摘 要:直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分。文章基于對直觀想象核心素養(yǎng)內(nèi)容的深入解讀,圍繞構(gòu)建數(shù)形聯(lián)系、借助幾何直觀理解問題、借助圖形描述問題等開展教學(xué)實踐活動探究。教師應(yīng)在教學(xué)過程中做好相關(guān)習(xí)題的優(yōu)選與精講,進一步鞏固學(xué)生所學(xué)知識,深化學(xué)生的理解,進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);直觀想象;核心素養(yǎng);教學(xué)實踐
中圖分類號:G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼:A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號:2095-9192(2022)12-0043-03
引? 言
培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是“立德樹人”的具體體現(xiàn)。其中,直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中占有重要地位。高中數(shù)學(xué)教師基于直觀想象素養(yǎng)開展教學(xué)活動,不但有助于學(xué)生掌握解題的有效思路,而且對學(xué)生核心素養(yǎng)的提升具有重要促進作用。
一、構(gòu)建數(shù)形聯(lián)系
提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識,增強運用數(shù)形結(jié)合思想解答數(shù)學(xué)問題的能力,有助于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。在教學(xué)過程中,教師應(yīng)注重為學(xué)生講解構(gòu)建數(shù)形聯(lián)系的具體思路,如從形到數(shù),可通過構(gòu)建平面或空間直角坐標(biāo)系實現(xiàn);而從數(shù)到形,則可根據(jù)所學(xué)知識繪制對應(yīng)的函數(shù)圖像、平面及立體幾何圖形。為使學(xué)生認識到構(gòu)建數(shù)形結(jié)合聯(lián)系的重要價值,教師可結(jié)合學(xué)生所學(xué)為其講解相關(guān)的例題,促使學(xué)生養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題的良好習(xí)慣。另外,為促使學(xué)生將所學(xué)的理論轉(zhuǎn)化為能力,教師應(yīng)做好訓(xùn)練習(xí)題的設(shè)計,組織學(xué)生開展專題訓(xùn)練活動,提高學(xué)生構(gòu)建數(shù)形聯(lián)系的熟練程度,積累相關(guān)的經(jīng)驗與技巧。如通過以下習(xí)題的訓(xùn)練,教師可使學(xué)生認識到構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系時應(yīng)注重運用題干中的直角關(guān)系,以減少在解題中的運算量[1]。
已知ABCD為梯形,其中∠BAD =∠ABC =90°,
AB = BC =AD,點E為CD的中點,AE和BD交于
點F,設(shè)= x+ y,則x-y = 。
學(xué)生可以將題干中描述的圖形放到平面直角坐標(biāo)系中,將點轉(zhuǎn)化為具體坐標(biāo),實現(xiàn)“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,如此便可將線段之間的關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來,而后通過點的運算及平面向量知識,解出x、y的具體值。需要注意的是,學(xué)生應(yīng)充分運用圖形中的直角關(guān)系構(gòu)建坐標(biāo)系,以降低計算復(fù)雜度,提高計算效率。
二、借助幾何直觀理解問題
幾何圖形本身具有直觀性特點。學(xué)生通過對數(shù)學(xué)問題的認真思考、合理想象畫出相關(guān)的圖形,借助幾何圖形更容易理解問題、解決問題。為提高學(xué)生利用幾何圖形理解、解決問題的能力,教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生做好常見幾何圖形的匯總。這里的幾何圖形既包括從課本中學(xué)到的幾何圖形,也包括在生活中看到、積累的幾何圖形。教師可以要求學(xué)生認真分析一些幾何圖形的特點,在頭腦中存儲清晰的模型,為更好地解決數(shù)學(xué)問題提供依據(jù)。另外,為使學(xué)生學(xué)會運用幾何直觀理解、解決問題,教師應(yīng)注重結(jié)合學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境,并通過多媒體技術(shù)為學(xué)生進行動態(tài)的展示,在增加數(shù)學(xué)課堂趣味性的同時,使學(xué)生更好地掌握分析數(shù)學(xué)問題的技巧,迅速解出正確答案。例如,教師在課堂上可用多媒體技術(shù)為學(xué)生講解如下習(xí)題的解答過程。
