低雷諾數(shù)下不規(guī)則顆粒沉降阻力公式的改進(jìn)和驗(yàn)證

雷中云，鄧榮東, 2，姜克冰，庫(kù)建剛, 2

(1. 福州大學(xué)紫金地質(zhì)與礦業(yè)學(xué)院，福建 福州 350108； 2. 福州大學(xué)—紫金礦業(yè)集團(tuán)礦產(chǎn)資源綜合利用聯(lián)合研發(fā)中心，福建 福州 350108)

0 引言

許威等[4]針對(duì)球形顆粒在供水管道中的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行理論分析，得到球形顆粒和流體的相對(duì)速度與球形顆粒阻力系數(shù)、升力系數(shù)和力矩系數(shù)之間的關(guān)系. 庫(kù)建剛等[5]設(shè)計(jì)一種單球形顆粒自由沉降法來測(cè)量顆粒在流體中的運(yùn)動(dòng)阻力. Faroughi等[6]使用Oldroyd-B模型研究球形顆粒的松弛和延遲時(shí)間對(duì)阻力系數(shù)的影響，并對(duì)阻力系數(shù)進(jìn)行修正. Ke等[7]采用三維浸入式邊界-晶格玻爾茲曼方法對(duì)橢球顆粒在流體中的阻力系數(shù)和平均努塞特?cái)?shù)的相關(guān)性進(jìn)行研究，從而建立阻力系數(shù)與平均努塞特?cái)?shù)的關(guān)聯(lián)性. 但以上研究的對(duì)象均為球形和橢球型顆粒，與真實(shí)顆粒的不規(guī)則形狀不符，顯然，采用以往公式計(jì)算不同形狀的顆粒運(yùn)動(dòng)阻力是不科學(xué)的[8]. 本文通過理論分析、計(jì)算模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)低雷諾數(shù)下不規(guī)則顆粒的運(yùn)動(dòng)阻力公式進(jìn)行改進(jìn)，提高了顆粒運(yùn)動(dòng)阻力計(jì)算準(zhǔn)確性.

1 顆粒在流體中沉降的受力分析

顆粒在流體中沉降主要受到重力(F重)、浮力(F浮)、流體阻力(F阻)、壓強(qiáng)梯度力(F壓強(qiáng)梯度)作用，除此之外附加質(zhì)量力(F附)、馬格努斯力(F馬)、巴塞特力(F巴)與薩夫曼力(F薩)等作用力也對(duì)其有影響[9].流體中的顆粒運(yùn)動(dòng)過程非常復(fù)雜，運(yùn)用拉格朗日法對(duì)顆粒在流體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行研究，全面考慮顆粒受到的所有力的作用效果，有以下表達(dá)式：

(1)

1.1 重力

顆粒在流體介質(zhì)中由于自身的質(zhì)量產(chǎn)生豎直向下的重力，進(jìn)而沉降，所受重力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，不能忽略.

(2)

式中：mp為顆粒質(zhì)量，kg；Vp為顆粒當(dāng)量體積，m3；ρp為顆粒密度，kg·m-3；g為重力加速度，g=9.8 m·s-2.

1.2 浮力

浸在流體介質(zhì)內(nèi)的顆粒受到流體豎直向上托起的作用力叫作浮力. 實(shí)質(zhì)是顆粒在流體中，各表面受流體壓力的差(合力). 由于顆粒始終完全浸沒在流體介質(zhì)中，浮力一直作用在顆粒上，故不能忽略.

(3)

式中：ρf為流體密度，kg·m-3.

1.3 流體阻力[10]

顆粒相對(duì)流體介質(zhì)運(yùn)動(dòng)所受的逆顆粒運(yùn)動(dòng)方向上的力稱為流體阻力，在本研究過程中顆粒與流體介質(zhì)始終存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故流體阻力一直作用在顆粒上，且量級(jí)與重力相同，不能忽略.

(4)

式中：A為顆粒當(dāng)量直徑，mm；u為流體的運(yùn)動(dòng)速度，m·s-1； ζ為流體阻力系數(shù)，是與雷諾數(shù)Re有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)細(xì)小的顆粒在流體粘度較大的流體中緩慢運(yùn)動(dòng)且Re<1時(shí)，則有如下關(guān)系式：

(5)

式中：μ為流體動(dòng)力粘度，Pas. 將式(5)代入阻力計(jì)算的公式中，則有：

(6)

1.4 壓強(qiáng)梯度力[11]

壓強(qiáng)梯度力事實(shí)上并非真正意義上的“力”，它是由于壓強(qiáng)不同而產(chǎn)生的介質(zhì)加速度. 本研究過程中顆粒相對(duì)流體的沉降速度較慢，流體介質(zhì)局部壓強(qiáng)差很小，且在選礦過程中經(jīng)過碎磨的礦石，基本變成非常微小的顆粒，當(dāng)量直徑通常以毫米計(jì).

