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    基于交叉算子的反向梯度優(yōu)化算法

    2022-04-27 04:50:52程沖華江海新劉俊峰
    關(guān)鍵詞:測試函數(shù)算子梯度

    吳 蕓,程沖華 ,江海新,劉俊峰,李 進(jìn)

    (1.九江學(xué)院 理學(xué)院,江西 九江 332005;2.浙江大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院,工業(yè)控制技術(shù)國家重點實驗室,杭州 310027)

    梯度優(yōu)化算法(Gradient-based optimizer,GBO)[1]是Iman Ahmadianfar、Omid Bozorg-Haddad 等人于2020年提出的一種群體智能優(yōu)化算法.GBO的靈感來自于牛頓法,借助群智能優(yōu)化算法的思想,利用一組向量并結(jié)合梯度搜索規(guī)則(GSR)、局部逃逸算子(LEO)來進(jìn)行搜索.

    GBO概念簡單易實現(xiàn),通過與灰狼優(yōu)化算法(GWO)[2],人工蜂群算法(ABC)[3],鯨魚優(yōu)化算法(WOA)[4]的比較,驗證了GBO具有較好的開發(fā)與探索能力,且在求解減速機(jī)、三桿桁架、工字鋼設(shè)計和懸臂梁等工程問題時性能顯著.GBO算法雖然性能表現(xiàn)卓越,但在解決某些復(fù)雜優(yōu)化問題時仍存在求解精度低、收斂速度慢且易陷入局部最優(yōu)等缺點,因此許多學(xué)者對GBO算法進(jìn)行了不同的改進(jìn)與應(yīng)用.Zhou Wei[5]等提了基于梯度的光伏模型參數(shù)提取優(yōu)化器,利用隨機(jī)學(xué)習(xí)機(jī)制來提高梯度優(yōu)化算法的性能;M H Hassan[6]等將曼塔射線覓食優(yōu)化(MRFO)與基于梯度優(yōu)化器(GBO)混合為MRFO-GBO,MRFO-GBO能有效求解單目標(biāo)和多目標(biāo)EED問題.

    為改善GBO的性能表現(xiàn),MGBO應(yīng)用了交叉算子和反向?qū)W習(xí)兩種策略進(jìn)行改進(jìn).首先對每次迭代前的種群進(jìn)行預(yù)處理,執(zhí)行交叉算子來提高解的質(zhì)量、增強(qiáng)種群多樣性,加快收斂速度;然后對搜索后更新的種群進(jìn)行反向?qū)W習(xí),加強(qiáng)算法逃離局部最優(yōu)的能力,提高算法求解精度.通過對9個測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗對比,結(jié)果表明改進(jìn)算法效果顯著,收斂速度和求解精度得到較大的提升.

    1 基本梯度優(yōu)化算法

    梯度優(yōu)化算法的主要思想是將梯度搜索規(guī)則(GSR)和局部逃逸算子(LEO)相結(jié)合進(jìn)行全局和局部搜索.

    1.1 梯度搜索規(guī)則 (GSR)

    GBO算法從一組隨機(jī)的初始解開始,并根據(jù)指定方向的梯度更新每個個體位置.為了保證算法的探索與開發(fā)能力之間的平衡,采用的ρ1如下:

    ρ1=2×rand×α-α

    (1)

    (2)

    (3)

    rand是[0,1]中的一個隨機(jī)數(shù),βmin=0.2,βmax=1.2,m為當(dāng)前迭代次數(shù),M為總迭代次數(shù),參數(shù)ρ1基于正弦函數(shù)α進(jìn)行更新.因此,GSR可以確定如下:

    (4)

    Δx=rand(1:N)×|step|

    (5)

    (6)

    (7)

    DM=rand×ρ2×(xbest-xn)

    (8)

    ρ2=2×rand×α-α

    (9)

    (10)

    (11)

    ypn和yqn表達(dá)式如下:

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    其中

    定義如下:

    (17)

    1.2 局部逃逸算子(LEO)

    ifrand

    End

    (18)

    f1是在[-1,1]范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),f2是來自均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),pr是概率,u1、u2、u3是三個隨機(jī)數(shù),分別定義為:

    u1=L1×2×rand+(1-L1)

    (19)

    u2=L1×rand+(1-L1)

    (20)

    u3=L1×rand+(1-L1)

    (21)

    (22)

    其中L2是一個二進(jìn)制參數(shù),其值為0或1.如果μ2小于0.5,則L2的值為1,否則為0.

