泊松方程的廣義有限差分方法

李 瑞

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710119)

隨著計(jì)算機(jī)的不斷更新和數(shù)值方法的快速發(fā)展,科學(xué)計(jì)算應(yīng)運(yùn)而生,研究在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的數(shù)值算法的構(gòu)造及其數(shù)學(xué)理論的偏微分方程數(shù)值解得到了前所未有的發(fā)展.科學(xué)計(jì)算融合數(shù)學(xué)建模、數(shù)值算法、軟件研發(fā)和數(shù)值模擬等手段來認(rèn)識(shí)和解決復(fù)雜的具有實(shí)際應(yīng)用背景的科學(xué)工程問題，是計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)其在高科技領(lǐng)域應(yīng)用的必不可少的紐帶和工具.[1]

泊松方程的一般形式為：

它可以描述靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)的分布、穩(wěn)定溫度場(chǎng)、穩(wěn)定濃度場(chǎng)的分布. 在定解問題、定解條件以及解的物理分析教學(xué)過程中增加相關(guān)的工程背景及實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．如針對(duì)解光滑連續(xù)的性質(zhì)，介紹其在圖像處理除噪過程中的應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)其有直觀的印象和更深入的理解．針對(duì)地下油氣水的滲流問題，講授壓力傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出及如何寫出定解條件．通過有針對(duì)性的講授，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力．[2]

1 二維泊松方程的有限差分方法

針對(duì)二維泊松方程，對(duì)矩形區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分如圖1所示.

圖1 矩形網(wǎng)格剖分

記ui±1,j=：u(xi±Δx,yj),ui,j=：u(xi,yj),ui,j±1=：u(xi,yj±Δy),利用Taylor級(jí)數(shù)展開可得偏導(dǎo)數(shù)：

則二維泊松方程的有限差分格式為：

由于差分格式中只出現(xiàn)在u(xi,yj)及其相鄰的四個(gè)點(diǎn)處的值，故稱為五點(diǎn)差分格式.但隨著問題的復(fù)雜，對(duì)擬真性的要求越來越高，傳統(tǒng)的差分方法會(huì)受到計(jì)算區(qū)域邊界形狀及網(wǎng)格剖分的限制.[3]

2 二維泊松方程的有限體積方法

針對(duì)矩形網(wǎng)格剖分和三角形網(wǎng)格剖分，沿著差分方法中微分算子的離散思想，引入原始網(wǎng)格剖分的外心對(duì)偶體，如圖2所示.根據(jù)格林公式

圖2 網(wǎng)格剖分及其外心對(duì)偶體單元

對(duì)二維泊松方程兩邊同時(shí)乘以1，利用格林函數(shù)可得：

若對(duì)偶體是矩形網(wǎng)格，沿其四邊的線積分用中矩形公式替代，可得：

利用一點(diǎn)高斯積分，可得二維泊松方程的有限體積離散格式：

注意到，建立在矩形對(duì)偶體上的數(shù)值格式與五點(diǎn)差分格式完全相同.

可得P0處的有限體積格式：

三角形網(wǎng)格剖分的外心對(duì)偶體受到網(wǎng)格剖分的影響，如一致三角形網(wǎng)格的外心對(duì)偶體是矩形網(wǎng)格，非一致網(wǎng)格剖分有可能構(gòu)造不出來，如鈍角三角形.

3 二維泊松方程的廣義有限差分方法

圖3 三角形單元及其外心對(duì)偶體(左圖)和重心對(duì)偶體單元(右圖)

對(duì)二維泊松方程兩邊同時(shí)乘以1，在對(duì)偶體單元上利用格林函數(shù)可得：

通過數(shù)值積分，可以建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為自由度的代數(shù)方程組，從而把泊松方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題.重心對(duì)偶體對(duì)一致三角形網(wǎng)格剖分、非一致三角形網(wǎng)格剖分和復(fù)雜計(jì)算區(qū)域都有很好的適應(yīng)性，如圖4.

圖4 三角形網(wǎng)格剖分及其重心對(duì)偶體單元

對(duì)于二維泊松方程，從上述可看出：

(1)矩形網(wǎng)格剖分的外(重心)心對(duì)偶體亦是矩形網(wǎng)格，有限體積離散格式等價(jià)于五點(diǎn)差分格式；

(2)三角形網(wǎng)格剖分的外心對(duì)偶體會(huì)受到原始網(wǎng)格剖分的影響，有限體積離散格式可直接利用一點(diǎn)高斯積分公式直接給出；

(3)三角形網(wǎng)格剖分的重心對(duì)偶體具有普遍適用性，有限體積離散格式通過格林公式得到，剛度矩陣可以通過數(shù)值積分得到.

4 結(jié)語

綜上所述，無論是外心對(duì)偶體，還是重心對(duì)偶體，自由度都是定義在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，此類方法可以看作特殊的有限差分方法，稱之為廣義有限差分方法.[6]給出的基于重心對(duì)偶體的有限體積離散格式，同樣適用于傳統(tǒng)有限差分離散格式和基于外心對(duì)偶體的有限體積離散格式.此格式具有形式上的統(tǒng)一性，這有利于學(xué)生們的理解和掌握，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用有限差分方法的興趣．