(7)

式中：rp為顆粒當(dāng)量半徑，m. 由上式可知作用于顆粒上的壓強(qiáng)梯度力量級(jí)十分微小，對(duì)實(shí)際顆粒沉降過程影響甚小，故可忽略該力.

1.5 附加質(zhì)量力[12]

顆粒在流體介質(zhì)中加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將引起周圍流體做加速運(yùn)動(dòng). 由于流體有慣性，表現(xiàn)為對(duì)顆粒有一個(gè)反作用力. 這時(shí)，推動(dòng)顆粒運(yùn)動(dòng)的力將大于顆粒本身的慣性力，仿佛顆粒質(zhì)量增加了，這部分大于顆粒本身慣性力的力叫作附加質(zhì)量力.

(8)

由于單個(gè)顆粒質(zhì)量非常小，幾乎無法帶動(dòng)顆粒周圍流體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，流體速度變化很小時(shí)，對(duì)顆粒的附加作用力難以影響顆粒沉降速度，因此可忽略該力影響.

1.6 馬格努斯力[13]

顆粒在流體中圍繞自身進(jìn)行高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生與流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直的力，這個(gè)力稱為馬格努斯力.

F馬=ρf(uf-up)Γ

(9)

式中：uf為流體的速度，m·s-1；up為顆粒的沉降速度，m·s-1；Γ為沿顆粒表面的速度環(huán)量.

在顆粒沉降的過程中，由于礦漿粘度大，使得顆粒在流場(chǎng)中自旋角速度很小，所產(chǎn)生的馬格努斯力也很難對(duì)顆粒沉降速度起作用，因此可忽略馬格努斯力的顆粒沉降的影響.

1.7 巴塞特力[14]

顆粒在粘性流體中做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于流體自身的粘性，會(huì)帶動(dòng)部分流體隨之運(yùn)動(dòng)，使得顆粒受到流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的阻力，此時(shí)顆粒受到的流體作用力即為巴塞特力. 其計(jì)算式為

(10)

劉小兵等[15]認(rèn)為： 在定常流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以忽略巴塞特力的影響. Vojir等[16]利用微積分變換的方法對(duì)不同條件下巴塞特力對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行了數(shù)值研究，結(jié)果表明在非定常流體中，流體速度隨機(jī)時(shí)，顆粒所受到的巴塞特力可以忽略不計(jì). 而顆粒沉降過程可以看成固體顆粒在定常流體中運(yùn)動(dòng)，因此巴塞特力對(duì)顆粒沉降的干擾也可以忽略.

1.8 薩夫曼力[17]

顆粒在有速度梯度的粘性流體中做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于顆粒上下兩端的流體速度不同，這時(shí)會(huì)產(chǎn)生沿著垂直方向從低速流體指向高速流體的作用力，這個(gè)力就是薩夫曼力. 當(dāng)雷諾數(shù)Re<1的時(shí)，F(xiàn)薩的計(jì)算式為：

(11)

孫銘陽等[18]對(duì)薩夫曼力與流體阻力進(jìn)行量級(jí)比較后，發(fā)現(xiàn)薩夫曼力也可以忽略.

2 顆粒沉降阻力公式改進(jìn)

通過對(duì)顆粒在流體中受力分析可知，以往流體阻力計(jì)算僅僅考慮了雷諾數(shù)的大小、流體的粘性和顆粒大小，但并未考慮其形狀，事實(shí)上，后者對(duì)阻力的影響不可忽視. 在本研究中，為方便觀察、計(jì)算，同時(shí)盡量減小誤差，選用粘度較大，流動(dòng)性較差的流體介質(zhì)，此時(shí)顆粒在其中緩慢沉降，與介質(zhì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度較低，所受的阻力以粘性阻力為主，雷諾數(shù)Re<1，流體處于層流狀態(tài).

由式(6)可知，式中μ和dp是流體和顆粒的參數(shù)，u是與μ和dp有關(guān)的值，則μ、dp和u均無法改變.A是指顆粒與流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向上的橫截面面積，此參數(shù)會(huì)因顆粒沉降過程中發(fā)生旋轉(zhuǎn)實(shí)時(shí)變化而不足以表現(xiàn)顆粒受力情況. 例如，對(duì)于兩個(gè)形狀體積完全不相同、但存在一個(gè)或數(shù)個(gè)相同橫截面積大小的兩個(gè)顆粒，運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，在相對(duì)流體運(yùn)動(dòng)方向的橫截面積大小相等，由于兩個(gè)顆粒的形狀體積差異，該公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)際顆粒所受流體阻力有較大偏差.

