高中數學建模問題教學的細節(jié)研究

高彬彬

摘? 要：在現行的普通高中課程標準中將數學建模作為高中生必須具備的核心素養(yǎng)之一，在高中數學課程安排中也為數學建模安排了一定的課時，這意味著教師在常規(guī)教學的基礎上也需要關注和培養(yǎng)學生的數學建模素養(yǎng)。為了能夠有效培養(yǎng)學生的數學建模素養(yǎng)，為高中學生設計合適的數學建模問題是十分有必要的，在設計數學建模問題時不是只添加現實情境就可以了，還需要特別關注數學建模問題中的一些細節(jié)，包括重視現實情境的價值和合理性、設計合適的問題讓學生參與數學模型的評價與改進。

關鍵詞：數學建模；問題設計；核心素養(yǎng)

一、什么是數學建模素養(yǎng)

在普通高中２０１７年版的課程標準中，數學建模是對現實問題進行數學抽象，使用數學語言來表達問題、使用數學方法構建模型來解決問題的素養(yǎng)。數學建模過程包括：在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。

根據課程標準的定義，“數學建模”是一種核心素養(yǎng)，需要教師在數學學科教育教學中對學生進行培養(yǎng)。此外，數學建模素養(yǎng)要在數學建模過程中才能夠體現出來，而數學建模過程的具體環(huán)節(jié)決定了數學建模素養(yǎng)既需要聯系現實情境，又屬于數學范圍，是聯系現實與數學的紐帶。

在國際組織ＯＥＣＤ開展的ＰＩＳＡ測試中，數學建模過程是測評學生數學素養(yǎng)的基本框架。ＰＩＳＡ的觀點是，數學素養(yǎng)是學生為了適應未來的工作與生活需要擁有的，測評的問題圍繞著現實問題來展開，因而ＰＩＳＡ的測評意味著數學建模素養(yǎng)高度近似于數學素養(yǎng)。

數學建模過程包含若干個相對獨立的環(huán)節(jié)，對２０１７年版課程標準給出的數學建模過程進行整理，大致可以劃分出五個環(huán)節(jié)，包括“發(fā)現并分析問題”“建立數學模型”“確定參數并對數學模型計算與求解”“對結果進行檢驗并對數學模型進行評價與改進”“解決實際問題”。在ＰＩＳＡ的測評框架中，將最后的環(huán)節(jié)與起始的環(huán)節(jié)連接從而體現數學建模過程是一個連續(xù)的周期性的過程，這意味著數學建模過程應當是一個周而復始的過程。

二、什么樣的問題能夠反映高中學生的數學建模素養(yǎng)

高中階段數學教學和義務教育階段數學教學存在很大的不同，這種不同是多方面因素影響綜合產生的，學生年齡的客觀規(guī)律占據了很大程度。高中學生在年齡上更加成熟，行事更加穩(wěn)妥，這表示學生在這個階段所具有的思維更加嚴密和富有邏輯，這種思維的成熟是很適合發(fā)展數學思維的，學生能夠更容易地用數據客觀地解釋事物，能夠在頭腦中思考復雜的邏輯關系，能夠在面對問題是進行合理的抽象與推理，同時隨著學生自身年齡的逐漸成熟，學生急于表現自身。與單純的被動接受式的學習知識相比，這個階段的學生更需要的是能夠創(chuàng)造自身和展示自身的良好平臺。在數學學科中，數學建模是高中學生需要具備的核心素養(yǎng)，同時也能夠成為一個非常適合這些要求的工具，它作為數學的內容讓學生綜合運用自身的數學知識，而又作為現實問題讓學生了解現實解決實際問題，成為成長所需要的重要經驗。因而在高中階段，合適的數學建模問題不但能很好地展現高中學生自身的數學建模素養(yǎng)，也能夠作為很好地培養(yǎng)學生的有利平臺。

由于數學建模素養(yǎng)是高中學生需要發(fā)展的數學學科核心素養(yǎng)之一，在國內的許多文獻都或多或少涉及了數學建模，也有不少專家學者專門的從事數學建模相關的研究，對數學建模都有很多獨到的觀點和看法，但是對數學建模問題的設計標準卻少有涉及，換言之，什么樣的問題是數學建模問題，以及什么樣的問題能夠表現學生的數學建模素養(yǎng)還缺少比較明確的基本標準?？紤]到數學建模素養(yǎng)是學生在經歷數學建模過程所表現出的素養(yǎng)，在這一邏輯下，學生只有完整的經歷數學建模過程全部的環(huán)節(jié)，他們的整體表現就可以認為是數學建模素養(yǎng)的體現。

