基于簡化的應(yīng)變梯度理論下Kirchhoff板模型邊值問題的提法及其應(yīng)用*

徐曉建，鄧子辰

（1.長安大學(xué) 公路學(xué)院 特殊地區(qū)公路工程教育部重點實驗室，西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系，西安 710072）

引 言

板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、土木、機械等領(lǐng)域，在幾乎所有工程科學(xué)中廣泛存在.因此，對板結(jié)構(gòu)的經(jīng)典理論力學(xué)的研究一直是前沿課題.然而，隨著科技的快速發(fā)展，尤其是納米技術(shù)的革新，人們發(fā)現(xiàn)，越來越多工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為用經(jīng)典結(jié)構(gòu)力學(xué)理論預(yù)測會得到很大的誤差[1-2].例如，Lam 等[3]的微梁彎曲實驗結(jié)果表明，梁的歸一化剛度與其厚度有密切聯(lián)系；而傳統(tǒng)梁模型的歸一化剛度卻與梁厚度無關(guān).Chen 等[4]研究表明，ZnO 結(jié)構(gòu)的彈性模量具有尺寸效應(yīng).隨著研究的進一步深入，人們發(fā)現(xiàn)，材料所表現(xiàn)出的尺寸效應(yīng)隨著材料/結(jié)構(gòu)尺寸的減小逐漸明顯[5-6].

因此，如何建立能夠準確表征結(jié)構(gòu)/材料尺寸效應(yīng)的力學(xué)模型，近年來一直是力學(xué)工作者研究的關(guān)鍵科學(xué)問題和熱點問題[7].基于此，Wang 等[8-9]采用分子動力學(xué)和力學(xué)模型研究發(fā)現(xiàn)，碳納米管具有尺寸效應(yīng)的波動行為，可由應(yīng)變梯度模型較好地進行預(yù)測.Ansari 等[10]研究了薄板振動問題，并給出了非經(jīng)典板模型與分子動力學(xué)結(jié)果吻合得很好的結(jié)論.Khakalo 等[11]研究了具有三維三角形結(jié)構(gòu)的蜂窩板結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，并利用均勻化方法給出了非經(jīng)典材料參數(shù).王碧蓉等[12]通過修正剪力非局部參數(shù)，研究了雙臂碳納米管的波傳播特性.

近年來，研究者們廣泛關(guān)注板撓度的解析解及數(shù)值解的研究[13-14].然而，基于簡化的應(yīng)變梯度理論的薄板模型的研究還較少.為彌補這一不足，本文提出一種新型薄板理論，并構(gòu)建其邊值問題.以彈性地基板為例，研究了尺寸效應(yīng)參數(shù)對薄板撓度解及自由振動頻率的影響.

1 應(yīng)變梯度理論及Kirchhoff 板模型

1.1 應(yīng)變梯度理論

根據(jù)簡化的應(yīng)變梯度理論[15-16]，體積為V、平面域為 Ω的線彈性體的應(yīng)變能為

式中

分別為應(yīng)變張量和應(yīng)變梯度張量（不失一般性，本文中所用符號均符合張量的符號約定）；高階應(yīng)力張量 τi jk為

其中，l2為表征由于應(yīng)變梯度引起的材料尺度效應(yīng)的參數(shù).

根據(jù)文獻[17]，外力功為

系統(tǒng)的總動能包括經(jīng)典動能和速度梯度引起的動能，即

式中，ρ，l1和分別為體密度、表征速度梯度的材料參數(shù)和速度梯度.

系統(tǒng)的總勢能由動能、應(yīng)變能和外力功三個部分組成，其表達式為

1.2 薄板方程及邊界條件

考慮一各向同性的線彈性均質(zhì)材料，厚度為h，在xOy平面內(nèi)所圍成的平面域為Ω，該域邊界為分段光滑曲線Γ，切線方向為s，外法線方向為n，如圖1所示.規(guī)定n到s的轉(zhuǎn)向與x軸到y(tǒng)軸的轉(zhuǎn)向相同時為正，并且n和坐標(biāo)x的夾角為θ.假定薄板承受一橫向載荷p3、邊界彎矩、 高階邊界彎矩和邊界力的作用，橫向位移為w(x,y).

圖1 板邊界及荷載Fig.1 Boundary conditions and loadings

由薄板的假定，得以下幾何關(guān)系：

本文中，下標(biāo)中的希臘字母僅取x,y.

