科氏力下帶有內(nèi)表面張力的黏彈性流體的瑞利—泰勒問題的穩(wěn)定性

吳興奇，劉蒙蒙，宋方應(yīng)

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

考慮重力場(chǎng)下的兩層完全平行的互不混溶流體，其中較重的流體層在較輕的流體層上方，對(duì)這種平衡狀態(tài)進(jìn)行較小的擾動(dòng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致較重的流體在重力作用下向下移動(dòng)，而較輕的流體向上移動(dòng)，并且這種不穩(wěn)定會(huì)進(jìn)一步增長(zhǎng)，且伴隨勢(shì)能釋放. 這種不穩(wěn)定現(xiàn)象是由英國(guó)的兩位物理學(xué)家Rayleigh[1]和Taylor[2]最早獨(dú)立研究，故稱之為RT不穩(wěn)定性. 過去的幾十年里，人們已從物理和數(shù)值方面對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行廣泛的研究[3]，并且還進(jìn)一步研究了其他物理因素，比如彈性[4-5]、旋轉(zhuǎn)[3]、內(nèi)表面張力[6-7]、磁場(chǎng)[8-10]等，如何影響RT不穩(wěn)定性的演化. 最近，文獻(xiàn)[4]研究了平板內(nèi)無內(nèi)表面張力的分層不可壓縮黏彈性流體的瑞利—泰勒問題的穩(wěn)定性. 本文在文獻(xiàn)[4]結(jié)果基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮有內(nèi)表面張力和旋轉(zhuǎn)情形, 其數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

這里，帶有下標(biāo)“+”“-” 的符號(hào)f+,f-分別表示有關(guān)上下層流體的未知函數(shù)或物理參數(shù)f.符號(hào)Ω+(t)，Ω-(t)分別指上部流體區(qū)域和下部流體區(qū)域，由于考慮水平周期運(yùn)動(dòng)，故其分別定義如下：

Ω+(t)∶={(xh,x2)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T,d(xh,t)

(2)

Ω-(t)∶={(xh,x3)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T, -l

(3)

ρ∶=ρ+χΩ+(t)+ρ-χΩ-(t)

(4)

(5)

主要在數(shù)學(xué)上建立一個(gè)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，在該穩(wěn)定性準(zhǔn)則下，上述VRT問題存在關(guān)于時(shí)間指數(shù)穩(wěn)定的解，并且當(dāng)κ適當(dāng)大時(shí)，即可滿足該穩(wěn)定性準(zhǔn)則. 此外穩(wěn)定性準(zhǔn)則與旋轉(zhuǎn)角速度大小無關(guān)，見定理1及注1. 結(jié)果表明： 旋轉(zhuǎn)不具有使流體失穩(wěn)的效果. 由于直接證明VRT問題的穩(wěn)定性結(jié)果是有困難的，為此，下面需要在拉格朗日坐標(biāo)下重寫VRT問題，并給出拉格朗日坐標(biāo)下的穩(wěn)定性結(jié)果和證明. 當(dāng)然通過拉格朗日坐標(biāo)逆變換即可得到對(duì)應(yīng)的VRT問題(5)的穩(wěn)定性結(jié)果.

1 拉格朗日坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程組

定義固定的拉格朗日域Ω+∶=T×(0,τ)，Ω-∶=T×(-l, 0)，并定義流映射ζ±為以下初始值問題的解：

(6)

2 主要結(jié)果

在介紹變換(分層)VRT問題(6)穩(wěn)定性數(shù)學(xué)結(jié)果之前，還要介紹一些簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)符號(hào).

現(xiàn)在開始介紹VRT問題(6)的穩(wěn)定性結(jié)果.

(7)

上述H0和A0都通過η0來定義，分別表示H和A的初始值； 正常數(shù)δ依賴于區(qū)域Ω和其它已知的物理參數(shù)ρ,μ,g,θ和κ.

3 定理1的證明

利用標(biāo)準(zhǔn)的迭代方法，很容易建立起變換VRT問題(6)存在關(guān)于時(shí)間的局部解，因此為了得到定理1的結(jié)論，只需建立起先驗(yàn)的穩(wěn)定性估計(jì)式(7)即可. 為此假設(shè)(η,u,q)為變換的VRT問題的光滑解，并滿足定理1中關(guān)于初始值的假設(shè)條件，以及下式成立：

M(t)≤δ∈(0, 1)

(8)

其中：δ充分小，依賴于區(qū)域Ω和其他已知的物理參數(shù)ρ,μ,g,θ和κ.則利用標(biāo)準(zhǔn)能量方法，可建立起如下能量不等式.

(9)

(10)

證明 上述證明可直接參考文獻(xiàn)[10]，故從略.

其中

則存在下列關(guān)于(η1,u1,q1)和(η2,u2,q2)的先驗(yàn)估計(jì)：

(11)

其中:

(12)

(13)

此外

(14)

證明 可直接參考文獻(xiàn)[10]得出，故從略.

首先從式(9)和式(11)得出，存在常數(shù)c和足夠大的常數(shù)c1滿足：

(15)

注意K1和K2是正定泛函，則由式(10)的第一個(gè)估計(jì)和式(13)，得出對(duì)充分小的δ，有：

(16)

此外，可以參考文獻(xiàn)[10]中的式(8.45)～(8.51)推出下式：

(17)

(18)

注意T1和T2是正定泛函，利用式(8)和式(10)的第二個(gè)論斷，可以從式(15)和式(17)推出，對(duì)于充分大的常數(shù)c1和充分小的δ，滿足：

(19)

對(duì)上式關(guān)于t積分，并利用式(10)的第一個(gè)論斷，即有：

(20)

由式(12)的表達(dá)式，以及(η1,u1)和(η2,u2)所滿足的初始條件，再利用上式估計(jì)，使用式(14)的第一個(gè)估計(jì)和跡定理，可知：

(21)

對(duì)式(14)的第二個(gè)估計(jì)式關(guān)于β在Υ4, 4上積分，并利用跡定理，即得：

(22)

最后將式(21)～(22)代入式(20)中，再利用式(18)，即得先驗(yàn)穩(wěn)定性估計(jì)式(7). 利用先驗(yàn)穩(wěn)定性估計(jì)及局部解的存在性結(jié)果，即可得到定理1.