應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理

曾嬌 唐金芳 肖剛

摘?要：?在平面幾何中，常會出現(xiàn)線段比或者線段積的證明問題，這些線段的處理，往往需要通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法.我們通常處理的手段就是作平行線，產(chǎn)生“A”字型與“X”模型這兩種常見平行線分線段成比例模型?[1-2?].本文就以梅涅勞斯定理、塞瓦定理?[3-5?]為例，來闡述平行線在線段成比例的線段轉(zhuǎn)化中所起到的重要作用.

關(guān)鍵詞：?幾何模型;著名定理;輔助線

中圖分類號：?G?632?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：?A?文章編號：?1008-0333（2022）12-0020-03

收稿日期：?2022-01-25

作者簡介：?曾嬌（1991.5-），四川省隆昌人，碩士，講師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 基本模型

1.1 “A”型

如圖1，在△ABC中，DE∥BC

結(jié)論：?AD?DB?=?AE?EC?，?AD?AB?=?AE?AC?=?DE?BC?，?DB?AB?=?EC?AC

注：代數(shù)中合比定理可由此模型理解.

1.2 “X”型

如圖2，DE∥BC，DC與BE交于點(diǎn)A

結(jié)論：?DA?AC?=?AE?AB?=?DE?BC?，?DA?DC?=?AE?BE?，?AB?BE?=?AC?DC

2 平行線法在著名平面幾何定理中的應(yīng)用

2.1 梅涅勞斯定理

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)（即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長線上），則A′、B′、C′共線的充要條件是（?）.

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

證明

必要性：如圖3，過A作直線AD//C′A′交BC的延長線于D，則：?CB′?B′A?=?CA′?A′D?，?AC′?C′B?=?DA′?A′B

故?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?BA′?A′C?·?CA′?A′D?·?DA′?A′B?=1

充分性：設(shè)直線A′B′交AB于C?1，則由必要性，得到?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC?1?C?1B?=1，又由題設(shè)有?BA′?A′C?·?CB′?B′C?·?AC′?C′B?=1，于是?AC 1?C?1B?=?AC′?C′B?，由合比定理得?AC?1?AB?=?AC′?AB?，即AC?1=AC′，從而C?1與C′重合，故A′、B′、C′共線.

關(guān)于梅涅勞斯定理教學(xué)分析：

在△ABC中的“A′B′C′”稱為“梅氏線”，對于梅涅勞斯定理結(jié)論而言，是一個(gè)關(guān)于線段比乘積的等式，右邊的結(jié)果是1，如何才能讓右側(cè)的結(jié)果為1，左邊是六條不同的線段，必須經(jīng)過線段的轉(zhuǎn)化后約分，怎樣有效的變形？這個(gè)問題至關(guān)重要，也是本題解決問題的關(guān)鍵.我們通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，六條線段分別分布在三角形不同的邊或者延長線上，如果能將所有的線段轉(zhuǎn)換到同一條直線上，本題就取得了實(shí)質(zhì)性的突破.本題解法過A點(diǎn)作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AD”，利用“A”型，將線段比?CB′?B′A?與?AC′?C′B?轉(zhuǎn)化到BD上，得到?CB′?B′A?=?CA′?A′D?，?AC′?C′B?=?DA′?A′B?，從而左側(cè)線段比乘積得到變形，必要性得證.

在上述的證明過程中，我們的方法是作輔助線過點(diǎn)“A”作與“梅氏線”平行的輔助線

同理我們也作輔助線過點(diǎn)“B”或“C”作與“梅氏線”平行的輔助線，可以將六條線段轉(zhuǎn)化在直線AB或者AC上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

如圖4，作輔助線過點(diǎn)“B”作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AE”，利用“A”型將所有線段比轉(zhuǎn)化到AC上.

BA′?A′C?=?B′E?B′C?，?AC′?C′B?=?AB′?B′E?，

即?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?B′E?B′C?·?CB′?B′A?·?AB′?B′E?=1

證畢.

2.2 塞瓦定理

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)（即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長線上），則三直線AA′、BB′、CC′共點(diǎn)或平行的充要條件是

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

證明

必要性：如圖5，若AA′、BB′、CC′交于一點(diǎn)P，則過A作BC的平行線，分別交BB′，CC′的延長線于D，E，得：?圖5

CB′?B′A?=?BC?AD?，?AC′?C′B?=?EA?BC

又由?BA′?AD?=?A′P?PA?=?A′C?EA?，

有?BA′?A′C?=?AD?EA

從而?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?AD?EA?·?BC?AD?·?EA?BC?=1.

