數(shù)據(jù)壓縮與人工智能的數(shù)學研究

張 陽，曾福庚

（1.中國科學院中科建設(shè) 山東東潤清潔能源有限公司，山東 東營 257000；2.貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550000）

生活中任何地方都可以看到各種各樣的信息，例如，信息收集、處理、存儲、共享等。過去、現(xiàn)在和未來的信息和數(shù)據(jù)量龐大，沒有任何實體或組織能夠完全存儲如此大量的數(shù)據(jù)，只可以存儲數(shù)據(jù)的相關(guān)部分進行檢索和傳輸，以便必要時交換和使用網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)。然而，隨著數(shù)據(jù)的積累，網(wǎng)絡(luò)訪問量的增加將會占用較多時間和帶寬。為提高數(shù)據(jù)傳輸速度，縮短網(wǎng)絡(luò)訪問時間，最直接的方法就是擴大網(wǎng)絡(luò)帶寬。但是，網(wǎng)絡(luò)的頻率范圍將受到限制，收集的數(shù)據(jù)越多，無法存儲的數(shù)據(jù)就越多。有效的數(shù)據(jù)壓縮可以解決這個問題。

目前，數(shù)據(jù)壓縮主要分為兩類，一類是有損壓縮，主要用于壓縮音頻、視頻、圖形和圖像。其主要特點是數(shù)據(jù)壓縮率一般在10：1到30：1之間；另一類是無損壓縮，用于壓縮文本文檔、數(shù)據(jù)庫、程序等。最大壓縮率約為70%（通常為50%-60%）。兩種壓縮率低的原因是，當前的無損壓縮算法在文件中要找到相同的副本；可執(zhí)行程序（EXE、com 等）壓縮率只能達到幾個百分點；有損壓縮不僅減少了圖像數(shù)據(jù)量，而且影響了圖像質(zhì)量。因此，尋找一種更有效的方法來提高數(shù)據(jù)壓縮率非常重要。

文章創(chuàng)建了一個新的通用數(shù)據(jù)模型，研究目的是：在現(xiàn)實世界中創(chuàng)造某種類型的對象（例如，將圖像清晰度劃分為低級像素340×255分辨率、普通像素720×570分辨率、高清像素1920×1080分辨率、4K像素3840×2160 分辨率和8K 像素7680×4320 分辨率，用于分層研究），并在此基礎(chǔ)上描述屬性，實現(xiàn)了現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)壓縮和分析功能；分類對象的壓縮數(shù)據(jù)模型基于統(tǒng)一的數(shù)據(jù)描述模型，它提供了現(xiàn)實世界中對象壓縮數(shù)據(jù)模型的高度一致性；縱向時間分割與對象單元的橫向分層相結(jié)合。因此，使用簡化的邏輯和數(shù)學公式來表示不同數(shù)據(jù)壓縮結(jié)構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)是研究和分析壓縮模型的一種新方法。復雜且難以表達的模型拓撲中的層次邏輯關(guān)系［1-9］用于表示壓縮拓撲［10-11］。揭示數(shù)據(jù)壓縮有序結(jié)構(gòu)關(guān)系，優(yōu)化壓縮模型，改進壓縮布局和分層管理，對于人工智能［12］機器學習為模型提供理論和算法保障，使其更有效、方便、安全，面向云計算的數(shù)據(jù)壓縮網(wǎng)絡(luò)。

1 數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的建立

在ESTDM 模型［13］中，將時間視為跨越過去和未來的無限時間，具有普遍性、連續(xù)性、可測量性和單向性。對象現(xiàn)象發(fā)生變化稱為事件，時間序列稱為時間列表。關(guān)于ESTDM 模型的許多資料已經(jīng)過詳細描述，在此不再贅述（圖1）。

圖1 基于事件的數(shù)據(jù)模型

將事件層次結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為壓?縮拓撲［10-11］（圖2）。

圖2 事件的層次嵌套結(jié)構(gòu)拓撲

圖2用以下公式表示為數(shù)學模型。

計算第一層數(shù)據(jù)壓縮模型的數(shù)學公式

式中：∑w0(i)表示w0數(shù)據(jù)壓縮網(wǎng)絡(luò)所有點的集合；w0（i）（i=1，2，…，n）表示w0數(shù)據(jù)壓縮網(wǎng)絡(luò)第i 個點；“→1”表示數(shù)據(jù)壓縮1層的等式對應(yīng)包含關(guān)系，“1”表示在第一層上，“→”表示等于，箭頭表示從屬關(guān)系，兩個加在一起讀作“一層數(shù)據(jù)壓縮等于”。w0表示時間維度下數(shù)據(jù)壓縮點名稱，n是點的序號。

