試卷講評貴在“評”中“悟”

[摘要] 試卷講評是重要的糾錯與思維提升的機(jī)會。教師可以通過創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生探究的興趣：在“為什么會錯”的沖突中，經(jīng)由自我否定，實現(xiàn)自主建構(gòu);在“為什么做不下去”的沖突中，借由“相互比較”，實現(xiàn)解題方法的自我領(lǐng)悟，從而逐步學(xué)會思考。

[關(guān)鍵詞] 試卷講評;認(rèn)知沖突;學(xué)會思考

試卷講評課是一種比較特殊的課型，也是寶貴的糾錯與思維提升的機(jī)會。但在平常的試卷講評中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)教師講解是苦口婆心的，學(xué)生聽講是心不在焉的，講評效果十分低下。對于試卷來說應(yīng)如何講評才能更加有效呢？本文試著闡述一定的理解和做法。

一、試卷講評：以“評”促“悟”的好時機(jī)

其實，學(xué)生檢測成績偏低主要是基于兩個原因：

（1）出現(xiàn)知識性錯誤;（2）面對復(fù)雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往不太在意這些，但當(dāng)檢測中出現(xiàn)問題后，他們往往會產(chǎn)生認(rèn)知沖突：為什么會這樣？因此試卷講評就是利用學(xué)生這種原生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)由自我領(lǐng)悟，實現(xiàn)自主建構(gòu)、思維提升的課堂目標(biāo)。

1.對于知識性錯誤，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在“自我否定”中自主建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀告訴我們：學(xué)習(xí)不是學(xué)生對老師知識的全盤接受，而是以學(xué)生已有知識、經(jīng)驗為基礎(chǔ)的自主建構(gòu)。而“糾錯”則是對認(rèn)知的自我否定，它對應(yīng)于認(rèn)知過程中的順應(yīng)。糾錯的主體是學(xué)生自己，而不是老師。因此，簡單的外在評價或老師對錯因的直接解說都不能替代學(xué)生的內(nèi)在理解，學(xué)生的錯誤也不可能單純依靠正面示范和反復(fù)練習(xí)來得到糾正。相反，引導(dǎo)學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)錯誤則可能是明智之舉，這既有利于學(xué)生理解錯因，也有利于學(xué)生重建正確解答，從而有效地防止此類錯誤的再現(xiàn)。

2.對于解題策略問題，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在相互比較中學(xué)會思考

不會思考、分析能力弱，面對復(fù)雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案，這是數(shù)學(xué)檢測中最為常見的問題。但學(xué)生的數(shù)學(xué)解題分析能力卻不是教師講出來的，而只能是學(xué)生自我發(fā)展出來的：只有通過方法論的重建，才能使方法對于學(xué)生而言真正成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”和“可以加以推廣應(yīng)用的”。在對學(xué)生的解題過程進(jìn)行分析之后，我們可以明確感受到：元認(rèn)知水平的高低也是成功的解題者與不成功解題者的一個重要區(qū)別所在，并且在事實上構(gòu)成了決定解題活動成功與否的一個重要因素。因此，方法論的重建和元認(rèn)知的滲透是提高學(xué)生解題的有效途徑。

事實上，試卷講評課恰好為師生提供了一個寶貴的時機(jī)：多種方法的比較，多種問題的比較。在這種相互比較中，在“我為什么做不下去”的認(rèn)知沖突當(dāng)中激發(fā)起學(xué)生積極的心向，使其在對比中逐步學(xué)會思考：體驗方法的重構(gòu)過程，體驗元認(rèn)知自我監(jiān)控過程。

二、創(chuàng)設(shè)沖突：以“評”促“悟”的好方法

如何利用好學(xué)生原生的認(rèn)知沖突，從而引發(fā)學(xué)生自我領(lǐng)悟呢？事實上，檢測中的問題與錯誤本身就會引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，因此試卷講評的主要任務(wù)是通過學(xué)生自暴矛盾——為什么會錯？為什么做不下去？來營造一種外在的氛圍，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的不平衡，產(chǎn)生自我否定的積極心向，從而激發(fā)追求正確理解與深入思考的念想。

1.在“為什么會錯”的自我矛盾中，領(lǐng)悟正確的邏輯關(guān)系，建立正確認(rèn)知

糾錯是自我否定，而自我否定是以自我反省，特別是內(nèi)在的觀念沖突作為必要前提的。因此，糾錯的關(guān)鍵就在于提供適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來激發(fā)學(xué)生的觀念沖突。老師可以在順應(yīng)學(xué)生思路的基礎(chǔ)上使其自然地推演出矛盾，從而營造這種外部環(huán)境引發(fā)學(xué)生形成“為什么會錯”的認(rèn)知沖突。

[案例1]在△ABC中，已知，，求CosC.

[典型錯誤描述]

CosC=-Cos（A+B）=SinA·SinB-CosA·CosB=

或.

