高中數(shù)學(xué)解題后反思的對(duì)話教學(xué)

姚友升

(福建省閩清縣第一中學(xué) 350800)

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分教學(xué)中應(yīng)注重課堂的合理安排，尤其在解題教學(xué)中應(yīng)注重給學(xué)生預(yù)留一定的反思時(shí)間，并圍繞問(wèn)題和學(xué)生積極互動(dòng)，營(yíng)造活躍數(shù)學(xué)課堂的同時(shí)，使學(xué)生的反思更加有深度，給其以后的解題帶來(lái)更好指引，給學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展帶來(lái)更好引領(lǐng).

例1 已知函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

1 對(duì)話引領(lǐng)反思，提高教學(xué)實(shí)效

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)不能盲目追求講授試題的數(shù)量，而是追求學(xué)生四基四能的多點(diǎn)提升.教師應(yīng)該圍繞已解決試題設(shè)計(jì)有效的對(duì)話引領(lǐng)，觸發(fā)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，把對(duì)話導(dǎo)向與學(xué)生的原認(rèn)知進(jìn)行對(duì)接，促進(jìn)學(xué)生對(duì)思維活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行沉淀與反思，使學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)奠定發(fā)展的基礎(chǔ)，使教學(xué)建立在豐富多彩、高效的基礎(chǔ)上.

反思問(wèn)題一：函數(shù)f(x)表達(dá)式中帶有字母該怎么處理？

師：上述題目中沒(méi)有字母，直接求導(dǎo)后，通過(guò)判斷f′(x)和0的大小找到其單調(diào)區(qū)間不難判斷出其極值.若題目中帶有字母該如何判斷其單調(diào)性呢？

生：求導(dǎo)后看字母是否影響導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的判定，若影響結(jié)論判定則需要進(jìn)行分類(lèi)討論.

展示如下習(xí)題，

師：導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)與a有何聯(lián)系？該如何繼續(xù).

生1：考慮a的正負(fù)情況.

師：邊界值a=0與a=1該如何處理？

教師通過(guò)對(duì)話與學(xué)生進(jìn)行思維交流，引領(lǐng)反思深化數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生結(jié)合對(duì)話進(jìn)行整合，不難得到分a≤0，01四種情況解答；

①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

這就使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加深入，學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展更加深化，解題教學(xué)活動(dòng)的收獲更具實(shí)效性.

2 對(duì)話引領(lǐng)反思，促進(jìn)思維發(fā)散

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過(guò)程，動(dòng)態(tài)的思維建構(gòu)離不開(kāi)師生的思維交流，思維的互動(dòng)通常是將對(duì)數(shù)學(xué)的理解以對(duì)話活動(dòng)的形式進(jìn)行.因此，新課標(biāo)非常重視學(xué)生的活動(dòng)參與體驗(yàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注重學(xué)生的思維過(guò)程，而且要注意學(xué)生思維的個(gè)體差異，培養(yǎng)其從不同角度看問(wèn)題的能力.因此，教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反思時(shí)應(yīng)該關(guān)注思維之間內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散以及遷移.

反思問(wèn)題二：求導(dǎo)后無(wú)法求出f′(x)=0時(shí)x的值怎么判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間？

教師：通過(guò)上述習(xí)題的解答，我們知道當(dāng)函數(shù)f(x)帶有參數(shù)，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行討論.上述習(xí)題能夠求出當(dāng)f′(x)=0時(shí)x的值，也就容易判斷其在區(qū)間上的單調(diào)性.但如果求導(dǎo)后無(wú)法直接求出f′(x)=0時(shí)x的值，該怎么辦？

生：繼續(xù)探討導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.

師：該怎么探討呢？

生：對(duì)求導(dǎo)后的結(jié)果繼續(xù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)比二次求導(dǎo)后的結(jié)果和0的關(guān)系進(jìn)行判斷.

師：很好，請(qǐng)看下題：

例3 已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0，a≠1)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解析由f(x)=ax+x2-xlna(a>0，a≠1)，知函數(shù)定義域?yàn)镽，則f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna

生：此時(shí)無(wú)法判斷f′(x)和0的關(guān)系.看似無(wú)法繼續(xù)作答，此時(shí)可換個(gè)思路，問(wèn)題也就迎刃而解.

