以《函數(shù)的奇偶性》為例探析高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)

【摘要】本文以《函數(shù)的奇偶性》為例，論述高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)途徑，從“初識(shí)概念”“認(rèn)識(shí)概念”“理解概念”“總結(jié)概念”等四個(gè)維度，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行具體闡述，以期達(dá)到提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升及教師專業(yè)水平發(fā)展的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念課 《函數(shù)的奇偶性》 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）02-0135-03

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的奠基石，要想提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必先掌握數(shù)學(xué)概念，以此為基礎(chǔ)展開各種數(shù)學(xué)實(shí)踐。數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)策略研究是為了運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，以此提高學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為其今后的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)概念多且復(fù)雜，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，需要適當(dāng)考慮數(shù)學(xué)概念的發(fā)生過程，創(chuàng)設(shè)并有效依托具體情境，著重關(guān)注抽取概念特征的過程。在從情境中抽取概念內(nèi)涵的過程中，教師要不斷提問、質(zhì)疑，通過言語引導(dǎo)學(xué)生感知概念，讓學(xué)生體驗(yàn)概念產(chǎn)生的過程，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從具體情境感知概念，提高學(xué)生的思維能力。筆者根據(jù)多年來的教學(xué)實(shí)踐，以高中數(shù)學(xué)必修1第二章《函數(shù)的奇偶性》為例，以增強(qiáng)學(xué)生參與和交流為目標(biāo)，探索符合高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求的概念課的教學(xué)目標(biāo)，以期達(dá)到提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升以及教師專業(yè)水平的發(fā)展。下面筆者從“初識(shí)概念”“認(rèn)識(shí)概念”“理解概念”“總結(jié)概念”等四個(gè)維度進(jìn)行闡述，呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)實(shí)施的策略。

一、初識(shí)概念——依托具體情境，獲得初步感知

學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，最好是從實(shí)際生活中的問題開始。教師可以創(chuàng)設(shè)與此概念相關(guān)的情境，提出相關(guān)數(shù)學(xué)問題，再展示與此概念有直接關(guān)聯(lián)或特殊意義的例子，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)概念，獲得初步的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)這個(gè)新概念有初步的理解。在本課例中，筆者先展示與本課數(shù)學(xué)概念緊密聯(lián)系的對(duì)稱的圖片（如圖1所示），而且這些圖片也是生活中比較常見的，利用兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生歸納這些圖片的特征。

問題1：你能找出這一組圖片的共同特征嗎？

問題2：你能找出哪些圖形是軸對(duì)稱或中心對(duì)稱嗎？你能找出對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過生活中常見的例子使學(xué)生感知對(duì)稱，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去觀察生活中的事物，順利地引入課題。

接著，筆者利用平面直角坐標(biāo)系把這些圖片引入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些圖片是關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的。

筆者從之前展示的圖片中，找出一個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形和一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并在平面直角坐標(biāo)系中展示出來，讓學(xué)生注意觀察，分別找出它們的特征，如圖2、圖3所示。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，關(guān)于y軸對(duì)稱，第二個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩種對(duì)稱的圖象在y軸上的射影都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。

設(shè)計(jì)意圖：通過這兩種對(duì)稱，讓學(xué)生感知軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的特點(diǎn)，它們?cè)趚軸上的射影是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，逐步向新課靠近，為新課教學(xué)做好鋪墊，同時(shí)也讓學(xué)生感知這節(jié)新課是與對(duì)稱有關(guān)的。

二、認(rèn)識(shí)概念——自主探索，概括概念

在教學(xué)實(shí)踐中，有部分教師將概念引入課堂就認(rèn)為已經(jīng)完成了這個(gè)概念的教學(xué)，這是錯(cuò)誤的。要想讓學(xué)生有更深入的理解，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索，讓他們自己概括導(dǎo)出概念，從而更深刻地認(rèn)識(shí)概念。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生一起理順概念的脈絡(luò)，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，分析重點(diǎn)、難點(diǎn)等。

在本課例中，學(xué)生已經(jīng)通過之前的學(xué)習(xí)找出了圖片中的對(duì)稱關(guān)系，對(duì)對(duì)稱的概念有了感性認(rèn)識(shí)。接著，筆者通過兩個(gè)具體例子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概念。

教師作出函數(shù)y=x2圖象（如圖4所示），再引導(dǎo)學(xué)生觀察表1，找出函數(shù)的特點(diǎn)。

學(xué)生經(jīng)過觀察，發(fā)現(xiàn)有以下等式成立。

f（-1）=f（1）=1.

f（-2）=f（2）=4.

f（-a）=f（a）=a2.