上述錯誤中我們發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，SinA>

SinBA>B，由A是銳角可知，B是銳角。錯解

中忽略了對B角的挖掘，從而誤以為有兩解。要讓學(xué)生主動認(rèn)識到這個解法有錯，老師可以動員學(xué)生進(jìn)行逆運算，即在△ABC中，已知，，

求SinB。事實上，可算出此時。

這時，學(xué)生將會很著急地去查找原因。

[案例2]已知如下兩個命題，p：不等式x2-x-12>0

的解集是{x│x>4};q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x<-3}。寫出復(fù)合命題p或q的形式。

[典型錯誤描述]p或q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x>4或x<-3}。

對于這一道題，若讓老師直接向?qū)W生解說此題錯誤的原因，顯然不容易說清楚，即使老師認(rèn)為說得明白了，學(xué)生也不一定能深刻理解。怎么辦呢？不妨順應(yīng)學(xué)生的思路，假設(shè)這種寫法是正確的，則p或q為真。這樣，p假q假p或q真，這與真值表有矛盾。這樣，在矛盾的強(qiáng)烈激蕩下，學(xué)生就會產(chǎn)生糾錯的積極心向了。

試卷講評課中僅僅講出正確的答案，而沒有提供給學(xué)生一個辨認(rèn)錯誤、建構(gòu)正確認(rèn)識的講評是無效的。因此，我們要創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主去領(lǐng)悟為什么錯，怎樣才正確，在此過程中，不同的思維之間產(chǎn)生了新的碰撞，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了本質(zhì)，也領(lǐng)悟出了知識背后的邏輯關(guān)系。

2.在多種解法的比較中，領(lǐng)悟思維的靈活性，學(xué)會思考

思維的靈活性就是學(xué)生會從多個角度來考察問題，能夠在事物的多元表征中選擇出最優(yōu)化的、最適合于自己的解題方法。因此，對于試卷中經(jīng)典的一題多解現(xiàn)象，教師要格外重視，要充分發(fā)揮它的作用，因為它給學(xué)生提供了相互比較的時機(jī)，在“我為什么做不下去”的認(rèn)知沖突下，激發(fā)出學(xué)生積極探究的心向。

對于試卷中經(jīng)典的一題多解現(xiàn)象，教師在組織講評時，一方面要讓學(xué)生在理解別人的解法后，深刻去理解某一知識的多元表征，實現(xiàn)多元表征之間的相互轉(zhuǎn)換;同時更要通過學(xué)生相互交流、討論，實現(xiàn)思維的充分交互，使得學(xué)生可以在賞析別人智慧的同時學(xué)會思考。

[案例3]如圖所示，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2，直線l1：y=k（x-1），若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ中點為M，A（1，0），l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，問AM·AN是否為定值，若是求出定值，如不是，請說明理由。

[案例描述]在學(xué)生的解法中主要是兩種，一種是直接計算AM·AN=f（k），最后消去k，AM·AN就是常數(shù)，另一種是將AM·AN=-AM·AN，簡化了計算。大部分學(xué)生選擇了第一種解法，但是做到了一半就放棄了，還有部分學(xué)生雖然堅持到了最后，但結(jié)果錯了。當(dāng)然，本題還有一種幾何方法，即利用三角形相似來解題，沒有學(xué)生想到。

[案例分析]本題的已知條件敘述方式比較隱晦：A，M，N三個點分別從三個角度描述，掩蓋了三點共線的信息，直線AC與l2垂直也需要學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)，才可能辨識出相似三角形。這種敘述方式將大部分學(xué)生的思維限制在方法一的框架內(nèi)難以變通。但也有少數(shù)學(xué)生為了減少現(xiàn)實的運算量，選擇跳出細(xì)節(jié)站在整體的高度思考問題，這樣可能就會產(chǎn)生好的思路。講評的關(guān)鍵是讓學(xué)生在欣賞別人的解法基礎(chǔ)上，理解別人是怎樣想的、為什么這樣想，并且體會到同一個量可以有不同的表達(dá)方式，不同的表達(dá)帶來不同的解題路徑、不同的計算長度，從而逐步建立多元表征的意識。

為了充分發(fā)揮這道題的價值，我們可以分為三個階段來組織講評：（1）逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種不同的算法;（2）組織討論——三種解法的比較;（3）組織討論——如何學(xué)會思考，特別是在條件較多、計算量明顯很大的情況下，如何靈活處理？

在解法比較環(huán)節(jié)，學(xué)生基本形成了共識：第一種解法順藤摸瓜，比較自然，符合大部分人的思維狀態(tài)，在緊張狀態(tài)下想一步算一步，一步一個腳印，扎扎實實地算，這種堅持算下去的態(tài)度很實在;第二種解法將距離表達(dá)為數(shù)量積，結(jié)構(gòu)簡單了，便于化簡，但是難以發(fā)現(xiàn)三點共線現(xiàn)象;第三種解法最簡單，但是對解題者的要求更高：不僅要發(fā)現(xiàn)三點共線，直線AC與l2垂直，還要求解題者能夠整體地思考問題，在圖形的整體結(jié)構(gòu)下展開類比聯(lián)想。