基于以上事實(shí)，在綜合考量顆粒形狀、表面積和體積的基礎(chǔ)上，本文引入“球形度”這一系數(shù)對(duì)顆粒沉降阻力計(jì)算公式進(jìn)行系數(shù)修正. 以往對(duì)于球形度的定義主要涵蓋了體積球形度、直徑球形度、圓比球形度、周長(zhǎng)球形度和寬長(zhǎng)比球形度[19]等. 在本文研究沉降阻力系數(shù)修正中，主要考慮面積和球形度的關(guān)系. 面積球形度是指物體的投影面積和最小外接圓面積的比. 顆粒形狀越接近球，其球形度就越接近于1.

已知四面體顆粒的球形度為0.671，六面體顆粒的球形度為0.806，八面體顆粒的球形度為0.846，二十面體顆粒的球形度為0.939. 將顆粒球形度系數(shù)以符號(hào)k表示，值為顆粒在相對(duì)流體運(yùn)動(dòng)方向上的橫截面面積A1與其當(dāng)量直徑A之比，代入顆粒在流體中的原阻力計(jì)算公式，得到在低雷諾數(shù)(Re<1)下不同形狀的顆粒的阻力計(jì)算公式：

(12)

3 模擬驗(yàn)證

3.1 沉降模型的建立

圖1 沉降過程Fig.1 Settling process

借助有限元軟件COMSOL Multiphysics建立顆粒在牛頓流體中的沉降模型，采用有限元法對(duì)顆粒在流場(chǎng)中自由沉降的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行數(shù)值模擬，設(shè)定顆粒密度1 200 kg·m-3，當(dāng)量直徑5 mm，流體密度1 000kg·m-3，動(dòng)力粘度0.01 Pa·s. 沉降過程如圖1所示，在物理模型中將邊界約束設(shè)置為滑移壁，以避免壁面對(duì)顆粒沉降的影響.

3.2 模型驗(yàn)證

對(duì)模擬中阻力的求解，利用COMSOL Multiphysics有限元軟件的后處理功能，在模擬計(jì)算完畢后，導(dǎo)出顆粒在運(yùn)動(dòng)過程中的受力情況.

圖2所繪為數(shù)值模擬和改進(jìn)公式計(jì)算所得的密度1 200 kg·m-3、當(dāng)量直徑0.5 mm的球形顆粒，在不同流體粘度下的阻力，兩者都能很好用于還原實(shí)際情況. 實(shí)驗(yàn)中顆粒在介質(zhì)中先有一段加速運(yùn)動(dòng)的過程，隨著速度的變大，受到的阻力不斷增大，運(yùn)動(dòng)一段距離后受力平衡，達(dá)到沉降末速. 不僅如此，模擬和改進(jìn)公式計(jì)算的結(jié)果重合度較高，表明模擬計(jì)算得到的流體阻力具有很高的可信度，因此可利用此模型改變顆粒形狀，來進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)流體阻力公式的準(zhǔn)確性.

3.3 模擬驗(yàn)證

本模擬設(shè)定為不同形狀顆粒(密度1 200 kg·m-3,當(dāng)量直徑0.5 mm)在流體粘度為0.005 Pas的條件下運(yùn)行，計(jì)算不同形狀顆粒所受阻力，比較改進(jìn)公式和未考慮球形度的原始公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差，得到圖3.

由圖3可知，用原始公式和改進(jìn)公式計(jì)算阻力的結(jié)果與模擬計(jì)算的結(jié)果相對(duì)誤差均較小，且改進(jìn)公式計(jì)算值與模擬值更加接近. 二十面體(球形度0.939)在流體粘度為0.005 Pas的條件下用改進(jìn)公式計(jì)算的阻力與模擬計(jì)算的阻力相對(duì)誤差最小，僅為0.42%，而原始公式計(jì)算的阻力與模擬計(jì)算的阻力相對(duì)誤差為0.63%. 考慮球形度計(jì)算阻力比未考慮球形度得到的值更接近模擬值，說明改進(jìn)公式計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確，且球形度越高(越趨近1)，其結(jié)果越準(zhǔn)確.

圖2 不同流體粘度下球形顆粒模擬計(jì)算與改進(jìn)公式計(jì)算對(duì)比Fig.2 Comparison of spherical particle simulation calculation and improved formula calculation under different fluid viscosities

圖3 改進(jìn)公式與原公式誤差對(duì)比Fig.3 Error comparison between the improved formula and the original formula

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)材料與試劑

顆粒的沉降實(shí)驗(yàn)采用的流體介質(zhì)為Brookfield粘度標(biāo)準(zhǔn)液，粘度μ=0.005、0.010、0.050 Pas，流體密度ρf=1 000 kg·m-3. 實(shí)驗(yàn)采用PμSL 3D打印技術(shù)制作的不同形狀的顆粒，如圖4所示，顆粒當(dāng)量直徑d= 0.5、1.0、3.0和5.0 mm，顆粒密度ρs=1 200和1 500 kg·m-3.

