函數(shù)巧同構(gòu) 導(dǎo)數(shù)妙應(yīng)用

張琳琳

摘要：同構(gòu)函數(shù)是同構(gòu)意識(shí)中比較常見的一種類型，抓住相關(guān)題目條件中相應(yīng)函數(shù)與方程、不等式等的結(jié)構(gòu)特征，合理同構(gòu)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù);導(dǎo)數(shù);同構(gòu);范圍;大小;最值

1 引言

同構(gòu)意識(shí)是破解一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題比較常用的一類解題意識(shí)與技巧.特別在解決一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí)，結(jié)合相關(guān)關(guān)系式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化或變形，提取出其中相同或相似的結(jié)構(gòu)，尋找結(jié)構(gòu)的同型或共性，進(jìn)而合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

2 導(dǎo)數(shù)妙用

2.1 巧求范圍

例1 [2022屆廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等八校高三（上）適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷·16]已知函數(shù)f（x）=aex+lnax+2-2（a>0），若f（x）>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：結(jié)合條件中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，使不等號兩邊的結(jié)構(gòu)均衡、同型，從而合理同構(gòu)函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值的應(yīng)用來確定對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.

解析：函數(shù)f（x）=aex+lnax+2-2（a>0）的定義域?yàn)椋?2，+∞）.

若f（x）>0恒成立，則aex+lnax+2-2>0恒成立，即

ex+lna+ln a>ln（x+2）+2恒成立.

所以ex+lna+x+ln a>x+2+ln（x+2），即ex+ln a+x+ln a>eln（x+2）+ln（x+2）.

由于函數(shù)y=ex+x在R上單調(diào)遞增，則有x+ln a>ln（x+2），即ln a>ln（x+2）-x.

令函數(shù)g（x）=ln（x+2）-x（x>-2），則g′（x）=1x+2-1=-x+1x+2.

當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g′（x）<0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減.

故ln a>gmax（x）=g（-1）=1，即a>e.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）.

故填答案：（e，+∞）.

點(diǎn)評：在解決一些相關(guān)含參不等式恒成立問題時(shí)，往往可以考慮從函數(shù)自身出發(fā)，巧妙恒等變形，合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去分析與解題，簡潔自然.

2.2 妙判大小

例2 （2022屆江蘇省南師附中、淮陰中學(xué)、天一中學(xué)、海門中學(xué)四校高三年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8）已知a=5，b=15（ln 4-ln 3），c=16（ln 5-ln 4），則（? ?）.

A.a

B.c

C.b

D.a

分析：結(jié)合三個(gè)數(shù)所對應(yīng)的關(guān)系式的合理恒等變形，先結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定a與b的大小;再通過同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)處理與轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定b與c的大小.

解析：對于a=5與b=15（ln 4-ln 3），可以同時(shí)除以15，則只要比較13與ln43的大小即可.

結(jié)合重要不等式性質(zhì)“對于x>0恒有l(wèi)n x≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立”，可得ln43<43-1=13，

則可知a>b.

對于b=15（ln 4-ln 3）與c=16（ln 5-ln 4），可以同時(shí)除以20，則只要比較34ln43與45ln54的大小即可.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ln xx，（x>0），求導(dǎo)可得f′（x）=1-ln xx2.

由f′（x）=0可得x=e，則知函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

而e>43>54>0，則有34ln43>45ln54，即b>c.

綜上可得，a>b>c.故選擇答案：B.

點(diǎn)評：在判斷一些比較復(fù)雜的代數(shù)式的大小關(guān)系問題時(shí)，可以考慮從對應(yīng)代數(shù)式的共同特征入手，合理同構(gòu)函數(shù)，借助同構(gòu)函數(shù)來構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)來巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷大小，從而將原問題中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題豐富的背景和內(nèi)涵，展示同構(gòu)函數(shù)的巨大魅力.