如圖6，若AA′、BB′、CC′三線平行，可類似證明.?圖6

充分性：若AA′與BB′交于點(diǎn)P，設(shè)CP與AB的交點(diǎn)為C?1，則由必要性知?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC?1?C?1B?=1，而題設(shè)有?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1，由此?AC?1?C?1B?=?AC′?C′B?，

即?AC?1?AB?=?AC′?AB?，由此知C?1與C′重合，從而AA′、BB′、CC′三線共點(diǎn).

若AA′∥BB′，則?CB′?B′A?=?CB?BA′?.

代入已知條件有?AC′?C′B?=?A′C?CB?，由此知CC′∥AA′.

故AA′∥BB′∥CC′.

關(guān)于塞瓦定理教學(xué)分析：

對于塞瓦定理結(jié)論而言，依然是關(guān)于線段比乘積的等式，右邊的結(jié)果仍然是1，所以問題轉(zhuǎn)化為對左側(cè)線段的轉(zhuǎn)化變形，作平行輔助線構(gòu)“X”型，?CB′?B′A?=?BC?AD?，?AC′?C′B?=?EA?BC

將六條線段轉(zhuǎn)化在一組平行線“ED”“BC”上.同理我們也可以將六條線段轉(zhuǎn)化在另外兩組平行線上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

2.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理

如圖7，利用梅涅勞斯定理證明塞瓦定理：

設(shè)A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(diǎn)（即三點(diǎn)中或一點(diǎn)或三點(diǎn)在邊的延長線上），則三直線AA′、BB′、CC′共點(diǎn)或平行的充要條件是

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

以共點(diǎn)為例：

在△ABC中：

△ABA′被直線CPC′所截：

AC′?C′B?·?BC?CA′?·?A′P?PA?=1 ①

△ACA′被直線BPB′所截：

AB′?B′C?·?CB?BA′?·?A′P?PA?=1 ②

由①②：?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

反之：由塞瓦定理可以推導(dǎo)梅涅勞斯定理.

對于平面幾何題，我們經(jīng)常思考“一題多解”、“多題一解”等問題，有助于我們發(fā)散思維.解同一幾何題，有不同的輔助線添加方法，則解題方法不一樣.掌握基本幾何模型以及作輔助線的技巧，一題就可能實(shí)現(xiàn)多解.著名平面幾何定理的欣賞，有利于我們提升自己的幾何素養(yǎng).本文我們總結(jié)了兩類模型以及在著名平面定理里的應(yīng)用，兩類模型的結(jié)論，均是與線段比例有關(guān)，所以，有關(guān)線段比例問題，可考慮這兩類模型結(jié)論.轉(zhuǎn)化線段的方法，在三角形的相似、線段積與線段比的數(shù)量關(guān)系、面積問題等方面有著廣泛的應(yīng)用.

梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面幾何定理的學(xué)習(xí)與研究，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，而且可以向?qū)W生展現(xiàn)出平面幾何的美，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.應(yīng)用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理，重點(diǎn)闡述作輔助線的技巧與依據(jù)，讓學(xué)生迅速舉一反三，類比遷移，有利于提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]張艷嬌，李海東.“平行線分線段成比例定理”證法探析?[J?].中國數(shù)學(xué)教育，2018（3）：4-5.

[2?] 林運(yùn)來，陳毅貞.平行線分線段成比例定理的應(yīng)?用6例?[J?].數(shù)理天地（初中版），2021（5）：1-2.

[3?] 張奠宙，沈文選.中學(xué)幾何研究?[M?].北京：高等教育出版社，2006.

[4?] 沈文選.梅涅勞斯定理及其應(yīng)用?[J?].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（7）：52-55.

[5?] 周春荔.塞瓦定理及其應(yīng)用（一）?[J?].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（3）：30-33.

[6?] 于新華.梅涅勞斯定理與塞瓦定理的綜合推廣?[J?].中學(xué)數(shù)學(xué)，2005（10）：43-44.

[7?] 夏順友，陳治友，劉益波.“平面幾何名題欣賞”的教學(xué)實(shí)踐?[J?].貴州學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，9（2）：34-36.

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