2-尺度三維八向雙正交小波包及其性質(zhì)

張靜，盧維娜，劉芳園

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

小波包由Coifman 與Meyer［1-2］初始研究并引入，因其能夠?qū)π盘栠M行分解處理，在語言、圖形和地震等方面得到廣泛應(yīng)用［3-6］；例如，利用小波包變換去噪，處理機械振動、地震波等工程信號問題［7-10］。此外，為彌補小波包在信號處理中的不足，Daubechies 和Cohen 等開始致力于雙正交小波包的研究［11-14］。2007年，雙向小波的概念被提出［15-16］。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對高維度上正交小波包問題進行了研究［17-18］，如Shah FA，Bhat MY 研究了特征局部場上雙正交小波包的構(gòu)造［19］等。尺度為小波函數(shù)的伸縮狀態(tài)，在信號處理過程中應(yīng)用大尺度小波變換處理信號往往可反映出信號整體的近似特征，而運用小尺度小波變換處理信號可獲得信號細節(jié)信息，一般情況下研究2-尺度小波函數(shù)及相關(guān)性質(zhì)居多。文章在a-尺度三維八向加細小波尺度函數(shù)的構(gòu)造算法［20］與雙正交的a-尺度三維八向尺度函數(shù)和小波函數(shù)構(gòu)造算法［21］研究的基礎(chǔ)上，給出了2-尺度三維八向雙正交小波包的定義，并對其做Fourier變換得到其相應(yīng)的8×8的對稱矩陣Γ，最后探究了2-尺度三維八向小波包的雙正交性，這是研究成果［20-21］在伸縮尺度為2狀態(tài)下的擴展研究。

1 2-尺度三維八向雙正交小波包的定義

為定義2-尺度三維八向雙正交小波包，根據(jù)已有研究成果［20-21］，先規(guī)定如下記號：

1.1 2-尺度三維八向小波函數(shù)族

其對應(yīng)的雙正交小波函數(shù)族如下：

1.2 選擇2-尺度三維八向小波合適的序列（即：面具符號）

則相應(yīng)的雙正交小波合適序列（即：面具符號）為：

其中：λ = 0,1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7.

為了對2-尺度三維八向雙正交小波包做進一步研究，于是令：

于是存在對稱矩陣：

則可得：

其加細面具符號如下：

其中：λ = 0,1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7.

由以上變換，可得：

其中：j,h = 0,1; s,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.式（9）相當(dāng)于

其中λ = 0，1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7; n1,n2,n3∈Z.

2 2-尺度三維八向雙正交小波包的性質(zhì)

得到一個有限和，且此展開式是唯一的。

證明 如果2S0-1≤n ≤2S0，根據(jù)帶余除法，有n = 2S0+ n1(0 ≤n1≤2S0-1)，之后再利用帶余除法把n1展開，并不斷重復(fù)此過程則可得到，其中于是引理得證。

構(gòu)造的2-尺度三維八向雙正交小波包，則當(dāng)，存在：

證明 （1）當(dāng)n= 0時，上式顯然成立；（2）當(dāng)0 ≤n ≤2S0（S0是某個正常數(shù)）時，（11）式成立；當(dāng)且僅當(dāng)2S0≤n ≤2S0+1時，根據(jù)引理2.1，有：2S0-1≤（[ x ]表示不超過x的最大整數(shù)），.時，通過數(shù)學(xué)歸納法即可證明結(jié)論。

其中k1,k2,k3,t1,t2,t3∈Z; n,m ∈N.

證明 因尺度函數(shù)φ(x1,x2,x3)與φ?(x1,x2,x3)的雙正交性（文獻［21］定理2.1），以及ψ1,γ(x1,x2,x3),與，γ = 1,2,3,4,5,6,7.的雙正交性（見文獻［21］定理2.2），則有：

因而有：

其中：λ = 0,1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7.于是結(jié)論得證。

定理2.3 若函數(shù)族} = 0，1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7. 與 = 0,1；}γ = 0,1,2,3,4,5,6,7. 為雙正交小波函數(shù)，γ = 0,1,2,3,4,5,6,7.（見文獻［21］定理2.2）的2-尺度三維八向雙正交小波包，則有：

證明 證明上述結(jié)論成立等價于證明下列式子成立：

根據(jù)文獻［21］定理2.1式（12）與定理2.2式（13），于是有：

其中：λ = 0,1; γ = 0,1,2,3,4,5,6,7.于是結(jié)論得證。

3 結(jié)論

依據(jù)雙向小波理論，在a-尺度三維八向尺度函數(shù)和小波函數(shù)算法分析研究的基礎(chǔ)上，給出了2-尺度三維八向雙正交小波包的定義，并對其做Fourier變換得到8 × 8的對稱矩陣Γ，最后探究了2-尺度三維八向雙正交小波包的雙正交性質(zhì)。通過探究將一維雙正交雙向小波包的相關(guān)結(jié)論推廣到2-尺度三維八向雙正交小波包，為小波包在信息領(lǐng)域的進一步運用提供了高維小波的分析依據(jù)。