已知長方體ABCD-A1B1C1D1中AB、BC、BB1的長分別為6、5、4,則從點A沿表面到點C1的最短距離為 。
求解幾何體表面上兩點間的最短距離一般采用展開方法,借助幾何直觀進行分析。因沿著不同的棱剪開計算的結(jié)果不同,因此,教師可用多媒體課件為學(xué)生展示如下可能的情境。
(1)若沿棱A1B1展開,如圖1所示,則AC1===3;
(2)若沿棱BB1展開,如圖2所示,則AC1===;
(3)若沿棱BC展開,如圖3所示,則AC1===5;
綜上可知,從A點沿表面到點C1的最短距離為3。
該題具有一定代表性,如果對題意理解不清晰,那么很容易漏掉相關(guān)情境,導(dǎo)致出錯。教師借助多媒體技術(shù)為學(xué)生直觀展示沿不同棱展開不同平面時AC1的具體情形,更容易深化學(xué)生的認識,降低學(xué)生的理解難度,啟發(fā)學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中注重幾何圖形的應(yīng)用,找到解決立體幾何問題的正確思路[2]。
三、借助圖形描述問題
借助幾何圖形描述問題屬于直觀想象的范疇。事實上,運用圖形描述問題,化抽象為具體,更容易把握問題的本質(zhì)。為使學(xué)生學(xué)會使用圖形描述問題,為解決問題做好鋪墊,教師應(yīng)要求學(xué)生腳踏實地,牢固掌握基礎(chǔ)知識。高中數(shù)學(xué)中與圖形相關(guān)的知識點有各類函數(shù)的圖像、圓錐曲線、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等。教師可以要求學(xué)生根據(jù)題干描述,充分挖掘隱含在題干中的相關(guān)圖形,通過運用轉(zhuǎn)化思想,運用圖形準(zhǔn)確描述問題。同時,為使學(xué)生認識到運用圖形描述問題的重要價值并靈活應(yīng)用于解題中,教師應(yīng)注重為學(xué)生進行習(xí)題講解。
例題:已知復(fù)數(shù)z = x + yi(x, y∈R),滿足||≤1,
則y≥x -1的概率為 。
由復(fù)數(shù)知識可知z和為共軛復(fù)數(shù),||≤1表示的
是以原點為圓心、半徑為1的圓及其內(nèi)部部分,而y≥
x -1表示的是直線y = x -1右側(cè)的部分。如圖4所示,要求解的問題轉(zhuǎn)化為陰影部分的面積與圓的面積之比。
借助圖形描述問題是直觀想象素養(yǎng)中非常重要的方面。該題基于對復(fù)數(shù)知識的理解,運用復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的圖形,將要求解的問題轉(zhuǎn)化為圖形中面積之間的問題,化抽象為直觀,能優(yōu)化解題思路,使學(xué)生認識到運用圖形描述問題的意義所在,養(yǎng)成運用圖形描述問題的良好習(xí)慣。
四、通過空間想象認識事物
直觀想象素養(yǎng)強調(diào)空間想象的重要性。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為更好地提升學(xué)生的空間想象能力,教師應(yīng)鼓勵學(xué)生聯(lián)系生活中的事物,抽象出相關(guān)事物的輪廓,必要情況下可組織學(xué)生開展相關(guān)的實踐活動,要求學(xué)生使用剪刀、紙片等拼接相關(guān)的立體幾何圖形。同時,教師要注重從不同角度為學(xué)生展示常見立體幾何圖形的模型,給其留下更為深刻的印象。另外,為幫助學(xué)生構(gòu)建平面與立體幾何圖形之間的關(guān)系,深化對立體幾何圖形的認識,教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生所學(xué)的知識,在課堂上設(shè)計相關(guān)問題,要求學(xué)生通過空間想象進行解答。例如,教師可要求學(xué)生解答如下習(xí)題。
如圖5所示,三棱柱ABC-A1B1C1底面為等邊三角形,側(cè)棱AA'和底面ABC垂直,AB=9,AA'=3,在四邊形ABB'A'內(nèi)存在一點P,其到AA'、A'B'的距離均為1。若D為BC上靠近C的四等分點,過點P且與A'D平行的直線交三棱柱于P、Q兩點,則點Q所在的平面為______。
教師可以要求學(xué)生根據(jù)給出的圖形,逐一想象點P的位置。學(xué)生結(jié)合自身經(jīng)驗,經(jīng)過想象可得點Q所在的平面為平面ABC。為驗證學(xué)生想象的結(jié)果,教師可在課堂上運用多媒體技術(shù)為學(xué)生動態(tài)展示,結(jié)果表明學(xué)生的想象是正確的,如此能提高學(xué)生的解題自信心。