第二層數(shù)據(jù)壓縮的數(shù)學公式由公式（1）導出。

第n層數(shù)據(jù)壓縮的數(shù)學公式由公式（2）導出。

注：w0（i，…，i）為n層所有點的集數(shù)

由式（1-3）推導全架構(gòu)數(shù)據(jù)壓縮模型的數(shù)學公式為：

從圖1中基于事件的數(shù)據(jù)模型中，得到圖3中數(shù)據(jù)壓縮的數(shù)學模型：

圖3 數(shù)據(jù)壓縮模型

最終得到數(shù)據(jù)壓縮模型的數(shù)學公式

設(shè)：

代入公式（5），最終得到數(shù)據(jù)壓縮模型的數(shù)學公式

M0為壓縮原始數(shù)據(jù)；T1為數(shù)據(jù)事件1；T2為數(shù)據(jù)事件2；Tq為數(shù)據(jù)事件q；t1為時段1；t2為時段2；tq為時段q.

2 數(shù)據(jù)壓縮模型的計算

2.1 數(shù)據(jù)壓縮模型的邏輯地址

存儲在地址中的壓縮數(shù)據(jù)和現(xiàn)有的尋址方法非常復雜。主要有兩種類型：一種按主要行為規(guī)則的順序存儲，另一種是基于列控制的順序存儲。這兩種類型的排序順序非常復雜，難以表達。采用數(shù)據(jù)壓縮模型表示數(shù)學地址，相對清晰簡單。

圖2在數(shù)據(jù)壓縮模型四層點w0（2，1，1，2）數(shù)學邏輯地址表示式如下：

數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學邏輯地址公式為：

2.2 數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的分解與合并公式

數(shù)據(jù)壓縮模型通常需要減少或增加點。圖4是第1層數(shù)據(jù)縮減拓撲圖。

圖4 一層數(shù)據(jù)壓縮模型縮減拓撲邏輯圖

數(shù)據(jù)縮減點的數(shù)據(jù)公式推導如下：

對應(yīng)的，單層數(shù)據(jù)增加一個點的數(shù)據(jù)推導的結(jié)果為：

同理，可推導多層數(shù)據(jù)的分解和合并模型：

其中：k（k≥0）為所有層可增減數(shù)據(jù)集數(shù)。

設(shè)：

M0為壓縮原始數(shù)據(jù)；Tq為wq事件數(shù)據(jù)。

2.3 數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的乘法推導公式

數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的乘法公式是根據(jù)數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的加減法推導出來的。

注：數(shù)學模型矩陣的加法、減法和乘法只對應(yīng)于原始地址數(shù)據(jù)的加法、減法和乘法。

2.4 數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型的特征向量和特征值

由于數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型乘法公式是數(shù)據(jù)壓縮模型縮放旋轉(zhuǎn)扭曲，公式（10）具有特征向量與特征值性質(zhì)，所以數(shù)據(jù)壓縮特征值即數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學模型乘法公式變?yōu)?/p>

2.5 壓縮值定理

將數(shù)據(jù)壓縮特征值簡稱壓縮值，在某t時刻或時間段，由公式（11）簡化如下

壓縮值定理：在給定的時間或時間內(nèi)，壓縮值與壓縮原始數(shù)據(jù)成反比，與事件數(shù)據(jù)成正比。

根據(jù)壓縮值定理，壓縮后的數(shù)據(jù)會隨著時間的推移進行縮減。除了在真實世界中保持原始狀態(tài)外，其他各點均存儲變化部分，以便通過將壓縮值與原始數(shù)據(jù)相乘來修改所表示的數(shù)據(jù)（圖5）。

圖5 某部分高清圖像變化數(shù)據(jù)模型

將壓縮值定理代入圖5得

數(shù)據(jù)壓縮后得

得壓縮數(shù)據(jù)解壓后數(shù)據(jù)

圖5可由下式表示

2.6 人工智能在數(shù)據(jù)壓縮模型上的應(yīng)用

在人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的單層公式中，每層神經(jīng)元的數(shù)目不同，輸入輸出維數(shù)不同，公式中矩陣和向量的行數(shù)和列數(shù)不同，但形式是一致的。假設(shè)考慮的這一層是第i 層，它接受m 個輸入，因此該層的計算如下：