進(jìn)而猜想：f（-x）=f（x）.

教師作出函數(shù)y=[x]的圖象（如圖5所示），再引導(dǎo)學(xué)生觀察表2，找出函數(shù)的特點(diǎn)。

學(xué)生經(jīng)過觀察，發(fā)現(xiàn)有以下等式成立。

f（-3）=f（3）=3.

f（-2）=f（2）=2.

f（-1）=f（1）=1.

由此猜想：當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)任取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，即f（-x）=f（x），且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，這樣稱這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)。所以y=x2、y=[x]是偶函數(shù)。

以上是從具體函數(shù)來引出偶函數(shù)的概念，下面要從特殊到一般引出偶函數(shù)的概念。經(jīng)過學(xué)生回答及教師補(bǔ)充，得出偶函數(shù)的概念及其特征。

偶函數(shù)概念：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于[?]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），則這個(gè)函數(shù)y=f（x）叫做在D內(nèi)的偶函數(shù)。

同理，得出奇函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于[?]x∈D，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），則這個(gè)函數(shù)y=f（x）就叫做在D內(nèi)的奇函數(shù)。

得出奇偶函數(shù)的概念后，教師再和學(xué)生進(jìn)一步理清概念的脈絡(luò)，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，分析重點(diǎn)、難點(diǎn)，突出思想方法等，很多教師往往忽略這一步而直接進(jìn)入例題講解，造成學(xué)生對(duì)概念理解不清。

筆者帶領(lǐng)學(xué)生理清概念脈絡(luò)，得出如下結(jié)論。

（一）如果一個(gè)函數(shù)y=f（x），x∈D具有奇偶性：它的定義域一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)于[?]x∈D，則-x∈D。

（二）若y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）成立，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若y=f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）成立，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

（三）如果一個(gè)函數(shù)y=f（x），x∈D具有奇偶性，那么這個(gè)函數(shù)y=f（x），x∈D是奇函數(shù)或偶函數(shù)，是函數(shù)的整體性質(zhì)。

（四）一個(gè)函數(shù)y=f（x），x∈D可以既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，也可以不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，簡(jiǎn)稱為非奇非偶函數(shù)。

這樣，學(xué)生進(jìn)一步明確函數(shù)奇偶性的概念，不論從數(shù)學(xué)符號(hào)的角度，還是從圖象的角度，都有了清晰的認(rèn)識(shí)，消除了心中疑慮。

三、理解概念——借助實(shí)戰(zhàn)演練，論證概念

學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念之后，需要理解這個(gè)概念。筆者認(rèn)為，教師借助實(shí)戰(zhàn)演練，與學(xué)生合作探究論證概念，是一個(gè)很奇妙的過程，師生均可以感受到這個(gè)概念產(chǎn)生、解決問題的過程，從而感受科學(xué)探究帶來的成就感。

借助實(shí)戰(zhàn)演練具體來說就是通過與此概念相關(guān)的具數(shù)學(xué)實(shí)例進(jìn)行練習(xí)，進(jìn)一步理解和鞏固數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延。應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決生活生產(chǎn)中的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目標(biāo)，也是一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在此過程中，最好能讓學(xué)生先體驗(yàn)，找到方法和易錯(cuò)點(diǎn)，師生再共同總結(jié)這個(gè)環(huán)節(jié)是否成功，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高學(xué)生的解題能力。

在本課例中，通過前面學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)深刻認(rèn)識(shí)了函數(shù)奇偶性概念，接下來筆者與學(xué)生一起論證概念，主要是通過例題講解和練習(xí)，一共有兩種題型：題型一是用定義判斷下列函數(shù)的奇偶性，師生共同完成，并總結(jié)解這一類題型的步驟，即一看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二計(jì)算f（-x）=±f（x）是否成立，三判斷函數(shù)的奇偶性，得出結(jié)論;題型二是根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的奇偶性，主要考查圖象對(duì)稱性及定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