徐斌艷教授建立的數學建模素養(yǎng)測評是考慮到了數學建模過程是按順序展開的，因而側重觀察學生能夠達到數學建模過程的具體的哪一個環(huán)節(jié)，完成的環(huán)節(jié)越多認為數學建模素養(yǎng)越高。以縫制足球問題為例，只提供了一個詳細的現實情境，讓學生在現實情境下自由發(fā)揮自身的數學建模素養(yǎng)來解決現實問題，然后檢查學生的作答會達到數學建模過程的哪一個環(huán)節(jié)。

這種數學建模素養(yǎng)測評問題雖然在形式上不同，但在設計上也都是圍繞著數學建模過程來展開的，因此，若要能夠表現出學生的數學建模素養(yǎng)，那么所需要的數學建模問題在設計上就不應該脫離數學建模過程，更確切地說，數學建模問題的設計需要圍繞數學建模過程的具體環(huán)節(jié)來展開。

三、設計高中數學建模問題的細節(jié)

（一）重視現實情境的價值和合理性

在數學建模問題中，現實情境是很重要的。然而，將一道數學問題隨意地添加一個現實情境之后，這道問題是否就能夠成為一個合理的數學建模問題其實是缺少理論支撐的。因而，判斷一道問題是否考察的是數學建模素養(yǎng)，如果僅僅是依據有無現實情境，就不太準確。現實情境引起的問題必須要給學生足夠的自由發(fā)揮的空間。

以現實情境為金字塔的一道數學問題為例，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一。它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積。則其側面三角形底邊上的高于底面正方形的變成的比值為（ ）。

在解決這道問題時，由于給出了抽象的結果，學生不需要對現實情境再進行抽象，換句話說，題目已經給定了現實情境對應的數學模型而不是讓學生來探索和建立數學模型，現實情境的價值僅僅是為了引出正四棱錐，這同時也意味著只要內容與正四棱錐相近，現實情境可以隨意地更換而不需要學生去過多地思考情境本身是否還會存在一些細節(jié)和問題，學生只需要用正四棱錐的知識來解題就能獲得滿分，學生也不需要對結論的含義進行討論與分析，更不需要對模型進行修改與創(chuàng)新。從數學建模具體的環(huán)節(jié)來看，將這道題作為數學建模問題來反映學生的數學建模素養(yǎng)是很缺少說服力的。

數學建模問題的現實情境需要給足學生發(fā)揮的空間，至少要加入一些必要的環(huán)節(jié)，讓學生自己完成抽象的環(huán)節(jié)從而建立出數學模型，從而自然地進入到數學建模過程中去。如鞋號問題的現實情境是給出鞋號和腳長的若干組數據，由學生自己來尋找規(guī)律，這需要學生抽象出數據之間的關系和變化。但同時要關注現實情境的復雜程度，現實情境越復雜，學生需要調用的抽象程度越高，問題的難度自然也越大?，F實情境復雜的情況下，需要考慮的因素就會增加，學生在獲取數據以及使用數據等就會出現困難和分歧。

（二）充分考量學生的結論

數學模型是對現實情境的高度模擬，而這也意味著任何一個數學模型都不夠“準確”，只是在一定條件下比較能夠擬合數據，因而對一道數學建模問題來說，“找到最準確的數學模型”這樣的表述其實不夠準確，也很難培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維。在接觸到一個現實情境時，學生會充分展現自身的數學建模素養(yǎng)，根據有限的數據和條件建立出盡可能符合現實情境的數學模型，只是模擬程度的不同造成了結論的偏差。在這樣的情況下，不能簡單依據結論是否符合標準答案而判斷學生有無數學建模素養(yǎng)。在設計數學建模問題時，應該充分考慮到現實情境可能會對應的多種數學模型，對學生的作答給予充分的考慮，準確評價學生所處的水平。

以現實情境為蘋果數量和銷售單價關系的一道數學建模問題為例，例題以蘋果的量為ｘ，以蘋果的單價為ｙ，在給出兩組ｘ與ｙ數據的情況下，得到的模型是蘋果的量與蘋果的單價呈現遞減的一次函數。然而在給出多組數據的情況下，就很難保證蘋果的量與蘋果的單價繼續(xù)呈現出一次函數的關系。因為按照一次函數的關系，繼續(xù)增加蘋果的量達到某個值是可以讓蘋果的單價為零，當超越這個值繼續(xù)增加蘋果的量甚至讓蘋果的單價為負，顯然模型不再適用現實情境了。在這樣的基礎上，限制自變量的取值而建立出的模型則要比單純的一次函數更為合適。若繼續(xù)增加若干組數據，ｘ與ｙ的關系可能會呈現出曲線變化，則之前的模型是不夠滿足這種情況的，需要繼續(xù)對模型進行修改以符合數據變化。

