分而用之　觸類旁通

摘要：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已把數(shù)學(xué)思想教學(xué)作為課程目標(biāo)之一，特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中解決與分類討論有關(guān)問題時(shí)，出現(xiàn)不知道分類、不會分類、分類不全面等問題.可見在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視分類討論思想.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);分類討論;滲透方法

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）11-0026-03

收稿日期：2022-01-15

作者簡介：周書娜（1985.8-），女，江蘇省南京人，碩士，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)思想教學(xué)作為課程目標(biāo)之一.筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐表明：有很多學(xué)生由于沒有掌握正確的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)老是不能進(jìn)步，上升空間有限，這也說明他們沒有深入認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的核心.一味地做題、刷題達(dá)不到預(yù)期的效果.有時(shí)我們作為教師在教學(xué)時(shí)也會只關(guān)注知識的結(jié)果，忽視知識的形成過程中所存在的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得不到培養(yǎng)，考試遇到靈活性和比較難的問題就不知道怎么做.特別是解決與分類討論有關(guān)的問題時(shí)，出現(xiàn)不知道分類、不會分類、分類不全面等問題.而分類討論思想在初中階段運(yùn)用范圍比較廣泛，可見在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視分類討論思想.

什么是分類討論思想？ 一般情況下，如果題目所給的條件無法確定，無法用統(tǒng)一的方法進(jìn)行解答，需要將這個(gè)問題分成幾種情況，每種情況逐一研究解決，最后將各種情況下的解進(jìn)行歸納整合.針對分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的思考，我將從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述：

1 初中數(shù)學(xué)分類討論思想運(yùn)用步驟與基礎(chǔ)

1.1 分類討論運(yùn)用步驟

數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論，首先需結(jié)合題目要求，對問題進(jìn)行細(xì)化分析，有效確定討論目標(biāo)，然后再根據(jù)研究目標(biāo)實(shí)施討論，最后歸納總結(jié)得到結(jié)論.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想，可結(jié)合對應(yīng)步驟實(shí)施教學(xué).在運(yùn)用中每次的分類都要依據(jù)一定衡量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，讓學(xué)生在使用分類思想的時(shí)候不遺漏，不重復(fù).因此為了保證分類討論思想的全面性與系統(tǒng)性，需依照一定研究目標(biāo)實(shí)施教學(xué)，進(jìn)行綜合性討論.

1.2 運(yùn)用分類討論思想的基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)分類教學(xué)在具體實(shí)施的時(shí)候，對于一些問題不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就要以一定標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施分類討論.此過程中學(xué)生要明確討論對象與范圍，確定分類的標(biāo)準(zhǔn).分類討論思想不是所有問題都適用的，因此學(xué)生要知道哪些題目解決的時(shí)候需要運(yùn)用分類討論.例如，等腰三角形已知一個(gè)角求另外兩個(gè)角，或者已知一條邊求另外兩條邊，看到這種類型的題目就要立刻想到分類討論.

2 不同教學(xué)環(huán)節(jié)滲透分類討論思想策略

2.1 在新授課中滲透分類討論思想

在初中數(shù)學(xué)教材中，有很多知識的探索需要用到分類討論思想.教師上課的時(shí)候緊扣教材就能很好地滲透分類討論思想.

例如：七年級上冊第2章有理數(shù)，這章有很多分類討論的內(nèi)容.首先是有理數(shù)的概念這節(jié)課，要求會按照不同的標(biāo)準(zhǔn)對有理數(shù)進(jìn)行分類.其次從正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三個(gè)角度研究絕對值.然后是從同號、異號、零這三個(gè)方面研究有理數(shù)加法法則、乘法法則.最后是從正數(shù)和負(fù)數(shù)兩方面研究有理數(shù)的乘方.第3章代數(shù)式中比較兩個(gè)代數(shù)式大小時(shí)，也會用到分類討論的思想.第5章走進(jìn)圖形世界，需要學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將圖形進(jìn)行分類.第6章平面圖形的認(rèn)識（一），學(xué)習(xí)平行線這節(jié)課時(shí)，在引入兩條直線位置關(guān)系的時(shí)候也會用到分類的思想.又如八年級第一學(xué)期的幾何教學(xué)，第2章這一章節(jié)，課堂上在研究線段垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理時(shí)，需要將點(diǎn)與線段的位置進(jìn)行分類.證明有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形時(shí)，需要將60度的角進(jìn)行分類.特別是等腰三角形的練習(xí)題中也有很多需要分類討論的，該章節(jié)分類討論出現(xiàn)的較為多，學(xué)習(xí)這一章節(jié)時(shí)，教師要好好利用教材重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生分類討論意識.

其實(shí)，每個(gè)年級的教學(xué)內(nèi)容都會涉及到分類討論，教師需要充分地研究教材、把握教材，在探討知識的過程中無形地滲透分類討論的思想，讓學(xué)生有分類討論的意識.

