一類向量題的探究與思考

王立

原題呈現(xiàn)：已知向量滿足，向量，向量，其中，若，求：最小值.

方法一：知代入轉(zhuǎn)移至可得，所以，

所以最小值為2.

方法二：建系，通過建系找到的坐標(biāo)，代入已知可得，所以最小值為2.

方法三：如圖1可知，所以只需在上投影是即可，如圖可知，所以最小值為2.

用三種方法分析該題，并強(qiáng)調(diào)其幾何意義，這里出現(xiàn)了“等和線”的性質(zhì)特征，爭取利用一節(jié)課讓學(xué)生能夠把這種題型弄明白，掌握“等和線”的優(yōu)點(diǎn)，于是將其進(jìn)行變形：

變式1：已知在平行四邊形OACB中，，，若P在△ABC內(nèi)（含邊界點(diǎn)），求范圍.

該題用三種方法來解決該題，發(fā)現(xiàn)利用坐標(biāo)法時會用到線性規(guī)劃的思想，這也可以考查學(xué)生的知識遷移能力。利用基底法時，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造數(shù)量積的方法也可行，而且利用這種方法學(xué)生可以秒殺這道題，在以往做題時只發(fā)現(xiàn)垂直或外心利用數(shù)量積的比較多。但是可惜這種方法有一定的局限性！利用幾何意義，即“等和線”性質(zhì)時，這題也可以秒殺的（如圖2）。

以上都是與“線”相關(guān)的，那如果是“弧”會怎么樣呢？所以又想到了以下變式：

變式2：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點(diǎn)），求范圍.

同樣也試用三種方法來解決這道題，利用坐標(biāo)法時可以巧妙地利用三角換元（因?yàn)镻在圓弧上），但是在換元時，很多學(xué)生不清楚這個角度有什么幾何意義，不清楚為什么橫坐標(biāo)換為，縱坐標(biāo)換為，這里也正好可以通過該為學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)補(bǔ)漏。利用基底法時仍然可以構(gòu)造數(shù)量積。利用幾何意義“等和線”性質(zhì)時要注意這里的比值不是整數(shù)了，但仍然可行，而且速度比較快！

但是如果改變前面的系數(shù)會是怎么樣呢？所以就有了下面的變式

變式3：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點(diǎn)），求范圍.

這道題重點(diǎn)就是對這個負(fù)號的突破，不難發(fā)現(xiàn)是相反向量，這樣就可以迎刃而解，這里準(zhǔn)備介紹兩種方法，即坐標(biāo)法（三角換元）和幾何法（等和線）.

進(jìn)一步變形：

變式4：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（含邊界點(diǎn)），求范圍.

本題難點(diǎn)就是這個“3”表示什么幾何意義，找到了就突破了，并不是很難.但在用三角換元解本題時發(fā)現(xiàn)無法利用輔助角將其完全的化簡，所以要利用的范圍，及的確定方法，這樣更好地溫習(xí)了輔助角的用法.

在這里突然想到某一年杭州聯(lián)考時有一道大家都認(rèn)為比較難的題，即：

變式5：已知在扇形OAB中，，，若P在弧AB上（不含邊界點(diǎn)），若存在最大值，求范圍.

本題難度比較大，但是利用三角換元，和的范圍，或者等和線又可以很快的解決該題.

“等和線”是向量中的一種特殊題型，利用等和線的性質(zhì)可能更快的解決此類向量問題。