式中：xmi是第m 層第i 個神經(jīng)單元的輸出向量，λij是第j 個神經(jīng)元的特征值，bmj是第j 個神經(jīng)元對應(yīng)的偏置值，其中f是一個非線性函數(shù)，可見整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實際上是一個向量到向量的函數(shù)。

通過替換數(shù)據(jù)壓縮模型的特征向量和特征值公式（13），得到深度學習時空的數(shù)學模型

例如，數(shù)據(jù)壓縮模型圖中，用數(shù)據(jù)壓縮人工智能公式應(yīng)用相似性測度在搜索空間中按照優(yōu)化準則進行索，尋找最大相關(guān)點，用已知參數(shù)從而求解出變換模型中匹配數(shù)據(jù)。通過人工智能將這些因素輸入到計算機找到最佳的匹配。

以圖3為例，點Wq（2，1，1）與M0原始點匹配有三條路徑：

第一條路徑：f1=w0（1）→w0（1，2）→w0（1，2，2）

第二條路徑：f2=w0（2）→w0（2，1）→w0（2，1，1）

第三條路徑：f3=w0（2）→t0（2，2）

由數(shù)據(jù)壓縮典型數(shù)據(jù)庫或模糊數(shù)學算出的權(quán)重值為：

將這三條路徑代入數(shù)據(jù)壓縮深度學習公式（16）得到如下式（由于本權(quán)重值采用精確值，故偏置向量不必微調(diào)數(shù)據(jù)壓縮偏重值，即b=0）得搜，

根據(jù)計算，路徑f1對總目標的權(quán)重為

0.2×0.3+0×0.3+0.7×0.4=0.34

依此類推，得出路徑f2、f3對總目標的權(quán)值為0.6、0.44.

由此得出f2＞f3＞f1，f2為最優(yōu)匹配。

3 結(jié)論和展望

文章用數(shù)學公式表達了數(shù)據(jù)壓縮模型，并根據(jù)壓縮值理論給出了數(shù)據(jù)壓縮的邏輯關(guān)系。數(shù)據(jù)壓縮值定理可以減少數(shù)據(jù)存儲量，該模型具有較高的數(shù)據(jù)檢索效率，可將對象的變化信息分解為多個片段，并能夠完全重建并恢復，具有數(shù)據(jù)編輯功能（例如，更改每個數(shù)據(jù)層的顏色灰度壓縮值可以在普通LCD 屏幕上生成立體圖像）。壓縮值還可以二次壓縮。數(shù)學公式和壓縮值可以通過使用時間和各種網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫進行擴展。此外，數(shù)據(jù)可以分類，能夠建立一個更完整的數(shù)據(jù)模型分析系統(tǒng)。

對數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學是人工智能、地理信息系統(tǒng)、時空數(shù)據(jù)庫等領(lǐng)域的研究熱點。數(shù)學數(shù)據(jù)壓縮的未來方向如下：

（1）開發(fā)更具適應(yīng)性的數(shù)據(jù)壓縮理論。也許應(yīng)放棄原來的數(shù)據(jù)壓縮方法，引入一種新的數(shù)據(jù)壓縮理論，是包含所有壓縮數(shù)據(jù)的統(tǒng)一模型。

（2）作為一種數(shù)據(jù)壓縮結(jié)構(gòu)，它在生物信息學、地理信息系統(tǒng)和語義網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域具有重要意義。其研究受到了各個領(lǐng)域?qū)W者的高度關(guān)注。未來對數(shù)據(jù)壓縮結(jié)構(gòu)的研究將對數(shù)據(jù)壓縮的數(shù)學領(lǐng)域做出重要貢獻。

（3）數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)從地理信息擴展到軍事、交通、醫(yī)學、生物等領(lǐng)域。隨著商業(yè)信息處理系統(tǒng)（如移動對象數(shù)據(jù)庫）的出現(xiàn)，數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學的應(yīng)用前景越來越明顯。現(xiàn)有理論成果的推廣將是未來數(shù)據(jù)壓縮數(shù)學研究的優(yōu)先方向之一。

（4）人工智能是未來可能對數(shù)據(jù)壓縮產(chǎn)生重大影響的另一個關(guān)鍵因素。信息的壓縮程度直接關(guān)系到信息的不確定性。假如計算機可以像人類一樣猜測后續(xù)信息?；谏倭恳阎担畔⒈粔嚎s了百分之一甚至百萬分之一。因此，高精度、快速壓縮的解決方案是必要的，它甚至可能成為目前尚未引起人們注意的巨大市場。使用人工智能進行壓縮以滿足人工智能的需求是我們的下一個目標。