令g(x)=f′(x)=2x+(ax-1)lna，

∵a>0，a≠1，∴g′(x)=2+axln2a>0，表明f′(x)是R上的增函數(shù).又∵f′(0)=0，因此，可知當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，f′(0)<0，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f′(0)>0，因此，函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

可見(jiàn)抓住思維角度的內(nèi)在聯(lián)系設(shè)計(jì)對(duì)話反思，引領(lǐng)學(xué)生遷移思維方向，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單自然，整個(gè)過(guò)程不僅解決了一道題、一類(lèi)題，也有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3 對(duì)話引領(lǐng)反思，深化數(shù)學(xué)體驗(yàn)

要提高反思的實(shí)效性，構(gòu)建充滿(mǎn)生命活力的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)讓學(xué)生們?cè)趲熒鷮?duì)話的驅(qū)動(dòng)下，不自覺(jué)的強(qiáng)化課堂反思，從中獲得完善的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，獲得牢固清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)情感.因此，我們不妨挖掘解題活動(dòng)中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，以對(duì)話的方式進(jìn)行課堂反思，讓學(xué)生在活動(dòng)中深化自身的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，有效的發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

反思問(wèn)題三：若函數(shù)在某區(qū)間是單調(diào)的，該如何求解參數(shù)取值范圍？

師：我們學(xué)習(xí)了怎樣運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.如果知道函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)的，我們?cè)撛鯓忧蠼鈪?shù)的取值范圍呢？

生：該習(xí)題和上述習(xí)題相比設(shè)問(wèn)剛好相反，可根據(jù)條件中的單調(diào)區(qū)間，確定導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化進(jìn)行作答.

師：很好.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下該如何解答如下題目：

師：g(x)=-x3在(-∞，+∞)上為減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間恒小于0嗎？

生：導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間恒小于或等于0.

教師在對(duì)話中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，在引導(dǎo)思維的同時(shí)也讓學(xué)生有愉悅的情感體驗(yàn).心理學(xué)認(rèn)為人們的創(chuàng)造性和情感有密切關(guān)系，且情感具有強(qiáng)化、維持的作用.良好的情感體驗(yàn)對(duì)其思維能力的激發(fā)和培養(yǎng)有密切的關(guān)系，這讓學(xué)生有十足的勁頭，效率也會(huì)大大提高，甚至能發(fā)揮出不可取代的作用.這樣的反思引領(lǐng)既能暴露思維誤區(qū)獲得知識(shí)情感體驗(yàn)，又能鍛煉學(xué)生的逆行思維.

學(xué)生受到認(rèn)知能力的限制，沒(méi)有解題后反思的習(xí)慣也不明了反思的方向，平時(shí)也就做做錯(cuò)題訂正，熱衷于做大量題，這樣無(wú)法扭轉(zhuǎn)錯(cuò)誤的思維定勢(shì)，也無(wú)法掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，就無(wú)法發(fā)揮習(xí)題應(yīng)有的功能.通過(guò)對(duì)話引領(lǐng)反思，學(xué)生在對(duì)自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的充分反思中深化對(duì)知識(shí)的理解，體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，并在充分參與有效探索過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)的多維聯(lián)系.

導(dǎo)數(shù)教學(xué)中以簡(jiǎn)單的例題切入，并圍繞例題設(shè)計(jì)反思問(wèn)題，在課堂上與學(xué)生積極開(kāi)展對(duì)話活動(dòng)，既激活了數(shù)學(xué)課堂，又驅(qū)使學(xué)生不斷的進(jìn)行深入的思考，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的作用有個(gè)更為全面、深入的認(rèn)識(shí)與理解.同時(shí)，與學(xué)生對(duì)話后緊跟典型習(xí)題，要求學(xué)生思考作答，使得學(xué)生掌握不同題型的解題思路，能很好的促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)一步提升，達(dá)成學(xué)科核心素養(yǎng)多向多樣提升.