用同樣的角度來看鞋號問題，一些學生可能會通過數據的規(guī)律來對數據進行延展，發(fā)現鞋號是以自然數遞增而增加的，而腳長是否滿足了同樣的規(guī)律，他們會意識到直線型的數學模型能夠解決當前的數學問題而不符合客觀事實，造成了結論上的與眾不同。

為了培養(yǎng)學生的數學建模素養(yǎng)而設計數學建模問題時，使用有意設計過的數據讓學生建立的數學模型趨近于唯一化，在評價學生的數學建模素養(yǎng)確實有很大的便利性。而數學建模獨特之處在于它與現實緊密相連，只是為了便于評價學生的數學建模素養(yǎng)而嚴格依照標準答案判斷很容易與現實產生矛盾之處，也有違培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維這一教學初衷。對與眾不同而富有開創(chuàng)性的作答，教師也需要給予同樣的關注，這意味著工作量的增加，但只要運用得當，是有益于準確評價學生并能正確指導學生使其成長和發(fā)展的。

（三）設計合適的問題讓學生參與數學模型的評價與改進

數學模型的評價與改進是數學建模過程中最后的環(huán)節(jié)，在實際的數學建模活動中這個環(huán)節(jié)可以在學生與教師的交互中得到落實，卻很難通過合理的問題凸顯。從邏輯上看，學生在建立數學模型時一定會在頭腦中反復構思，學生通過作答所給出的數學模型基本就是根據自身的數學建模素養(yǎng)所能建立的最好的模型，在這個基礎之上再對模型評價與改進顯然很困難的。常規(guī)的數學建模問題大多數止步于對計算結果的解釋環(huán)節(jié)?？紤]到數學模型的正確性是很局限的，隨著數據的增加和人們認識的深入，不斷修改數學模型使其更加的完善并貼近現實是一直都在發(fā)生著的事情。

因此在提供現實情境的同時，不妨試圖直接提供給學生一個存在一定缺陷的數學模型，由學生自己來發(fā)現其中存在的問題，做出評價與改進。數學模型的計算與結論解釋等環(huán)節(jié)的設計既可以使用給定的數學模型也可以使用學生建立出的數學模型，從而保證數學建模過程環(huán)節(jié)的順序與完整。這種設計的初衷是為了培養(yǎng)從未參與過數學建模過程與活動的學生的數學建模素養(yǎng)，考慮到這部分的學生可能會由于無法順利建立數學模型而不能繼續(xù)參與數學建模的其余環(huán)節(jié)，為了幫助學生適應數學建模過程，為他們提供一個數學模型來展開是不錯的開始。其次，學生在建立數學模型時，學會運用與模仿其他的數學模型來解決問題也是高中數學建模素養(yǎng)要求的一部分。最后，在現實的各個領域，即便是新領域，后人的研究與發(fā)展都是建立在前人的基礎之上，繼承、模仿與改進本來就是科學發(fā)展的基本途徑之一。

四、在課堂教學的同時關注學生數學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)

鑒于數學建模過程是多環(huán)節(jié)融合成的復雜活動，數學建模素養(yǎng)與其他數學核心素養(yǎng)相輔相成，將數學建模的思維模式和解題模式融入數學課堂也有利于提高學生整體的數學核心素養(yǎng)，在數學課堂中插入數學建模問題對學生的綜合發(fā)展是有好處的。在這樣的背景下，數學建模問題設計需要以課堂教學的具體情況相結合，并且問題的來源既可以是數學學科內的，也可以是跨學科的，只有充分了解學生的實際，深入到學生的學習與生活中，才能更準確地了解學生的心理和思維，把握學生的見識，當然這同時也往往需要付出很多的時間和努力。

考慮到國內班級授課的條件下，班級往往是人數較多，學生表現出的數學建模素養(yǎng)也高低不齊，在這樣的實際情況下不能忽視學生個體之間的差異，學生彼此之間可能會在各個環(huán)節(jié)產生各種各樣的問題。為了能夠準確地幫助學生來解決這些問題，需要教師自身儲備足夠的數學建模相關知識，從而準確找到關鍵點。此外，對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不簡單地等同于對學生知識的教授，這可能需要教師對傳統(tǒng)的課堂教學進行適當的調整，并給予學生充足的耐心，使學生的數學建模素養(yǎng)水平得到切實提升。

參考文獻：

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［３］鄭越兮，高倩． 高中數學建模與應用的探討［Ｊ］． 智力，２０２２（２３）：６７－７０．

（責任編輯：莫唯然）