(shù)學(xué)問(wèn)題也能讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光分析現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，也能與家長(zhǎng)分享研究的過(guò)程和結(jié)論。

萬(wàn)事具備，只欠東風(fēng)！最后就是學(xué)生們自己選擇感興趣的課題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，通過(guò)學(xué)生的活動(dòng)，教師感慨：學(xué)生永遠(yuǎn)是值得我們信任的。有的學(xué)生研究《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)三角函數(shù)章節(jié)有一個(gè)拓廣探索：幫助電力部門制定一項(xiàng)“消峰平谷”的電價(jià)方案;有的學(xué)生選擇去北京天安門看升旗儀式的時(shí)間等;有的學(xué)生還從天貓雙11優(yōu)惠活動(dòng)研究怎樣購(gòu)買商品才能省最多的錢……雖然有些結(jié)果還是稍有不足，但已經(jīng)完全達(dá)到了我們作數(shù)學(xué)建模的目的，我們的學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)終于不是只“解題”，我們學(xué)會(huì)了“解決問(wèn)題”，且是生活中的問(wèn)題，我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，以及用數(shù)學(xué)的思維去解決日常生活中的問(wèn)題。

培根說(shuō)“數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙”，而數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能為學(xué)生們打開(kāi)一扇了解數(shù)學(xué)應(yīng)用的窗口，而研究性學(xué)習(xí)則為數(shù)學(xué)建模提供研究的機(jī)會(huì)，借著這個(gè)東風(fēng)，望數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能開(kāi)展得紅紅火火。

【本文系廣州教育學(xué)會(huì)2019年教育科研課題“高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課程的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：KTLX1201930168）階段性成果】

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