通過空間想象認識事物是鍛煉學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的重要方法。該題以立體幾何中的動點為背景設(shè)問,考查學(xué)生對立體幾何各要素空間關(guān)系的認識及熟練程度。分析該習(xí)題能很好地鍛煉學(xué)生的空間想象能力,加深學(xué)生對立體幾何圖形的認識[3]。
五、借助訓(xùn)練積累想象經(jīng)驗
教學(xué)實踐中,教師應(yīng)注重給學(xué)生提供訓(xùn)練機會,使其積累運用直觀想象解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗,一來更好地鞏固所學(xué),二來使其認識到直觀想象在解答數(shù)學(xué)習(xí)題中的重要作用。為獲得預(yù)期的訓(xùn)練效果,教師應(yīng)認真分析學(xué)生已經(jīng)具備的知識,做好訓(xùn)練習(xí)題的優(yōu)選,拓展學(xué)生的視野,讓學(xué)生掌握運用相關(guān)圖形、相關(guān)模型解題的技巧。
例題:已知圓(x-1)2 + (y-2)2 = 1上存在一動點P,O為坐標(biāo)原點,向量在向量=(2,1)方向上投影的最大值為_____。
該習(xí)題是圓與向量知識的結(jié)合題目。解答該題需要充分理解向量投影,結(jié)合題干中給出的已知條件畫出對應(yīng)的圖形,通過分析線段之間的關(guān)系,確定點P的具體位置,然后通過點到直線的距離、兩條直線的交點,找到在向量上投影的長度,而后運用兩點間的坐標(biāo)公式進行解答。
由于圓的方程及向量在已知條件中已經(jīng)給出,學(xué)生可以在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圓及向量。如圖6所示,由圖可直觀地看到當(dāng)過點P的直線剛好和向量所在直線垂直時,在向量方向上的投影最大。由向量不難得出其所在直線的方程為y =x,設(shè)過點P的直線方程為y = -2x + m,由圓的方程(x-1)2 + (y-2)2 = 1可得圓心坐標(biāo)為(1,2),圓的半徑r = 1,點P在圓上,因此,圓心到點P的距離剛好為r,即r = ,解
得m = 4±,由圖可知m = 4 +,則y = -2x + 4 +
,兩條直線的交點為B,聯(lián)立解得xB=(4+),
yB=(4 +),|OB| ==+1。
解決數(shù)學(xué)問題的思路多種多樣,為了有針對性地提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),教師應(yīng)結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗,認真設(shè)計習(xí)題,促使學(xué)生運用相關(guān)圖形理解與解決數(shù)學(xué)問題,使其在更好地把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的同時,提高解題的靈活性。
六、借助總結(jié)提升想象能力
為更好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分認識到總結(jié)的重要性。教師既要注重在課堂上合理安排教學(xué)容量,給學(xué)生留下課堂總結(jié)時間,盡量使其當(dāng)堂消化、吸收所學(xué),又要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成善于總結(jié)的良好習(xí)慣。
例題:將一個正四面體截取四個頂點,形成如圖7所示的八面體,其中四個面為正六邊形,四個面為正三角形。若此八面體所有棱長均為1,則其體積為 。
根據(jù)經(jīng)驗,學(xué)生在解題時可將該八面體補成一個正四面體,其邊長之間的關(guān)系便一目了然,然后使用正四面體的體積減掉減去的體積,便可求出最終結(jié)果。
結(jié)? 語
培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)需要長期堅持,尤其應(yīng)將培養(yǎng)工作貫穿至整個高中階段。為獲得良好的培養(yǎng)效果,教師既要制訂明確的培養(yǎng)目標(biāo),又要對教學(xué)內(nèi)容進行合理的設(shè)計,注重直觀想象素養(yǎng)的融入。另外,教師也應(yīng)做好培養(yǎng)效果的評估,總結(jié)與反思培養(yǎng)過程中遇到的問題,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)水平。
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作者簡介:陳麗美(1984.3-),女,福建莆田人,任教于福建省莆田市莆田哲理中學(xué),中學(xué)一級教師,本科學(xué)歷。