在平面應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性薄板的本構(gòu)方程為

式中，E，μ和δ 分別為板的彈性模量、Poisson 比和δ 函數(shù).

令Rαβ和Mαβ分別為厚度引起的單位寬度廣義力和經(jīng)典彎矩，定義如下物理量：

則以位移w表示的彎矩為

由式(9)和(10)可知，由厚度引起的廣義力與彎矩存在如下關(guān)系：

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，可以忽略所有帶有z指標(biāo)的應(yīng)力，如 σαz=0.但由式(3)和(8)可知，ηαβz=εαβ,z=?w,αβ≠0.因此，文獻[18]簡單地忽略ηαβz對應(yīng)變能的影響，會產(chǎn)生較大的誤差.

根據(jù)式(1)、(3)和(4)，應(yīng)變能的一階變分為

結(jié)合式(8)和式(13)，并考慮到式(10)中彎矩的定義，可以改寫式(13).隨后對所得方程的指標(biāo)γ 進行一次分部積分后，式(13)最終可改寫為如下三個積分之和：

將指標(biāo)依次代入，式(14)中I1可展開為如下分量形式：

如無特殊說明，本文公式中的偏微分算子 L2僅 作用于彎矩，且L2(·)=1?(·),γγ.

式(15)可通過使用兩次Gauss 散度定理，最后結(jié)果為

令任意函數(shù)f1=f1(x,y)和f2=f2(x,y)，將Stokes 公式

代入式(16)，可將面積分轉(zhuǎn)化為線積分.隨后，利用附錄A 并經(jīng)過繁瑣的推導(dǎo)，得以下線積分表達式：

其中

式中，Qn1，Mnn1和Mns分別為僅考慮x,y影響的非經(jīng)典剪力、法向彎矩和切向彎矩.

利用式(11)，式(18)～(20)可以改寫為直角坐標(biāo)系下xOy的結(jié)果.隨后，利用附錄A，式(18)～(20)可進一步改寫成局部坐標(biāo)系(n, s)的形式，結(jié)果為

式中，[Mns]k為第k個角點的彎矩.

相似地，通過繁瑣的推導(dǎo)，式(14)中I3為

式中

式（23）的第一個等號利用了Stokes 公式，第二個等號利用了附錄A 中的轉(zhuǎn)換關(guān)系和兩次對s的分部積分.

結(jié)合式(17)、(23)和I2，應(yīng)變能式(14)的一階變分為

式中

分別為非經(jīng)典總等效剪力和總法向彎矩.

利用式(21)和(24)，式(26)和(27)可以改寫為如下位移形式：

由式(25)，可知外力虛功的形式為

考慮到式(6)，可得動能在時間間隔[t0,t1]的一階變分為

式中，L1(·)=1(·),γγ.值得一提的是，當(dāng)薄板的位形在初始時刻t=t0和 最終時刻t=t1給定時，式(31)最后結(jié)果中等號右端第二項為零.

利用Hamilton 原理，有

將式(25)、(30)和(31)代入到式(32)并考慮到式(11)，得承受橫向分布載荷下的薄板控制方程為

邊界條件為

顯然，當(dāng)應(yīng)變梯度參數(shù)和速度梯度參數(shù)都取零時，式(33)退化為經(jīng)典薄板的控制方程，式(34)和(35)退化為經(jīng)典薄板的邊界條件，式(36)將自動滿足.對于一般梯度薄板來講，式(34)～(36)給出了光滑平面域內(nèi)的非經(jīng)典邊界條件.當(dāng)不考慮z方向的微分（即令I(lǐng)2=0）和速度梯度影響時，式(33)退化成文獻[18]的結(jié)果.

本小節(jié)將討論工程中常見非經(jīng)典薄板的邊界條件：

(ⅰ)對于周邊固支圓板，其周向撓度和法向轉(zhuǎn)角為零.因此，式(34)給出的經(jīng)典邊界條件為w=0，式(35)給出的經(jīng)典邊界條件為w,n=0.由于邊界高階彎矩不為零，式(36)給出的非經(jīng)典高階邊界條件為w,nn=0.

(ⅱ)對于周邊簡支圓板，其周向撓度和彎矩為零.因此，式(34)給出的經(jīng)典邊界條件為w=0，式(35)給出的經(jīng)典邊界條件為==0.由于邊界存在高階彎矩或法向曲率不為零的情況，式(36)給出的非經(jīng)典高階邊界條件為Mnnn=0或w,nn=0.