    2 基于交叉算子和反向?qū)W習(xí)的GBO

    針對基本梯度優(yōu)化算法存在的求解精度低、收斂速慢、易陷入局部最優(yōu)等缺陷,MGBO分別從兩個方面進(jìn)行改進(jìn):①利用交叉算子對當(dāng)前種群進(jìn)行處理,能豐富種群的多樣性,提高收斂速度和收斂精度;②通過對當(dāng)前所得解進(jìn)行反向?qū)W習(xí)來擴(kuò)大解的搜索范圍以逃離局部最優(yōu),從而提高求解精度.

    2.1 交叉算子

    曹天問等[7]將兩點交叉算子運用于細(xì)菌覓食算法中,受此啟發(fā),MGBO也采用兩點交叉來進(jìn)行改進(jìn),但又與他們不同,這處理的方式是將要淘汰的一半個體分別與當(dāng)前種群最優(yōu)個體兩兩進(jìn)行交叉,交叉過后所得種群代替即將被淘汰的個體.與原始算法相比這有利于降低時間復(fù)雜度且該過程將優(yōu)質(zhì)基因帶入到當(dāng)前種群,優(yōu)質(zhì)基因的流入提高了種群多性,利于逃離局部最優(yōu),提高求解精度.交叉算子表達(dá)式如下:

    (23)

    2.2 反向?qū)W習(xí)

    反向?qū)W習(xí)(Opposition-based learning,OBL)是Tizhoosh教授在2005年提出來的一種優(yōu)化技術(shù),根據(jù)概率定律,當(dāng)前解有0.5的概率比它的反向解更接近最優(yōu)解,目前反向?qū)W習(xí)已經(jīng)成功運用于果蠅優(yōu)化算法(FOA)[8],粒子群算法(OPSO)[9],差分算法(ODE)[10].

    2.3 基于交叉算子的反向梯度優(yōu)化算法(MGBO)

    MGBO算法流程大致如下:

    Step 1 初始化設(shè)置算法的基本參數(shù).

    Step 2 通過評估函數(shù)求出每個個體的適應(yīng)值,并記下最優(yōu)xbest和最差xworst位置.

    Step 7 對當(dāng)前解的位置信息進(jìn)行越界處理,隨后計算其適應(yīng)度,判斷是否優(yōu)于當(dāng)前記錄中的全局最優(yōu)值,若是,則更新全局最優(yōu)值.

    Step 8 判斷算法是否滿足迭代終止條件,若滿足,則輸出全局最優(yōu)解,否則跳轉(zhuǎn)至Step 3進(jìn)行下次迭代尋優(yōu).

    2.4 算法復(fù)雜度分析

    時間復(fù)雜度是指算法執(zhí)行所需要的計算工作量.在基本梯度優(yōu)化算法中,時間復(fù)雜度主要受到種群規(guī)模nP、最大迭代次數(shù)MaxIt、及問題維度D的影響.由GBO算法尋優(yōu)過程可知其時間復(fù)雜度為O(nP*MaxIt*D+nP).相比GBO算法,MGBO算法在迭代過程中,增加了將種群的一半個體與最優(yōu)個體兩兩進(jìn)行交叉、反向?qū)W習(xí)操作,因此MGBO比GBO多(MaxIt*(nP*3/2+D))次運算量.

    3 實驗仿真及分析

    為了驗證本文提出的MGBO算法的有效性,選取了9個經(jīng)典基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值實驗,并與基本梯度優(yōu)化算法、灰狼優(yōu)化算法、粒子群算法[11]、哈里斯鷹優(yōu)化算法[12]和鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行比較.表1給出了測試函數(shù)的基本信息和相關(guān)參數(shù)設(shè)置,包含單峰、多峰等不同特征的測試函數(shù).表2為每個算法主要參數(shù)設(shè)置.

