基于數和運算意義的乘法算理整體性理解

摘 要：實現乘法算理的整體性理解，需要把乘法算理統(tǒng)一到“計數單位個數重復加”，從“新計數單位產生”“計數單位個數計數”兩個維度尋求進階路徑。需要重視計數單位概念的表征切換，基于數的意義和計數單位十進制關系，以乘法運算形式記錄新計數單位產生過程；需要重視在乘法運算中刻畫計數單位個數的計數過程，實現乘法算理整體性理解的學習進階。

關鍵詞：乘法運算；算理；整體性；計數單位

在加減法運算中，運算本質都指向“相同計數單位個數的加減”，實現了基于運算意義的算理整體性理解。然而在乘法運算中，存在算理缺乏整體性，甚至“不講理”的現象，本文就如何實現乘法算理的整體性理解進行分析探討，并基于數和運算意義對乘法算理整體性理解的進階路徑給出教學建議。

一、實現乘法算理整體性理解的總體思路

小學數學中，乘法運算的算理常缺乏整體性。具體表現為：基于乘法運算意義的“計數單位個數重復加”算理，局限于整數乘法、小數乘整數和分數乘整數等學習內容，沒有貫穿所有的乘法運算。小數乘小數的算理開啟了“積的變化規(guī)律”這條通道；幾百幾十數乘整十數、分數乘分數僅限于算法的探索，存在“不講理”的現象。

而像幾百幾十數乘整十數、小數乘小數、分數乘分數，就不再明確提及計數單位個數。如，120×30只概括出“12×3=36，后面添2個0”的算法，分數乘分數只得出“用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母”的法則，對為什么可以這樣算沒有解釋。

從表面上看，乘法算理缺乏整體性，甚至“不講理”，原因在于整數乘法的意義（相同加數求和）似乎無法涵蓋小數乘小數的意義、分數乘分數的意義，無法從“計數單位個數重復加”算理層面做出解釋。但實質上，小數乘小數、分數乘分數并非不能用“計數單位個數重復加”這個算理加以解釋，關鍵在于，基于運算的意義產生了新的計數單位，需要借助“新計數單位個數重復加”進行解釋。

可見，只要借助數和運算的意義，從“計數單位乘計數單位產生新的計數單位”這條思路來理解，就能把乘法算理統(tǒng)一到“（新）計數單位個數重復加”，從而實現乘法算理的整體性理解。

二、實現乘法算理整體性理解的進階路徑

在“計數單位個數重復加”算理中，主要包含了“計數單位”“計數單位個數”兩個元素，這也就決定了乘法算理整體性理解的實現需要從“新計數單位產生”“計數單位個數計數”兩個維度尋求進階路徑。

（一）從新計數單位產生逐步理解乘法算理整體性

新計數單位，是基于數的意義和計數單位十進制關系，在乘法運算過程中自然產生的。根據整數、小數和分數意義的學習階段，以乘法運算形式記錄新計數單位產生過程需要經歷三階：

第一階，用乘法運算形式記錄新計數單位“百”“千”的產生過程。在“百以內數的認識”學習中，把“10個十是一百”的十進關系表征為“10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100”或“10×10=100”的運算形式；在“千以內數的認識”學習中，把“10個百是一千”的十進關系表征為“100+100+100+100+100+100+100+100+100+ 100=1000”或“100×10=1000”的運算形式。根據乘法即“相同加數求和”的意義，幫助學生認識到一個計數單位重復加10次可以得到高一級的計數單位。

（二）從計數單位個數計數逐步理解乘法算理整體性

計數單位個數計數，包括原計數單位個數的計數和新計數單位個數的計數兩種類型。原計數單位個數的計數類型，原計數單位保持不變，只需把計數單位個數重復加，乘法運算內容主要包括整十數、整百數、幾百幾十數乘一位數，小數乘整數，分數乘整數。新計數單位個數的計數類型，需要先產生新的計數單位，再把計數單位個數重復加，乘法運算內容主要包括整十數、整百數、幾百幾十數乘整十數的口算，因數末尾有0的筆算，小數乘小數，分數乘分數。

結合計數單位個數計數的類型和相應乘法運算內容，從計數單位個數計數理解乘法算理的整體性，可以劃分為以下六階：

第一階，整十數、整百數、幾百幾十數乘一位數口算，用乘法橫式記錄原計數單位個數計數的過程——幾個十（百、千）乘幾，共得到幾個十（百、千）。如，20×3的算理口述為“2個十乘3是6個十，就是60”，對應地把這個計數過程用橫式記錄為“20×3=10×2×3=10×（2×3）=10×6=60”。

第二階，小數乘整數筆算，算理路徑從單位轉化、積的變化規(guī)律擴充到計數單位個數的計數，并用乘法橫式記錄計數過程——幾個0.1、0.01乘幾，共得到幾個0.1、0.01。如，3.5×3用單位轉化的算理路徑解釋為“3.5元轉化為35角，35角乘3等于105角，也就是10.5元”；用計數單位個數計數的算理路徑解釋為“3.5有35個0.1，35乘3等于105個0.1，也就是10.5”，兩個層面的算理適度溝通，并把計數的過程記錄為“3.5×3=0.1×35×3=0.1×（35×3）= 0.1×105=10.5”。

第四階，整十數、整百數、幾百幾十數乘整十數、因數末尾有0的筆算，結合情境圖示理解新計數單位“百”“千”，將新計數單位產生和新計數單位個數計數的過程通過乘法運算予以條理化。結合圖示基于“10個十是一百”“10個百是一千”對新計數單位“百”“千”的產生做出解釋，并用乘法橫式記錄新計數單位個數計數的過程。如“30×20=（10×3）×（10×2）=（10×10）×（2×3）=100×6=600”，其圖示如圖1。

第五階，小數乘小數筆算，結合情境圖示理解新計數單位“百分之一”“千分之一”，將新計數單位產生和新計數單位個數計數的過程通過乘法運算予以條理化。如，0.3×0.2可結合“一塊地磚長0.3米、寬0.2米，它的面積是多少平方米”情境，建立面積模型進行單位轉化、直觀解釋（如圖2），得出“每個小方格是0.01平方米，地磚每行有3個小方格、有2行，一共有6個小方格，也就是6個0.01平方米，結果是0.06平方米”，相應的計數過程記錄為“0.3×0.2=（0.1×3）×（0.1×2）=（0.1×0.1）×（3×2）=0.01×6=0.06”。

上述新計數單位的產生和計數單位個數計數的學習進階，是集數的認識、十進制、乘法的意義和乘法運算等內容作為一個整體學習的長程設計。為達成整體學習效果，一方面需要重視計數單位概念的多元表征和表征切換，強化口述語言向書面符號的轉換，準確表達乘法運算形式，通過深入理解十進制和分數意義體會新計數單位的產生；另一方面，需要重視在乘法運算中刻畫計數單位個數的計數過程，把“計數單位個數重復加”的過程條理化。只有這樣，基于數和運算意義的乘法算理整體性理解才有可能真正落地。

（宋煜陽，特級教師，正高級教師，浙江省寧波市奉化區(qū)教師進修學校，郵編：315500）