對于矩形薄板，以邊界線法向為x軸正向為例，此時有 θ =0，且(n,s)與(x,y)坐標(biāo)系重合.這表明，可以簡單地把邊界條件(34)～(36)中的n,s分別替換為x,y.因此，3 種常見薄板的邊界條件列于表1中.

表1 矩形薄板3 種常見的邊界條件Table 1 Three common boundary conditions (BCs)for a rectangular plate

1.3 角點條件

本小節(jié)將考慮板邊界為分段光滑邊界的角點問題.在推導(dǎo)邊界條件時，角點條件由以下五部分組成.

第一部分由式(17)等號右邊最后一項產(chǎn)生，為

第二部分由I2產(chǎn)生，為

第三部分由式(23)第一個等號右邊第一項產(chǎn)生，為

第四部分由式(23)第一個等號右邊第二項產(chǎn)生，為

第五部分由式(23)第一個等號右邊第三項產(chǎn)生，為

疊加以上五式，得以位移表示的角點條件為

值得一提的是，轉(zhuǎn)化為本文符號后，文獻[18]通過變分原理導(dǎo)出的角點條件為

顯然，文獻[18]中把 δw,s項遺漏了.與文獻[18]不同，本文的創(chuàng)新性體現(xiàn)在以下幾個方面：1)考慮了速度梯度影響，即在總動能式(6)中考慮了含有l(wèi)1的微分項；2)考慮了沿厚度方向的微分對板有效抗彎剛度的貢獻，即考慮了由厚度引起的廣義力方程(12)對板剛度的影響.

2 彈性地基上的周邊簡支矩形板

考慮一放置于彈性地基上的均質(zhì)等厚度各向同性薄板，其長寬高分別為a,b和h，如圖2所示.彈性地基符合Winkler 地基模型，則地基反力為-Kw(x,y)，K為地基剛度系數(shù).

圖2 彈性地基上的周邊簡支矩形板Fig.2 A fully simply supported rectangular plate resting on an elastic foundation

2.1 靜位移分析

首先考慮一承受橫向均布荷載為p的四邊簡支薄板的靜位移問題.此時板的控制微分方程(33)改寫為

撓度可用雙三角級數(shù)表示為

式中，wmn為待求參數(shù)，λm=mπ/a，λn=nπ/b.

均布荷載p可用雙三角級數(shù)表示為

將式(45)和(46)同時代入式(44)，可得wmn的表達式.再將該表達式回代入式(45)，得撓度解為

當(dāng)l2不存在時，上式可退化成經(jīng)典文獻[19]的結(jié)果.

2.2 自由振動分析

其次考慮一周邊簡支薄板的自由振動問題.此時式(33)可改寫為以下頻域方程：

將式(45)代入式(48)，可得板固有頻率解為

如令l1=l2=0，即不考慮應(yīng)變梯度和速度梯度參數(shù)的影響時，式(49)可退化為經(jīng)典結(jié)果[19].

3 結(jié)果和討論

為研究梯度參數(shù)和地基參數(shù)對板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的影響，本節(jié)分別選取板的靜位移和固有頻率進行研究.根據(jù)經(jīng)典板理論，引入以下無量綱化位移及無量綱化固有頻率參數(shù)：

如無特殊說明，板為正方形板，邊長為a，且計算參數(shù)為

3.1 有效性驗證

當(dāng)不考慮地基影響時，Ansari 等[10]利用分子動力學(xué)（MD）的方法研究了zigzag 型方形石墨烯的自由振動頻率問題.為驗證本文模型的有效性，本小節(jié)將對比他們的結(jié)果.文獻[10]中板的計算參數(shù)為

式中，D，ρ，h分別為板的抗彎剛度、體密度和厚度.

將以上材料參數(shù)代入到式(49)，并令m=n=1,K=0，得到擬合函數(shù).利用擬合函數(shù)擬合文獻[10]中的數(shù)據(jù)，得尺寸效應(yīng)參數(shù)為

需要說明的是，式(52)中的材料參數(shù)僅適用于文獻[10]中擬合石墨烯MD 的結(jié)果.對于碳納米管等結(jié)構(gòu)來說，基于應(yīng)變梯度和速度梯度理論的材料參數(shù)l1和l2也可通過類似的方法通過擬合得到，如文獻[20]給出的擬合結(jié)果為l2=0.035 5 nm，l1/l2=2.5.