2.3 巧定最值

例3 [2022屆江蘇省G4（蘇州中學(xué)、常州中學(xué)、鹽城中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)）高三年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8改編]若不等式2ex-2>-aln（x+1）+（a+2）x對x∈（0，+∞）恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

分析：根據(jù)題目條件中的不等式加以移項(xiàng)變形，合理同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合求導(dǎo)處理，利用導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的不等式恒成立來構(gòu)建不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的最大值.

解析：由2ex-2>-aln（x+1）+（a+2）x，移項(xiàng)可得2ex-ax>-aln（x+1）+2（x+1），

整理可得

2ex-ax>2eln（x+1）-aln（x+1）.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=2ex-ax，則有

f（x）>f（ln（x+1））.

而結(jié)合重要不等式性質(zhì)“對于x>0恒有l(wèi)n x≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立”，可得x>ln（x+1）>0，

則知函數(shù)f（x）=2ex-ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

求導(dǎo)可得f′（x）=2ex-a，則只需f′（x）=2ex-a≥0在（0，+∞）上恒成立，

所以2-a≥0，解得a≤2.

故實(shí)數(shù)a的最大值為2.故填答案：2.

點(diǎn)評：在確定一些參數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵是利用不等式的巧妙變形與轉(zhuǎn)化，合理同構(gòu)函數(shù)，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理構(gòu)建相應(yīng)代數(shù)式的大小關(guān)系，為進(jìn)一步求解代數(shù)關(guān)系式或參數(shù)的最值提供條件.在解決此類問題時(shí)，對于等式、不等式不同視角的變形，不同的同型形式往往可以同構(gòu)不同的函數(shù).

2.4 妙證不等式

例4 （2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-ln x）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且bln a-aln b=a-b，證明：2<1a+1b

分析：第（1）問首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值符號即可確定函數(shù)的單調(diào)性;第（2）問利用同構(gòu)關(guān)系將原問題中不等式的證明轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問題，結(jié)合變形的關(guān)系式的特征同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)處理，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值問題來證明對應(yīng)的不等式.

解析：（1）由函數(shù)的解析式可得f′（x）=-ln x.

則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.

所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

（2）由bln a-aln b=a-b，可得-1aln1a+1bln1b=1b-1a，即1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）.

由（1）可知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以fmax（x）=f（1）=1，且f（e）=0.

令x1=1a，x2=1b，則x1，x2為f（x）=k 的兩根，其中k∈（0，1）.

不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），則2-x1>1.

先證22-x1>1，即證f（x2）=f（x1）

令函數(shù)h（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1）.

求導(dǎo)可得h′（x）=f′（x）+f′（2-x）=-ln x-ln（2-x）=-ln[x（2-x）]，則h′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

所以h′（x）>h′（1）=0，即函數(shù)h（x）在（0，1）單調(diào)遞增.

所以h（x1）

f（x2）

2

再證x1+x2

同理，根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可知即證f（x2）=f（x1）>f（e-x1）.

同構(gòu)函數(shù)φ（x）=f（x）-f（e-x），x∈（0，1）.

求導(dǎo)可得φ′（x）=-ln[x（e-x）].令φ′（x0）=0.

則當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，φ′（x）>0，φ（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，φ′（x）<0，φ（x）單調(diào)遞減.

又00;x>e時(shí)，f（x）<0，且f（e）=0.

故x→0，φ（0）>0，φ（1）=f（1）-f（e-1）>0.

所以φ（x）>0恒成立，即x1+x2

綜上分析，可得2<1a+1b

點(diǎn)評：在證明一些不等式時(shí)，經(jīng)常借助所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理同構(gòu)對應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，進(jìn)而

合理轉(zhuǎn)化巧妙證明相應(yīng)的不等式.

3 結(jié)語

在破解一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí)，需要借助我們的慧眼去識(shí)別問題中代數(shù)式等的結(jié)構(gòu)特征，尋找同型，巧妙同構(gòu)，證實(shí)共點(diǎn)，妙用共性，合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來巧妙解決，從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用共性解題，增強(qiáng)化歸思想、創(chuàng)新意識(shí)、同構(gòu)意識(shí)，合理進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交匯，讓數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)得以飛躍，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).