    表1 測試函數(shù)參數(shù)設(shè)置

    表2 算法主要參數(shù)設(shè)置

    為了降低算法的隨機(jī)性對實驗結(jié)果的影響,我們對獨立運行30次的實驗結(jié)果取平均,其中種群規(guī)模為50、最大迭代次數(shù)為1 100次.表3給出了改進(jìn)算法(MGBO)、梯度優(yōu)化算法(GBO)、灰狼優(yōu)化算法(GWO)、粒子群算法(PSO)、哈里斯鷹優(yōu)化算法(HHO)和鯨魚優(yōu)化算法(WOA)在30維、50 維、100 維三種的情況下搜索得到的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差,其中結(jié)果最好的用粗體顯示.

    表3 不同算法在不同維度下的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差

    實驗環(huán)境為:Windows10 系 統(tǒng),8 GB 內(nèi) 存,CPU 2.00 GHz,算法基于 MATLAB 2016b 用M語言編寫.

    從表3知,無論是30、50、100維MGBO對于5個單峰函數(shù)(f1-f5)都是最優(yōu),特別在求解f1和f3時獲得了理論最優(yōu)值0.對于4個多峰函數(shù)(f6-f9),在30、50、100維上,MGBO在求解f6和f8時都獲得了理論最優(yōu)值0,MGBO雖在f7上無法取到理論最優(yōu)值,但平均值都優(yōu)于其對比算法的平均值,且求解f9函數(shù)時MGB0的結(jié)果都比對比算法要好.因此整體來說MGBO在求解單峰、多峰函數(shù)時都有更好的尋優(yōu)效果與可擴(kuò)展性.標(biāo)準(zhǔn)差可以反映算法的穩(wěn)定性.由表3可知,MGBO獨立運行30次計算的標(biāo)準(zhǔn)差始終不大于對比算法,這說明MGBO對單峰、多峰、低維、高維測試函數(shù)的穩(wěn)定性好.

    表4 MAE算法排名

    可以看出,MGBO排名均為 1,與另外5種算法相比,MGBO提供了最小的MAE,進(jìn)一步證明了MGBO的有效性.

    為了更好地對比六種算法的尋優(yōu)性能,圖1給了它們在不同函數(shù)上50維的收斂曲線,其中橫坐標(biāo)為迭代次數(shù),所有函數(shù)其適應(yīng)度值都取以10為底的對數(shù).

    由圖1(a)-(e)可知,隨著迭代次數(shù)的增加,梯度優(yōu)化算法、灰狼優(yōu)化算法、粒子群算法、哈里斯鷹優(yōu)化算法和鯨魚優(yōu)化算法在單峰函數(shù)上均收斂速度均較慢、無法搜索到理論最優(yōu)值且MGBO的收斂曲線下降最快,速度得到了明顯的提高,這說明引入交叉算子增加了種群多樣性,使得算法加快收斂速度.圖(f)-(i)是多峰函數(shù)平均收斂曲線,MGBO在f6-f9上迭代收斂速度很快,尤其對f6和f8兩函數(shù)最明顯,這說明反向?qū)W習(xí)有效改善算法性能及交叉算子引入優(yōu)質(zhì)基因的作用是突出的.

    圖1 函數(shù)收斂曲線

    4 結(jié)語

    本文對GBO算法中存在早熟性收斂以及陷入局部最優(yōu),提出了一種應(yīng)用交叉算子和反向?qū)W習(xí)的梯度優(yōu)化算法(MGBO).交叉算子的引入可以豐富種群的多樣性,對單峰函數(shù)而言,尋優(yōu)能力和收斂速度得到了明顯的提高;反向?qū)W習(xí)策略是通過評價候選解和反向解的優(yōu)劣來擴(kuò)大搜索空間,對于多峰函數(shù)而言有利于逃離局部最優(yōu)值轉(zhuǎn)向全局最優(yōu)值收斂,加快算法收斂速度.實驗證明,本文的算法不但有效地加快搜尋速度,且提高了解的精度.

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