不失一般性，后文采用式(52)的材料參數(shù)計算.

圖3給出了基頻隨方形板邊長的變化關(guān)系.可以看到，本文結(jié)果與MD 方法得到的結(jié)果吻合得很好，而經(jīng)典薄板解卻不能很好地預(yù)測板振動頻率隨其邊長的變化，尤其當(dāng)邊長a<15 nm 時.同時，當(dāng)不考慮速度梯度影響時（即令l1=0），得到的基頻頻率與文獻[10]中的結(jié)果差異較大.這些間接地證明了本文模型的精確性及在工程實踐中預(yù)測微納米板結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的必要性.

圖3 周邊簡支方形板的基頻與其邊長的關(guān)系Fig.3 The fundamental frequency vs.the side length of a simply supported square plate

3.2 地基剛度參數(shù)的影響

圖4顯示了y=a/2 方形截面上地基參數(shù)對沿x方向位移的影響.由該圖可知，板位移隨著地基剛度參數(shù)的增加而減小，并且跨中取得最大撓度.這表明，地基參數(shù)使板的等效剛度變大.

圖4 地基剛度系數(shù)對周邊簡支方板位移形狀的影響Fig.4 Effects of the foundation stiffness on the displacement of a simply supported square plate for y=a/2

圖5給出了不同地基參數(shù)下板無量綱基頻隨其邊長的變化關(guān)系.由該圖可知，隨著邊長的增加，其無量綱基頻逐漸增大.同時，板的無量綱基頻隨地基剛度參數(shù)的增加而增加.這表明，材料梯度參數(shù)和地基參數(shù)均使板的等效剛度變大.

圖5 地基剛度系數(shù)對周邊簡支方板基頻的影響Fig.5 Effects of the foundation stiffness on the fundamental frequency of a simply supported square plate

3.3 應(yīng)變梯度l2 的影響

圖6和圖7給出了應(yīng)變梯度參數(shù)l2對方形板撓度和基頻的影響.由圖可知，位移隨l2的增大而迅速減小，而基頻卻相反.這表明，l2對板等效剛度有很大的影響，因而在工程應(yīng)用中不可忽略.

3.4 速度梯度l1 的影響

速度梯度參數(shù)l1對方形板撓度和基頻的影響分別如圖8和圖9所示.由圖可知，速度梯度參數(shù)l1對方形板撓度無影響，這可由式(47)進行驗證.隨著l1的增大，基頻越來越小.這表明，l1的增大減少了板的等效剛度，因而在工程應(yīng)用中應(yīng)充分考慮，以得到準確的結(jié)果.

圖8 速度梯度參數(shù)l1 對周邊簡支方板位移形狀的影響Fig.8 Effects of velocity gradient parameter l1 on the displacement of a simply supported square plate for y=a/2

圖9 速度應(yīng)變梯度參數(shù)l1 對周邊簡支方板基頻的影響Fig.9 Effects of velocity gradient parameter l1 on the fundamental frequency of a simply supported square plate

4 結(jié) 論

基于應(yīng)變梯度理論，本文提出了考慮z軸梯度影響下的薄板邊值問題，給出了其變分自洽的角點條件.以周邊簡支薄板為例，研究了承受均布荷載作用下彈性地基板的靜撓度和自由振動頻率.所得結(jié)論如下：

1)本模型可有效捕捉經(jīng)典板模型在預(yù)測其分子動力學(xué)結(jié)果方面的不足.

2)增大地基剛度參數(shù)和應(yīng)變梯度參數(shù)可有效提高板的等效剛度.

3)增大速度梯度參數(shù)則會減少板的等效剛度.

本文得到的板的能量方程及邊界條件問題的提出，不僅對于構(gòu)造其相應(yīng)的數(shù)值方法提供理論依據(jù)，而且對其應(yīng)用于土木結(jié)構(gòu)、機械系統(tǒng)等領(lǐng)域提供一定的參考.

附錄A

圖A1 顯示了(n,s)坐標(biāo)系和(x,y)坐標(biāo)系，以及板邊界Γ，以逆時針為正，x軸正向到n軸正向夾角為θ.則任一函數(shù)對坐標(biāo)x,y和n,s的偏導(dǎo)數(shù)之間存在如下關(guān)系：

圖A1 坐標(biāo)系(x, y)和(n, s)及板邊界ΓFig.A1 Coordinate systems (x, y)and (n, s)at a piecewise smooth plate boundary Γ