爬墻蜘蛛人的力學原理分析

鄭子君 陶裕梅

(重慶理工大學機械工程學院，重慶400054)

生活中常見的一些魔術(shù)道具、玩具常常蘊含著力學原理。蜘蛛人(又名爬墻超人)是一種價格低廉、制作簡單、又深受廣大兒童喜愛的玩具。如圖1所示，該玩具由一塊彈性好、表面有黏力的特殊軟膠材料，穿過兩塊塑料外殼制成。手腳部分膠體暴露在外并呈球形，使之能夠黏附在物體上。

在玩耍時，將該玩具拋向光潔的豎直玻璃面：剛開始蜘蛛人的四肢的軟膠將會黏住玻璃面，使之不會掉下來；片刻后，蜘蛛人靠上方的兩肢脫離玻璃面，整個玩具以下方兩肢為軸旋轉(zhuǎn)；脫離玻璃面的兩肢再次接觸到玻璃面后，又經(jīng)過片刻，原來貼合玻璃面的兩肢松開，開始以新的接觸點為軸旋轉(zhuǎn)；最終，玩具以類似翻跟頭的方式不斷從上往下運動，如圖2所示。相關(guān)演示視頻可于優(yōu)酷網(wǎng)搜索“爬墻蜘蛛人玩具演示”。而如果將蜘蛛人拋向粗糙墻面，則玩具將緊緊貼住墻面，不會出現(xiàn)翻跟頭的現(xiàn)象。

圖1 蜘蛛人玩具實物照片

圖2 蜘蛛人玩具的工作狀態(tài)示意圖

蜘蛛人玩具能完成翻跟斗過程，與肢稍膠球的兩個重要的力學性質(zhì)有關(guān)。一是膠球在壓力作用下可發(fā)生較大的變形，撤去外力后，變形緩慢恢復，即表現(xiàn)為黏彈性[1]；二是膠球可以黏在固體面上，附著力既能阻礙其與固體分離又能阻礙變形恢復，大小與接觸面積正相關(guān)(如圖3(a)和圖3(b)，膠球Q處的附著力可阻礙其回彈)。膠球及其界面的力學性能比較復雜[2]，這里根據(jù)前述力學性質(zhì)，利用常見力學元件來對其進行定性描述：黏彈性膠球可抽象為由彈簧K和油壺C組成的開爾文系統(tǒng)；而界面的附著力與擠壓變形程度正相關(guān)，不妨抽象為負剛度彈簧k[3]。膠球及其界面的力學元件模型如圖3(c)所示。

膠球與固體面間的摩擦系數(shù)較大，界面破壞形式主要是法向脫落。由圖3(c)的簡化模型可以看出，固體面上附著的膠球受到外界促使界面分離的力Fex時，有三種可能的結(jié)果：一是立即分離，當負剛度彈簧K提供的附著力不足以抵抗外力時(Fk＜Fex)，界面破壞，膠球脫落；二是保持穩(wěn)定，當膠球在外載下變形后附著力能夠同時抵抗分離力和彈簧K的回復力時(Fk≥Fex+FK)，膠球既不會持續(xù)恢復變形，也不會從固體上脫落，從而能長久地附著在固體上；三是延時脫落，若附著力雖暫時能抵抗外力，但始終不能抵抗外力與彈性回復力的合力(Fex+FK＞Fk≥Fex)，分析圖3(c)中Q處局部可知，膠球?qū)⒃谟蛪谻的阻礙下緩慢恢復變形，從而使得界面面積和附著力逐漸減小，最終與固體面分離。

圖3 軟膠球的力學模型

延時脫落現(xiàn)象可以解釋蜘蛛人在玻璃上翻跟斗的原理。為簡單起見，將蜘蛛人玩具視為兩端各有一個膠球的關(guān)于中點對稱的剛性桿。將模型在玻璃上翻跟斗的一個周期分為吸附、旋轉(zhuǎn)和碰撞三個階段：

(1)吸附階段

此階段玩具上端膠球A與下端膠球B均吸附在玻璃面，初始均處于擠壓狀態(tài)，在黏性力的阻礙下發(fā)生緩慢的恢復變形。由于變形緩慢，玩具整體可視為處于準靜態(tài)狀態(tài)。對玩具作受力分析，如圖4(a)所示。

由模型在x方向上的受力平衡以及力矩平衡條件，容易解得FAx=-FBx=-mgh/L(各變量的意義如圖4(a)所示)，即A球受拉力，B球受壓力。

在拉力作用下，A球的初始擠壓變形能夠較快恢復，與玻璃間接觸面積也隨之不斷減小，直至附著力不能提供模型平衡時A球所需的拉力，A球從壁面脫落。反之，B球受壓力作用，變形恢復較慢。因此在吸附階段結(jié)束時，總是上方的A球先脫落，玩具開始繞下方的B球旋轉(zhuǎn)。

圖4 模型受力分析圖

(2)旋轉(zhuǎn)階段

由于此階段相比吸附階段歷時較短，不妨認為該階段B球在阻尼力的作用下來不及發(fā)生明顯的恢復變形，因此與玻璃面間仍有足夠附著力。那么整個模型可以看作是由最高點處自由釋放，繞定軸B轉(zhuǎn)動的復擺。運用動靜法，模型的受力分析如圖4(b)所示。當剛桿與豎直方向的夾角為θ時，玩具的動能由重力勢能轉(zhuǎn)化而來

其中J是模型相對于B球的轉(zhuǎn)動慣量。質(zhì)心作圓周運動的法向和切向慣性力分別為

根據(jù)達朗貝爾原理，易知B處受到x向的約束反力為

式(4)在0～π之間的最大值約為0.76m2g·L2/J。因此在旋轉(zhuǎn)過程中，B球與玻璃的法向附著力應(yīng)當大于該值，否則B球可能脫落。

(3)碰撞階段

經(jīng)過半個圓周的定軸轉(zhuǎn)動，玩具的A端再次接觸玻璃壁面，與壁面發(fā)生黏彈性碰撞。模型的初動能由式(1)給出，除部分被黏性力損耗外，其余轉(zhuǎn)化為A球的變形能，使得A球產(chǎn)生擠壓變形，并與玻璃面形成新的界面。碰撞產(chǎn)生的擠壓變形應(yīng)當足夠大，使對應(yīng)的附著力能在下一周期的定軸轉(zhuǎn)動中提供所需的支座反力。

碰撞完成后，A和B球的角色互換，系統(tǒng)進入下一周期。

通過以上分析可知，該玩具在設(shè)計時應(yīng)當使得自最高點釋放的復擺撞擊能使膠球產(chǎn)生較大的變形；整體附著時質(zhì)心到墻面應(yīng)有一定距離，使上下膠球的受力差異明顯。在玩耍時需要選擇合適的玻璃表面：既不可過于粗糙，否則吸附階段上方膠球受到附著力過大，將處于穩(wěn)定狀態(tài)而不會脫落；又不可過于光滑，否則膠球撞擊玻璃形成的接觸面，不能產(chǎn)生足夠大的附著力，旋轉(zhuǎn)階段作為定軸的膠球?qū)芾γ撀?。實踐表明，在水泥墻(太粗糙)和濕潤玻璃(太光滑)上，玩具均不能實現(xiàn)連續(xù)翻跟斗的功能。