四、總結(jié)概念——基于已有認(rèn)知，鞏固概念

高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行概念課教學(xué)時(shí)，還應(yīng)在一個(gè)章節(jié)教學(xué)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生基于已有認(rèn)知，理順知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，建立概念間的聯(lián)系，組織和更新已學(xué)過的概念，使已學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，進(jìn)一步鞏固概念，從而實(shí)現(xiàn)將課本中的知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨淼哪芰Γ瑢?shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與應(yīng)用，為提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。另外，教師除引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例鞏固外，還可以通過反例、錯(cuò)解等引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，這樣的教學(xué)對(duì)鞏固數(shù)學(xué)概念也有很大的幫助。

本課例中，在完成例題及練習(xí)后，師生共同小結(jié)，學(xué)生講述，教師補(bǔ)充，獲得結(jié)果如表3所示。

在本課例的最后，教師可以與學(xué)生一起進(jìn)行反思，達(dá)到鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)概念目的。

第一，本節(jié)課的重點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的概念及對(duì)函數(shù)奇偶性的判定。對(duì)剛進(jìn)入高中的新生來說，由于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更注重具體數(shù)學(xué)運(yùn)算，因而他們的數(shù)學(xué)邏輯推理能力較弱，很多高一學(xué)生還弄不清代數(shù)形式的證明。因此，本課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的證明。教學(xué)的關(guān)鍵是通過具體生活情境，結(jié)合直觀的圖形，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槔硇哉J(rèn)識(shí)，真正掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

第二，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是這個(gè)函數(shù)具有奇偶性的必要條件，在判定函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先應(yīng)該求出函數(shù)的定義域。

至此，才算完成函數(shù)奇偶性概念的講解：從生活中的情境找出對(duì)稱圖象，在直角坐標(biāo)系中展示圖片，得出對(duì)稱關(guān)系;再從特殊函數(shù)引出關(guān)系，得出一般的函數(shù)奇偶性概念;最后歸納總結(jié)，鞏固概念，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，獲得解題的一般方法。

高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)方法多種多樣，但是其教學(xué)目標(biāo)是一致的，即要通過教學(xué)使學(xué)生明確以下內(nèi)容：第一，要明確高中數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生背景、發(fā)展過程及形成名稱，此概念主要討論的對(duì)象是什么，不能模棱兩可;第二，概念中有哪些規(guī)定和限制的條件;第三，概念表述的語言有何特點(diǎn);第四，用數(shù)學(xué)符號(hào)如何表達(dá)，與其他概念比較，有沒有容易混淆的地方，應(yīng)當(dāng)如何加以區(qū)別;第五，此概念有沒有等價(jià)的表述，是怎樣表述的;第六，運(yùn)用此概念能解決哪些實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。

本文以《函數(shù)的奇偶性》概念課教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)合理的情境，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，在潛移默化中培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)中，教師要選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，創(chuàng)造性地使用教材，激發(fā)學(xué)生的興趣愛好，使其愛上數(shù)學(xué)，最終達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的目的，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素質(zhì)的提升以及教師專業(yè)水平的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]趙應(yīng)東.高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的幾點(diǎn)建議[J].讀書文摘，2015（24）.

[2]黃廷聰.高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2014（22）.

[3]張葉玲.高中數(shù)學(xué)課函數(shù)奇偶性教學(xué)分析[J].新教育時(shí)代電子雜志（教師版），2018（38）.

[4]段賽花.“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)設(shè)計(jì)：高中數(shù)學(xué)概念課變式研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（9）.

[5]鐘建芳.淺析提升高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)效的策略[J].課堂內(nèi)外（高中教研），2021（8）.

[6]侯木蘭.以“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)為例談概念教學(xué)中的直觀與抽象[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（7）.

作者簡(jiǎn)介：江妙浩（1977— ），廣西南寧人，碩士研究生，一級(jí)教師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 劉小瑗）