電磁與化學突觸作用下ML神經(jīng)元環(huán)狀網(wǎng)絡的分岔同步

張潔　高定強

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡;電磁;分岔;同步

中圖分類號：TP183;O441.4 文獻標志碼：A

0引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本單位，神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)有胞體和突起，其中突起進行信息傳遞，其中化學突觸是一種主要的信息傳遞方式，通過突觸前膜釋放神經(jīng)遞質(zhì)，刺激突觸后膜產(chǎn)生動作電位，在神經(jīng)元之間進行信息傳遞[1]。由于細胞間各帶電離子進行跨膜運動時產(chǎn)生的放電行為，會在細胞周圍產(chǎn)生小范圍的磁場，影響神經(jīng)元的電位變化。而電位的變化又會引起磁場的改變，導致神經(jīng)元之間信息傳遞始終處于一個微弱磁場當中，這勢必會對其放電模式及其同步狀態(tài)產(chǎn)生影響[2]。Ma等人通過對單個神經(jīng)元模型在電磁輻射下的多模式放電行為的研究，揭示了電磁對神經(jīng)元放電的影響[3][4]。文獻[5]分析了Chay神經(jīng)元在電磁作用下的平衡點、穩(wěn)定性及分岔，并研究了全局連接神經(jīng)元網(wǎng)絡的同步問題。文獻[6]基于改進的電磁感應神經(jīng)元模型，檢測鏈神經(jīng)元網(wǎng)絡的集體響應。計算了同步的統(tǒng)計因子，得到了模式穩(wěn)定性與結(jié)耦合和場耦合強度的關(guān)系。給出了分岔分析和波的傳播。文獻[7]將網(wǎng)絡中的所有神經(jīng)元都與小世界連接耦合，并將結(jié)果與規(guī)則網(wǎng)絡中所有神經(jīng)元完全耦合與最近鄰連接的情況進行比較。定義了一個統(tǒng)計變量來研究由于信道噪聲和網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)引起的螺旋波的集體行為和相變。文獻[8]在HR模型的基礎上建立磁流體作用下的電活動模型，研究了兩個線性和兩個非線性模型，觀察了從振蕩到混沌動力學的各種行為，同步、平衡點、混沌等。文獻[9]利用磁通描述的電磁感應，研究了四變量HR神經(jīng)元模型的相位同步化方法。發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元間的磁通耦合能夠?qū)崿F(xiàn)完全的相位同步，同時，神經(jīng)元間的磁通耦合也能夠?qū)崿F(xiàn)完全的相位同步。

本論述在ML神經(jīng)元的基礎上，在電磁作用下，建立具有化學突觸的環(huán)狀網(wǎng)絡神經(jīng)元系統(tǒng)，運用四階龍格庫塔法，通過數(shù)值模擬分析環(huán)狀網(wǎng)絡中神經(jīng)元系統(tǒng)的分岔行為，并用時間歷程圖與相圖進行驗證。之后引入一個統(tǒng)計量同步因子R，分析環(huán)狀網(wǎng)絡神經(jīng)元系統(tǒng)中的同步行為。

1模型描述

神經(jīng)元內(nèi)外磁場變化會引起電磁感應現(xiàn)象，對神經(jīng)元放電會產(chǎn)生影響，在具有化學突觸的模型中引入電磁變量，在以下環(huán)狀網(wǎng)絡中建立ML神經(jīng)元模型，得到如圖1所示模型。

2分岔分析

在數(shù)值計算中，采用四階變步長龍格-庫塔方法對考慮環(huán)狀網(wǎng)絡中電磁和化學突觸的耦合神經(jīng)元系統(tǒng)進行分岔分析。

經(jīng)多次驗證，選取耦合強度D=0.06，μ=0.003參數(shù)vk進行數(shù)值仿真，峰峰間期分岔圖如圖2所示。觀察圖2，發(fā)現(xiàn)隨參數(shù)vk不斷增加，分岔圖首先發(fā)生倍周期分岔，當-1.0≤vk≤-0.9755時，神經(jīng)元系統(tǒng)處于周期1放電，之后發(fā)生倍周期分岔，在-0.9755≤vk≤-0.9505，神經(jīng)元系統(tǒng)處于周期2放電，之后耦合系統(tǒng)繼續(xù)發(fā)生倍周期分岔，進入短暫的周期4放電與周期8放電，之后進入混沌放電，至vk=-0.933時，耦合系統(tǒng)進入周期3放電，之后耦合系統(tǒng)繼續(xù)進入混沌放電，至vk=-0.914時，耦合系統(tǒng)重新進入周期放電，此時處于周期4放電，之后在很小的區(qū)間里發(fā)生倍周期分岔，進入周期8放電，隨vk繼續(xù)變大，耦合系統(tǒng)又進入混沌放電，直至vk=-0.8715時，耦合系統(tǒng)重新進入周期5放電，隨vk繼續(xù)變大，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)加周期放電狀態(tài)，依次進入周期6放電，周期7放電，周期8放電，并在vk≤-0.7內(nèi)，維持在周期放電的穩(wěn)定狀態(tài)。為了驗證以上分析的正確性，分別選取vk=-1.0，vk=-0.8，vk=-0.9205下的時間歷程圖與相圖進行驗證，如圖3所示。選取vk=-1.0時，分岔圖顯示為周期1放電，時間歷程圖與相圖均為周期1放電，選取vk=-0.8時，分岔圖顯示為周期5放電，時間歷程圖與相圖均為周期5放電，選取vk=-0.9205時，分岔為混沌放電，時間歷程圖與相圖也為雜亂無章的混沌放電。

