力矩分配法的方程解法

朱曉江 張琳楠 秦太驗(yàn)

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué),北京 100083)

傳統(tǒng)力矩分配法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的常用手算方法[1],該法避免了力法和位移法需要求解方程組的缺點(diǎn),通過逐次分配、傳遞不平衡力矩來逼近精確解,但是當(dāng)分配點(diǎn)多于一個(gè)時(shí),該方法計(jì)算量大且精度有限。針對這一問題,許多學(xué)者都提出了力矩分配法的改進(jìn)方法[2]。劉天一等[3]給出僅含3 個(gè)分配點(diǎn)結(jié)構(gòu)的力矩分配公式并得到精確解,該方法所給出的公式只適用于3 個(gè)分配點(diǎn)的情況。劉茂燧等[4]推導(dǎo)了任意跨連續(xù)梁桿端轉(zhuǎn)動剛度和結(jié)點(diǎn)處力矩傳遞系數(shù)的遞推公式,通過一次分配即可求得連續(xù)梁的精確解,但該方法計(jì)算過程復(fù)雜。張宇[5]將結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角作為迭代目標(biāo),仍需較大計(jì)算量且存在誤差。

本文提出了力矩分配法的方程解法,該方法將漸進(jìn)的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為方程組的求解,方程組的系數(shù)矩陣為三對角陣,且主對角線元素始終為“1”。該方程組求解簡單,適于少結(jié)點(diǎn)問題的手算；對于多結(jié)點(diǎn)問題,采用相同順序的結(jié)點(diǎn)編號時(shí),應(yīng)用該方法可以得到與矩陣位移法形式相同的方程,方程未知量為各分配點(diǎn)的分配力矩代數(shù)和,方程的推導(dǎo)不需要單元?jiǎng)偠染仃嚨募Y(jié)。力矩分配法的計(jì)算精度隨計(jì)算輪次的增加而提高,最后收斂于精確解,本文方法將漸進(jìn)計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為方程組的求解,因而可以直接得到桿端彎矩的精確解。

力矩分配法是為了避免解算力法和位移法典型方程而發(fā)展起來的、簡捷的、適于手算的漸進(jìn)計(jì)算方法,但力矩分配法出現(xiàn)了迭代次數(shù)和精度的新問題,本文提出的方法解決了這兩個(gè)新問題。雖然本文方法又回到方程的求解,但是一方面該方法所需解算的方程較力法和位移法典型方程更為簡單,另一方面,本文方法其實(shí)正是力矩分配法向矩陣位移法的過渡,該方法讓我們進(jìn)一步理解,從想擺脫方程求解,到回到方程求解的必要性,在教學(xué)中指出這一必要性,有助于學(xué)生樂于接受更繁瑣的矩陣位移法。此外,對于多結(jié)點(diǎn)問題,相比于矩陣位移法,本文方法的方程建立過程更簡潔,有助于啟發(fā)學(xué)生的編程思維及相應(yīng)的計(jì)算練習(xí)。

1 力矩分配法的方程解法原理

傳統(tǒng)的力矩分配法只適用于求解無側(cè)移結(jié)構(gòu),以李廉錕[1]書中例9-2 含有3 個(gè)分配點(diǎn)的連續(xù)梁為例,說明力矩分配法方程解法的原理。

觀察圖1 計(jì)算表格,每個(gè)橢圓圈內(nèi)所有數(shù)的代數(shù)和為“0”；B左側(cè)截面只有分配力矩,B右側(cè)截面則既有分配力矩又有傳遞力矩,D結(jié)點(diǎn)與B結(jié)點(diǎn)情況相反,C為中間的分配點(diǎn),兩側(cè)均有分配力矩和傳遞力矩。由上述觀察可知,B點(diǎn)兩側(cè)所有傳遞力矩和分配力矩的代數(shù)和等于B兩側(cè)截面固端力矩代數(shù)和的相反數(shù),C和D兩結(jié)點(diǎn)處也有相同的結(jié)論,即矩形框內(nèi)所有數(shù)值的代數(shù)和等于各結(jié)點(diǎn)兩側(cè)截面固端力矩代數(shù)和。