2.2 通過解題滲透分類討論思想

在講授新課知識過程中向?qū)W生滲透分類討論的思想是一個(gè)比較漫長的過程，對于初中剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生是個(gè)比較好的方法.對于高年級的學(xué)生，為了讓學(xué)生能更好地掌握分類討論，可以設(shè)置相關(guān)專題，讓學(xué)生學(xué)會從哪些方面去分類，怎樣分類不遺漏、不重復(fù)，強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識.選取的題目要有價(jià)值，不是盲目性地選題.可以從以下幾個(gè)方面來選題：窗體頂端在講授新課知識過程中向?qū)W生滲透分類討論的思想是一個(gè)比較漫長的過程，對于初中剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生是個(gè)比較好的方法.而對于初三學(xué)生，為了讓學(xué)生能更好地掌握分類討論，可以設(shè)置相關(guān)專題，讓學(xué)生學(xué)會從哪些方面去分類，怎樣分類不遺漏、不重復(fù)，通過鞏固練習(xí)來強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識.

例1關(guān)于x的方程（k-2）x-2kx+k=6有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

分析：本道題是由概念引起的分類討論.從方程的概念進(jìn)行分類，這個(gè)方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程.

解（1）若k-2=0，即k=2時(shí)，-4x+2=6是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根.

（2）若k-2≠0，即k≠2時(shí) （k -2）x-2kx+k-6=0是一元二次方程a=k-2，b=-2k，c=k-6

因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根，所以 b2-4ac≥0，4k-4（k-2）（k-6）≥0k≥6

綜上所述，k≥6或k=2.

例2已知拋物線y=x2-2（k-1）x+k-5/2k（k為常數(shù)）

（1）若拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍;

（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2k，y）和點(diǎn)（2，y），且y>y，求k的取值范圍;

（3）若拋物線向右平移1個(gè)單位長度得到新拋物線，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值-3/2，求k的值.

分析本題（1）、（2）兩小問不需要用到分類討論，比較基礎(chǔ)，只要計(jì)算時(shí)細(xì)心一點(diǎn)就沒什么問題.而第（3）小問，由于函數(shù)表達(dá)式里系數(shù)含有字母，導(dǎo)致對稱軸的位置不能確定，于是在給定范圍內(nèi)，看不出函數(shù)的增減性，無法求出最小值，因此需要對對稱軸的位置進(jìn)行分類討論.可是學(xué)生由于缺少分類討論的意識，大部分學(xué)生第（3）小問留白，少部分沒有分類討論，直接求了在頂點(diǎn)處有最小值，得分率比較低.

解析（3）a=1，b=-2（k-1），c=k-5/2k

當(dāng)x=-b/2a=k-1時(shí)，y=-1/2k-1

所以原來的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k-1，-1/2k-1）

所以平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，-1/2k-1）

平移后二次函數(shù)的表達(dá)式為y=（x-k）-1/2k-1，對稱軸為直線x=k

①若k <1，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大

所以當(dāng)x=1時(shí)，y=（1-k ） -1/2k-1=-3/2

解得k=1（不符合題意，舍去），k=3/2（不符合題意，舍去）

②若1≤k≤2，當(dāng)x=k時(shí)，y=-1/2k-1=-3/2

解得k =1

③若k>2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小

所以當(dāng)x=2時(shí)，y最小值=（2-k ）2-12k-1=-32

解得：k=3，k=3/2（不符合題意，舍去）

綜上所述，k =1或k =3.

以上二道例題就是需要用到分類討論思想的題型：由概念、公式、法則引起的分類，由含有字母系數(shù)引起的分類，由不確定的圖形或位置引起的分類.在解題過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生會出現(xiàn)無從入手或者答案不全面，錯(cuò)誤率比較高，其實(shí)這和學(xué)生缺失分類討論思想有關(guān).

3 分類討論思想滲透的注意事項(xiàng)

3.1 低起點(diǎn)滲透分類思想

很多數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生都伴隨數(shù)學(xué)思想，但是經(jīng)過對初中生分類討論思想的理解與運(yùn)用情況進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其問題多集中在“難”上，很多學(xué)生無從下手，不知道怎么分類.另外教師的教學(xué)也存在一些困惑，數(shù)學(xué)分類思想比較抽象，學(xué)生較難理解.實(shí)際上數(shù)學(xué)教學(xué)中基礎(chǔ)知識的教學(xué)也滲透了數(shù)學(xué)思想，但因?yàn)閷W(xué)生輕松理解，所以忽視了其中滲透的分類討論思想.在此要降低起點(diǎn)，發(fā)揮基礎(chǔ)知識載體性，科學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生理解.

3.2 注重信息技術(shù)的運(yùn)用

信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)增添趣味性，分類討論思想的運(yùn)用雖然出現(xiàn)，但是必要的時(shí)候運(yùn)用信息技術(shù)手段，可讓教師在數(shù)學(xué)思想的滲透教學(xué)中起到事半功倍的效果.幾何畫板作為專業(yè)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，在其動態(tài)展示的時(shí)候可呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而滲透分類討論思想.如研究圓周角與圓心位置關(guān)系的時(shí)候，學(xué)生憑空想象比較困難，借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓學(xué)生既能快速地發(fā)現(xiàn)圓周角與圓心的3種位置關(guān)系，也能讓學(xué)生體會到分類討論的思想.

總之，分類討論的思想對于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)是有價(jià)值的.“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”，想短暫時(shí)間就能形成和培養(yǎng)分類討論思想，這顯然不現(xiàn)實(shí)，需要教師在課堂教學(xué)中經(jīng)過長期地、反復(fù)地滲透和訓(xùn)練.

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[責(zé)任編輯：李璟]