2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第18題解析

張必榮

摘要：解三角形一直是高考數(shù)學(xué)試卷中的一個重要知識點(diǎn)，是溝通初中平面幾何與高中三角函數(shù)等知識的紐帶，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與能力的交匯與融合.結(jié)合一道高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，總結(jié)解題規(guī)律，啟示教學(xué)學(xué)習(xí)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：解三角形;二倍角公式;正弦定理;基本不等式

解三角形問題經(jīng)常與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識交匯與融合，充分落實新課標(biāo)中“在知識交匯點(diǎn)處命題”的指導(dǎo)思想，是高考數(shù)學(xué)命題中的一個基本考點(diǎn)，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題 （2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)·18）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A1+sin A=sin? 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設(shè)置，以題設(shè)中的三角函數(shù)關(guān)系式為背景，通過三角恒等變換公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化來求解對應(yīng)的角的大小;并通過角之間的關(guān)系構(gòu)建，以及正弦定理或平面幾何知識的應(yīng)用，化邊為角，利用基本不等式來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值等.

借助問題的設(shè)置，很好地考查邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).破解問題的關(guān)鍵在于善于審題，妙用定理（三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理等），借助公式（誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式等），采用有效的策略，合理化歸與轉(zhuǎn)化，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解法1：倍角公式法.

（1）由二倍角公式，可得cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B=2sin Bcos B2cos2B=sin Bcos B，

則有sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos（A+B）=-cos C=-cos2π3=12，

而0

（2）由（1）知-cos C=sin B>0，則cos C<0，所以C∈π2，π.

又A，B均為銳角，故B=C-π2.

所以，sin A=sin（B+C）=sin（2C-π2）=-cos 2C.

由正弦定理，可得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=（1-2sin2C）2+（1-sin2C）sin2C=

4sin4C-5sin2C+2sin2C=4sin2C+2sin2C-5≥2 4sin2C×2sin2C-5=4 2-5，當(dāng)且僅當(dāng)4sin2C=2sin2C，即sin C=142時，等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用二倍角公式加以展開，通過兩角和的余弦公式進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件中角的信息求解即可;利用角之間的關(guān)系，綜合正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.二倍角公式是問題破解的關(guān)鍵，同時綜合誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式等.

解法2：函數(shù)單調(diào)性法.

（1）由題意得

cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B=cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）.

設(shè)函數(shù)f（x）=cos x1+sin x，x∈（0，π）.由f′（x）=-sin x-1（1+sin x）2<0，可知函數(shù)f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減.

所以A=π2-2B，結(jié)合A+B+C=π，可得C=π2+B.又C=2π3，所以B=C-π2=π6.

（2）由（1）可知A=π2-2B，C=π2+B.

由正弦定理，可得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+sin2Bcos2B=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B

=4cos2B+2cos2B-5≥2 4cos2B×2cos2B-5=4 2-5，當(dāng)且僅當(dāng)4cos2B=2cos2B，即cos B=142時等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用誘導(dǎo)公式加以同構(gòu)化處理，利用求導(dǎo)法確定對應(yīng)三角函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)建角之間的關(guān)系，并利用條件中角的信息來求解;利用角之間的關(guān)系，綜合正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.三角函數(shù)關(guān)系式的同構(gòu)并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的判定，合理構(gòu)建角之間的關(guān)系，是破解問題的關(guān)鍵.

解法3：半角公式法.

（1）由題意得cos A1+sin A=cos2A2-sin2A2cosA2+sinA22=

cos A2-sin A2cos A2+sin A2=1-tan A21+tan A2=tanπ4-A2，

sin 2B1+cos 2B=tan B.

由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，可得tanπ4-A2=tan B.結(jié)合函數(shù)y=tan x在0，π2上單調(diào)遞增，

可得π4-A2=B，即π2-A=2B，亦即A=π2-2B.

由A+B+C=π，可得C=π2+B.又C=2π3，所以B=C-π2=π6.

（2）同方法2，可得a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用半角公式、兩角差的正切公式等加以變形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建角之間的關(guān)系，并利用條件中角的信息來求解;而求解三角形的邊所對應(yīng)的關(guān)系式的最值問題，同樣可以利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題.半角公式的巧妙應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，為角之間的關(guān)系構(gòu)建提供更加廣闊的思路.

解法4：平面幾何法.

（1）由C=2π3，可得A=π3-B，

則cos A1+sin A=cosπ3-B1+sinπ3-B=cos B+ 3sin B2+ 3cos B-sin B

又sin 2B1+cos 2B=2sin Bcos B2cos2B=sin Bcos B.

所以cos B+ 3sin B2+ 3cos B-sin B=sin Bcos B，即sin B=12.

而0

（2）由（1）知-cos C=sin B>0，則cos C<0，所以C∈π2，π.

又A，B均為銳角，故B=C-π2.

如圖1所示，在AB邊上取一點(diǎn)D，使CD=BD=m，AD=n，此時∠ACD=π2.

由cos 2B=2cos2B-1，可得cos B= cos 2B+12= mn+12，

所以a=BC=2mcos B=2m mn+12.

所以，a2+b2c2=2m2（mn+1）+n2-m2（m+n）2=2m2+n2-mnn（m+n）=2（mn）2+1-mnmn+1.

令mn+1=t>1，利用基本不等式，可得a2+b2c2=2（mn）2+1-mnmn+1=2t2-5t+4t=2t+4t-5≥2× 2t×4t-5=4 2-5，當(dāng)且僅當(dāng)2t=4t，即t= 2時等號成立.

所以a2+b2c2的最小值為4 2-5.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角形的內(nèi)角和公式加以轉(zhuǎn)化，通過兩角差的正弦與余弦公式以及二倍角公式加以展開，進(jìn)而化簡三角關(guān)系式，求得對應(yīng)的角;確定角B的大小以及對應(yīng)角之間的關(guān)系后，要求解三角形的邊所對應(yīng)的關(guān)系式的最值，可以借助平面幾何圖形，引入?yún)?shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義、勾股定理等，結(jié)合幾何直觀轉(zhuǎn)化，通過關(guān)系式的變形與參數(shù)的構(gòu)建，借助基本不等式來確定最值.利用平面幾何法分析與解決一些解三角形的相關(guān)問題，更加直觀形象.

4 教學(xué)啟示

4.1 思維視角歸納

破解解三角形問題的兩種常見思維視角：

①代數(shù)角度.根據(jù)題設(shè)條件，利用正弦定理或余弦定理等，實現(xiàn)三角形中邊與角之間的巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建關(guān)于三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系進(jìn)行分析與求解;利用平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，通過相應(yīng)的坐標(biāo)表示來尋找三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系來應(yīng)用.代數(shù)角度中，經(jīng)常還要綜合三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識來分析與處理.

②幾何角度.根據(jù)題設(shè)條件，作出相應(yīng)的平面幾何圖形，合理尋找平面幾何圖形中蘊(yùn)藏的邊或者角等元素之間的幾何關(guān)系，通過直角三角形以及平面解析幾何知識等來分析與求解.

4.2 思維能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只注重“刷題”，做題要注重質(zhì)量，少而精.通過做題掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提升數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)思維的多角度，避免思維定式，做到舉一反三，是我們“促雙減”過程中必須要思考的問題.