ZP-V′-環(huán)

魯 琦， 趙玉梅

( 蚌埠學院 數(shù)理學院， 安徽 蚌埠 233030)

0 引言

本文中，Zl(Zr)表示環(huán)的左(右)奇異理想，J表示Jacobson根，對任意a∈R,l(a)表示環(huán)R的左零化子.文中用到的數(shù)學符號及其含義同文獻[1].自P-內(nèi)射模(環(huán))[1]被引入以來，出現(xiàn)了不少推廣形式，被用來研究環(huán)的非奇異性、半本原性以及von Neumann正則性[2-6].文獻[2]將P-內(nèi)射模推廣為ZP-內(nèi)射模(Z-Principally injective module)，對其進行等價刻畫，研究其和非奇異環(huán)的關系，并引入了ZP-內(nèi)射環(huán)的概念.稱環(huán)R是左ZP-內(nèi)射環(huán)[2]，若對任意a∈Zl,任意Ra到R的左R-同態(tài)可延拓為R的自同態(tài).文獻[7]研究了每個單奇異模都是P-內(nèi)射的環(huán)的非奇異性.本文借助ZP-內(nèi)射模將文獻[7]中概念弱化，引入ZP-V-環(huán)和ZP-V′-環(huán)的概念，證明了左ZP-V-環(huán)是右非奇異的.將文獻[7]中關于P-V-環(huán)的相應結(jié)果做了推廣.文中研究ZP-內(nèi)射的ZP-V′-環(huán)的非奇異性，及有限條件下的ZP-V′-環(huán)的非奇異性，證明了左零化子滿足DCC條件的左ZP-V′-環(huán)是左非奇異的.此外，將文獻[7]中關于P-V′-環(huán)的某些結(jié)果推廣到了ZP-V′-環(huán).

1 主要結(jié)果

定義1若每個單左R-模是ZP-內(nèi)射的，則稱R為左ZP-V-環(huán).

命題1若R是左ZP-V-環(huán)，則R是右非奇異環(huán).

證明設存在0≠a∈Zr.容易看出l(a)≠R.若RaR+l(a)≠R,則存在M為R的極大左理想，使RaR+l(a)?M.因此R/M是單左R-模.對任意的r∈R,定義左R-同態(tài)

若ra=0,則r∈l(a)?M,容易驗證f是左R-同態(tài).于是存在b∈R,使得1+M=f(a)=ab+M,進而推出1-ab∈M.由ab∈RaR?M可得1∈M,此與M的極大性矛盾.故RaR+l(a)=R,因此RaRa=Ra.于是存在c∈RaR,使a=ca.因為c∈RaR?Zr,所以r(c)是本質(zhì)右理想，故r(c)∩aR≠0.于是存在d∈R,使ad≠0,且cad=0,再由a=ca可得ad=0,矛盾.因此R是右非奇異環(huán).

定義2若每個單奇異左R-模是ZP-內(nèi)射的，則稱R為左ZP-V′-環(huán)(Z-Principally-V′-ring).

引理1[5]若Zl(Zr)是約化的，則Zl=0(Zr=0).

定理1設R是左ZP-V′-環(huán)，若R的極大本質(zhì)左理想均是R的理想，則R是左非奇異環(huán).

證明設存在0≠a∈Zl,a2=0.則l(a)是R的本質(zhì)左理想.若Ra+l(a)≠R,則存在極大本質(zhì)左理想M,使得Ra+l(a)?M.類似命題1的證明，對任意的r∈R,可定義左R-同態(tài)

由R是左ZP-V′-環(huán)，可得1-ab∈M,其中b∈R.由于M是R的理想，所以ab∈M,故1∈M,與M是極大左理想矛盾.因此Ra+l(a)=R.于是存在c∈R,d∈l(a),使ca+d=1.故可得a=ca2=0,矛盾.故Zl約化.因此由引理1可知R是左非奇異環(huán).

定理2若R是左ZP-內(nèi)射的左ZP-V′-環(huán)，則R是右非奇異環(huán).

證明設存在0≠a∈Zr.由文獻[7]定理3的證明可知，存在左理想K,使RaR+l(a)⊕K是R的本質(zhì)左理想.

若RaR+l(a)⊕K≠R,則存在極大本質(zhì)左理想M,使RaR+l(a)⊕K?M.對任意的r∈R,容易定義左R-同態(tài)

由R是左ZP-V′-環(huán)，可得1-ab∈M,其中b∈R.又因為ab∈RaR?M,所以1∈M,矛盾.因此RaR+l(a)⊕K=R.

于是存在0≠e=e2∈R,使RaR+l(a)=Re,K=R(1-e).故可知存在c∈RaR,d∈l(a),使e=c+d,進而可推出ea=ca.若ea≠0,考慮到c∈RaR?Zr,可知r(c)是本質(zhì)右理想，從而r(c)∩eaR≠0.于是存在u∈R,使得eau≠0,且ceau=0.由c∈RaR?Re,得eau=cau=ceau=0,矛盾.故ea=0,e∈l(a).而l(a)?Re,故l(a)=Re.