4.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

沉降實(shí)驗(yàn)所用容器為有機(jī)玻璃制成的方形毛細(xì)管，高度100 mm，內(nèi)邊長(zhǎng)5 mm，外邊長(zhǎng)7 mm. 使用Macro Vis Eosens型高速相機(jī)拍攝，配置XD-300-250W型冷光源. 實(shí)驗(yàn)配置示意圖如圖5所示.

圖4 3D打印制作當(dāng)量直徑為5 mm顆粒Fig.4 3D printing produces particles with equivalent diameter of 5 mm

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.5 Schematic diagram of test device

4.3 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)開始前將流體緩慢加入方形毛細(xì)管容器中并靜置，避免產(chǎn)生氣泡影響沉降過程. 打開相機(jī)、相機(jī)控制軟件和光源； 對(duì)沉降容器的側(cè)面進(jìn)行照射； 調(diào)整高速相機(jī)的鏡頭中心對(duì)準(zhǔn)光源的中心，形成拍攝平面； 校正相機(jī)，使相機(jī)成像清晰； 調(diào)整完成后相機(jī)開始拍攝，將顆粒沿管道中心線釋放并使其自由沉降，記錄下顆粒的沉降全過程； 通過所記錄照片的數(shù)量及拍攝幀數(shù)可計(jì)算出顆粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間. 根據(jù)沉降時(shí)間和距離，可得到顆粒的沉降末速.

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析4.4.1 沉降末速理論計(jì)算

圖6 顆粒沉降過程中的受力分析Fig. 6 Force analysis during particle sedimentation

自由沉降的顆粒, 當(dāng)重力或離心力與介質(zhì)運(yùn)動(dòng)阻力相等時(shí), 相對(duì)于介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度稱為沉降末速. 在沉降末速計(jì)算的過程中，最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的計(jì)算模型就是球形顆粒計(jì)算模型[12]. 因此，本文基于該模型研究，對(duì)球形顆粒的自由沉降進(jìn)行受力分析. 受力分析如圖6所示.

由受力分析可知：

F合=F重-F浮-F阻

(13)

可以發(fā)現(xiàn)，固體顆粒在流體介質(zhì)中的沉降首先會(huì)有一段加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度變大，受到的阻力不斷增大，運(yùn)動(dòng)一段距離后達(dá)到受力平衡，當(dāng)?shù)竭_(dá)動(dòng)態(tài)平衡之后固體顆粒在流體中做勻速沉降運(yùn)動(dòng). 可以得到沉降末速為：

(14)

4.4.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

將直徑0.5、1.0、3.0和5.0 mm，密度1 200 kg·m-3的顆粒在流體粘度為 0.005、0.010和0.050 Pas的Brookfield粘度標(biāo)準(zhǔn)液中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算所得沉降末速與實(shí)驗(yàn)所得沉降末速的相對(duì)誤差共同繪制在圖7.

圖7 改進(jìn)公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Improved formula calculation results compared with experimental results

由圖7可知，用改進(jìn)公式計(jì)算出的沉降末速，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合，且球形度越高(形狀越接近球體)，相對(duì)誤差越小. 由圖7(a)可知，顆粒當(dāng)量直徑越小，改進(jìn)公式計(jì)算得到的沉降末速與實(shí)驗(yàn)得到的沉降末速相對(duì)誤差越小，最小為0.41%(當(dāng)量直徑0.5 mm、流體粘度0.005 Pas、球形度0.939)； 圖7(b)則表示流體粘度越大，改進(jìn)公式計(jì)算所得沉降末速與實(shí)驗(yàn)得到的沉降末速相對(duì)誤差越小，最小為0.17%(流體粘度0.05 Pas、當(dāng)量直徑0.5 mm、球形度0.939).

以上結(jié)果表明，采用改進(jìn)公式能夠較為準(zhǔn)確計(jì)算出其適用范圍(Re<1)內(nèi)顆粒在流體中的沉降末速，且當(dāng)流體粘度越大、顆粒當(dāng)量直徑越小、球形度越接近1時(shí)，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確.

5 結(jié)語

1) 數(shù)值模擬結(jié)果與改進(jìn)公式計(jì)算結(jié)果基本一致，且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，計(jì)算模型、改進(jìn)公式較為準(zhǔn)確；

3) 改進(jìn)公式計(jì)算處于高粘度流體介質(zhì)中的小顆粒時(shí)，相對(duì)誤差較小.