經(jīng)多次驗證，選取耦合強度D=0.02，觀察化學突觸參數(shù)V在不同參數(shù)g下峰峰間期分岔圖，分析g的變化對V分岔圖的影響，如圖4所示。觀察圖4，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)隨參數(shù)Vsyn增加首先呈倍周期分岔，之后通過混沌放電呈加周期放電狀態(tài)。通過對比圖4（a）（b）（c）三張圖，發(fā)現(xiàn)當g=1.8，放電現(xiàn)象最為豐富，從周期1放電到周期2，周期4放電，以及多次混沌放電。當g=1.6時，對比g=1.8時，耦合系統(tǒng)從周期2放電開始，同樣經(jīng)歷倍周期分岔，達到周期4放電及多次混沌放電與加周期放電，且混沌放電區(qū)間較g=1.8時分散。當g=2.0，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)倍周期放電，從周期1放電到周期2，周期4放電及混沌放電，但與前兩者對比，耦合系統(tǒng)的混沌放電明顯減少，周期放電明顯增加。

3同步分析

為研究環(huán)狀網(wǎng)絡下神經(jīng)元系統(tǒng)的同步情況，在這里引入一個統(tǒng)計量——同步的統(tǒng)計因子R[6]，并應用四階龍格庫塔法進行數(shù)值分析。

其中〈·〉為變量隨時間的平均值，N為神經(jīng)元數(shù)量。網(wǎng)絡在R→1處將獲得完全同步，而R→0決定了有序空間分布和空間格局的出現(xiàn)，得到非完美同步。相關(guān)系數(shù)R越大說明耦合神經(jīng)元的相關(guān)程度越高，及耦合神經(jīng)元系統(tǒng)同步化程度越高。

對環(huán)狀網(wǎng)絡下的ML神經(jīng)元模型，引入同步的統(tǒng)計因子R，運用四階龍格庫塔法進行數(shù)值模擬，得出系統(tǒng)（1）的統(tǒng)計因子R隨耦合強度的變化圖，如圖5所示。觀察圖5，發(fā)現(xiàn)同步統(tǒng)計因子R隨耦合強度增大，首先由大變小，之后在耦合強度D=2.0時，驟然變大達到同步，并逐漸向1靠近。圖6是進一步對相關(guān)系數(shù)圖的驗證，反映了耦合系統(tǒng)隨時間尺度的增大，耦合系統(tǒng)放電的狀態(tài)和同步的情況。取耦合強度D=0.75，R=0.701002，其相圖與時間歷程圖如圖6（a）（d）所示，圖6（d）中黑色表示第一個神經(jīng)元的放電節(jié)律，紅色為第二個神經(jīng)元的放電節(jié)律，圖6（a）在平面內(nèi)不呈現(xiàn)一條斜率為1的一條直線，表示此時耦合系統(tǒng)達不到同步。圖6（d）兩個神經(jīng)元的放電節(jié)律存在錯位，進一步驗證了兩個神經(jīng)元之間不同步。取耦合強度D=1.95，R=0.210880，其相圖與時間歷程圖如圖6（b）（e）所示，觀察圖可知，此耦合強度下神經(jīng)元依然沒有達到同步。取耦合強度D=2.0，R=0.968356，其相圖與時間歷程圖如圖6（c）（f）所示，圖6（c）中的相圖在（V，V）平面內(nèi)呈現(xiàn)一條斜率為1的一條直線，表示此時耦合系統(tǒng)達到同步，圖6（f）中時間歷程圖呈現(xiàn)為一條水平直線，兩個神經(jīng)元都處于靜息狀態(tài)，為靜息同步。通過以上分析，發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)隨耦合強度的增大，最后達到靜息電位，處于穩(wěn)定的靜息同步中。

4結(jié)論

本論述對在電磁作用與化學突觸作用下的ML神經(jīng)元網(wǎng)絡模型，運用數(shù)值分析的方法進行了分岔分析與同步分析，在分岔分析中主要選擇基本參數(shù)及化學參數(shù)進行分析，并用時間歷程圖和相圖加以驗證，并用離散法對不同參數(shù)下的分岔圖進行了分析。在對環(huán)狀網(wǎng)絡下的耦合系統(tǒng)進行同步分析時，依據(jù)參考文獻[6]選取的統(tǒng)計因子R進行了數(shù)值仿真，并選取時間歷程圖與相圖加以驗證。