由R是左ZP-內(nèi)射環(huán)，可得aR=rl(a)=r(Re)=(1-e)R?Zr.于是可得1-e∈Zr.但Zr不含非零冪等元，故1-e=0,即e=1.從而a=ea=ca.

由于r(c)是本質(zhì)右理想，故r(c)∩aR≠0.于是存在v∈R,使av≠0,且cav=0.故可得av=cav=0,矛盾，從而可得Zr不含非零元.因此R是右非奇異環(huán).

引理2[6]若R是左AJGP-內(nèi)射環(huán)，則J?Zl.

定理3若R是左AJGP-內(nèi)射的左ZP-V′-環(huán)，則R是半本原環(huán).

證明對?0≠a∈J,由引理2可知a∈Zl.類似定理2的證明，可得RaR+l(a)⊕K=R.于是存在0≠e=e2∈R,使RaR+l(a)=Re,進而存在b∈RaR,使得ba=ea.由于b∈RaR?Re,故可得ea=ba=bea,進而推出(1-b)ea=0.再由b∈RaR?J,得1-b可逆，故ea=0.因此e∈l(a),從而推出Re?l(a).而l(a)?Re,故Re=l(a).此與l(a)是R的本質(zhì)左理想矛盾，故R是半本原環(huán).

推論1若R是左AGP-內(nèi)射的左ZP-V′-環(huán)，則R是左非奇異環(huán).

證明易知左AGP-內(nèi)射環(huán)是左AJGP-內(nèi)射環(huán)，再由[8]可知Zl=J.由定理3，R是左非奇異環(huán).

由文獻[9]知，若左零化子降鏈是有限的，則稱環(huán)R滿足左零化子DCC條件.

定理4若R是滿足左零化子DCC條件的左ZP-V′-環(huán)，則R是左非奇異環(huán).

證明若Zl≠0,則由環(huán)R滿足左零化子DCC條件可知，Ω={l(x)|0≠x∈Zl}有極小元.假設l(a)為極小元.若RaR+l(a)≠R,則存在極大左理想M,使RaR+l(a)?M.因為l(a)是本質(zhì)左理想，所以M是極大本質(zhì)左理想，從而可得R/M是單奇異左R-模.對任意的r∈R,容易定義左R-同態(tài)

于是存在b∈R,使得1+M=f(a)=ab+M,從而1-ab∈M.由于ab∈RaR?M,故可得1∈M,矛盾，因此RaR+l(a)=R.故存在0≠c∈RaR?Zl,使a=ca.進而可得l(c)?l(ca)=l(a).由l(a)的極小性，可知l(c)=l(a).

由l(a)是本質(zhì)左理想，可得l(a)∩Rc≠0,故存在d∈R,使dc≠0,且dca=0.進而可推出d∈l(ca)=l(a)=l(c),故可得dc=0,矛盾.因此R是左非奇異環(huán).

定義3[10]若a,b∈R且ab=0,則ba=0,則稱R是ZC環(huán).

定理5設R是左ZP-V′-環(huán)，若R是ZC環(huán)，則R是左非奇異環(huán).

證明只需證Zl約化.設存在0≠a∈Zl,a2=0.類似定理4的證明，可得RaR+l(a)=R.于是存在b∈RaR,c∈l(a),使b+c=1.故a=ba①.由b∈RaR?Zl,可得l(b)是本質(zhì)左理想，故l(b)∩Ra≠0.因此存在ca≠0,使cab=0 ②.

由①可得(1-b)a=0,再由條件R是ZC環(huán)，可得a(1-b)=0,故a=ab.再由②可得ca=cab=0,與ca≠0矛盾，故Zl約化，定理得證.

命題2設R是左ZP-V′-環(huán)，若對任意a∈Zl,l(a)?l(a2)?…是有限的，則R是左非奇異環(huán).

證明設存在0≠a∈Zl.此時l(a)是本質(zhì)左理想，且l(a)≠R.故存在極大本質(zhì)左理想M,使l(a)?M.對任意的r∈R,可以定義左R-同態(tài)

于是存在b∈R使得1-ab∈M.

對任意0≠x∈Zl,由l(x)是本質(zhì)左理想，可得l(x)∩Rx≠0.故存在yx≠0,使yx2=0,因此l(x)?l(x2).若x2≠0,則由l(x)是本質(zhì)左理想，可得l(x)∩Rx2≠0,類似前面的證明，可得l(x2)?l(x3).故l(x)?l(x2)?l(x3).繼續(xù)下去，可得升鏈

l(x)?l(x2)?l(x3)?…

由條件可知，上述升鏈是有限的，故存在正整數(shù)m,使xm=0.從而可得Zl詣零，因此Zl?J.由于a∈Zl,故可得ab∈Zl?J?M.從而1∈M,與M的極大性矛盾.因此R是左非奇異環(huán).