圖1 例題及計(jì)算表格

設(shè)B,C,D三個(gè)分配點(diǎn)處各次分配力矩的代數(shù)和分別為MB,MC和MD,同時(shí)考慮各結(jié)點(diǎn)所連桿端分配系數(shù)代數(shù)和為“1”,則有

該方程組主對角線元素均為“1”,求解方程組可得三個(gè)分配點(diǎn)處各次分配力矩的代數(shù)和MB,MC和MD。分配點(diǎn)桿端彎矩可按式(2) 計(jì)算

非分配點(diǎn)A和E的桿端彎矩?cái)?shù)值,等于求解方程組得到的相鄰分配點(diǎn)分配力矩代數(shù)和乘以相應(yīng)傳遞系數(shù),再疊加截面相應(yīng)的固端彎矩?cái)?shù)值。

2 力矩分配法的方程解法算例

為方便對比,仍以李廉錕[1]書中例9-2 為例,用力矩分配法的方程解法計(jì)算各桿端彎矩。

由力矩分配法的方程解法計(jì)算過程可知,該方法將傳統(tǒng)的漸進(jìn)計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為三對角矩陣方程組的求解,簡化了計(jì)算步驟及計(jì)算工作量,并得到精確解。

此例題用位移法求解時(shí)的典型方程為

對比方程(3) 與圖2 計(jì)算表格中的方程可知,兩方程形式一致,但推導(dǎo)過程及未知量完全不同,本文解法給出的方程主對角線元素均為“1”,求解更簡單。

圖2 方程解法計(jì)算表格

3 力矩分配法的方程解法一般方程及其解

對有n個(gè)分配點(diǎn)的多跨梁或單層無側(cè)移剛架,力矩分配法的方程解法即求解式(4) 中系數(shù)矩陣為三對角陣,且主對角線元素均為“1” 的方程組。

其中Cij,μij及均為題目的已知條件,求解方程得到Mi(i=1,2,···,n),各分配點(diǎn)桿端彎矩表達(dá)式為

非分配點(diǎn)桿端彎矩等于固端彎矩加上相鄰分配點(diǎn)傳來的傳遞力矩。

對于多分配點(diǎn)連續(xù)梁問題及如圖3(a)所示的只有一層結(jié)點(diǎn)的無側(cè)移剛架問題,上述方法將一般力矩分配法的漸進(jìn)計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為三對角矩陣方程組的求解,在不改變力矩分配法的分析思路,保留桿端彎矩作為分析對象的同時(shí),極大簡化了計(jì)算步驟及計(jì)算工作量,并得到精確解。

圖3 無側(cè)移剛架

對于圖3(b) 所示的兩層無側(cè)移剛架,或其他的多層無側(cè)移剛架,應(yīng)用本文方法仍可快速寫出需要求解的方程組,此時(shí)的系數(shù)矩陣主對角元素仍為“1”,帶寬取決于各結(jié)點(diǎn)的編號順序。關(guān)于本文方法求解多層無側(cè)移剛架及與矩陣位移法的對比還可以進(jìn)行進(jìn)一步的討論。

4 結(jié)論

本文提出了力矩分配法的方程解法,該方法適用于所有可用力矩分配法求解的無側(cè)移結(jié)構(gòu)。對于較多分配點(diǎn)的連續(xù)梁問題及各分配點(diǎn)連接較多桿件的單層無側(cè)移剛架問題,該方法可簡化計(jì)算步驟,提高計(jì)算效率,并得到問題的精確解。

在教學(xué)中,本文提出的方法沒有增加新的參數(shù),易于學(xué)生的理解、接受和應(yīng)用；力矩分配法與矩陣位移法都是在位移法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,力矩分配法直接以桿端彎矩作為分析對象,采用本文方法可以將問題轉(zhuǎn)化為方程組的求解,由此可以引導(dǎo)學(xué)生思考,是否可以在將結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量的求解過程中,同樣引入適于計(jì)算機(jī)處理的方程解法,而這一思想正是矩陣位移法基本思路,因此本文方法有助于拓展學(xué)生的解題思路,引發(fā)學(xué)生的深入思考,提高學(xué)習(xí)積極性。