在討論“如何學(xué)會思考”環(huán)節(jié)，學(xué)生基本形成了共識：（1）要有強(qiáng)烈的分析意識與化簡意識：想找一種簡便方法是出發(fā)點，因此要觀察元素關(guān)系，這是破題的關(guān)鍵;（2）看出來才是王道：不僅僅要多觀察幾何元素之間的關(guān)系，還要多觀察式子結(jié)構(gòu)的特點，以及元素之間的關(guān)系，這樣才有機(jī)會找到簡便方法;（3）學(xué)會自我監(jiān)控：解題過程中如果一時看不出來，還可以重新觀察，尋找已有經(jīng)驗，而不是盲目下手。

在這種講評中，教師沒有滿足于啟發(fā)學(xué)生僅僅是想出這些方法;而是將重點放在了讓學(xué)生在充分理解別人的做法后，去思考別人是怎樣想的，為什么這樣想，怎樣才能這樣想，從而獲得思維上的啟示：感受到化簡意識、觀察意識、自我監(jiān)控意識的必要性;領(lǐng)悟了數(shù)形結(jié)合、觀察、嘗試、自我監(jiān)控等解題活動的意義。

3.在多種問題的比較中，領(lǐng)悟事物的本質(zhì)，學(xué)會思考

在試卷中有些題目具有特定的背景和明顯的規(guī)律性，因此，教師可以將其變更條件加以推廣，使得學(xué)生在不斷地探究中理解題目背后的知識背景，在多種問題的比較中，領(lǐng)略其中的思維規(guī)律，從而洞察一系列問題的背后本質(zhì)，做到綱舉目張，舉一反三。

[案例4]已知橢圓的左、右頂點分別為A、

B，S點是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS

與直線分別交于M，N兩點。判斷以線段MN為直

徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點？

[案例描述]絕大部分學(xué)生沒有計算下去，半途而廢，還有一部分學(xué)生沒有明確的思路。

[案例分析]顯然，本題的背景指向圓錐曲線的另

一種幾何本質(zhì)，即是一個定值，其他的

定值現(xiàn)象都源于此。

為了讓學(xué)生更加深入地理解問題，在引導(dǎo)學(xué)生分析完試題后，教師將問題進(jìn)行推廣，設(shè)計了一組變式題。

初步探究1：MS與NS的斜率之積是否為定值？點M，N的縱坐標(biāo)之積是否為定值？

深入探究2：試求MN的最小值為多少？

拓展探究3：設(shè)直線l⊥x軸，且與橢圓交于P1，P2兩點，橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，AP1，BP2相交于點P，試判斷|PF1|-|PF2|是否為定值？

在這一組變式題的探究過程中，學(xué)生將體驗如何用函數(shù)觀點去求解定值問題，學(xué)會如何依據(jù)條件選擇算法，掌握兩種基本的處理點坐標(biāo)的方法，同時也體驗到數(shù)形結(jié)合思想的重要性，領(lǐng)悟到探求事物規(guī)律背后的艱辛努力和理性精神。

總之，學(xué)生在檢測中對每一道題都是認(rèn)真思考的，因此每一個問題的解答不論對錯，作為教師都要善待它，認(rèn)識到它的意義與價值。錯的，應(yīng)當(dāng)分析它為什么錯，直接原因是什么？教師要思考如何創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生建立起正確的概念。對于沒有做出來的也要分析原因：是沒有算對，還是意志力缺失，還是知識的表征不對？教師要在講評課中通過方法的對比與擇優(yōu)引發(fā)學(xué)生的思考，從而逐步讓他們學(xué)會在不同表征中轉(zhuǎn)換，學(xué)會選擇適合自己的方法，從而逐步學(xué)會思考。當(dāng)試題具有很好的背景，教師可以變更條件引導(dǎo)學(xué)生去探究，這樣既拓寬了知識面，又在探究過程中洞察了問題的本質(zhì)，體會了思想方法。

正是基于以上想法，教師要把學(xué)生的思維作品——試卷展示出來，以他們的思維過程為教學(xué)的素材，實現(xiàn)在思考中學(xué)會思考，在評價與欣賞中體驗數(shù)學(xué)思維。正因如此，試卷講評重在評中悟。

[本文系江蘇省南京市教學(xué)研究室2019年度課題“認(rèn)知學(xué)徒制教學(xué)：指向高中數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的實踐研究”（項目編號：2019NJJK——L11）階段性研究成果]

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育：從理論到實踐[M].上海：上海教育出版社，2001.

[2]肖建國.高中數(shù)學(xué)中幾種常見錯解剖析[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003（7）：42.

[3]蒲侍波.簡易邏輯學(xué)習(xí)中的一些誤解[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003（1）：42.

[4]宋秀云，王弟成.教師：請幫助學(xué)生突破困難[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（5）：11-13.

[5]張格波.定位準(zhǔn)確，才能提高實效[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（4）：6-9.