一類復(fù)合隨機(jī)變量概率分布的說明

徐 懷

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

0 引言

復(fù)合隨機(jī)變量在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在各種風(fēng)險模型中，一般以復(fù)合隨機(jī)變量來刻畫索賠過程或收入過程[1-6].在排隊模型中，復(fù)合隨機(jī)變量用來描述等待時間和服務(wù)時間[7-9].復(fù)合隨機(jī)變量概率分布自然也就成為一個中心議題.本文將以卷積公式為基礎(chǔ)，在連續(xù)型隨機(jī)變量情形下，給出概率密度函數(shù)的積分公式，在離散型的情形下給出概率分布列的迭代公式，這個迭代公式為實際應(yīng)用奠定了堅實基礎(chǔ).考慮到實際應(yīng)用的問題，最后本文給出一個把連續(xù)型隨機(jī)變量離散化得出復(fù)合隨機(jī)變量近似分布函數(shù)的數(shù)值例子.

下面首先給出相關(guān)定義.

可以證明除退化分布外，此類分布包含且僅包含泊松分布、二項分布、負(fù)二項分布，這些分布在精算領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用[10-11].

為完成主要結(jié)論的說明，先聲明如下簡單事實：

類似地，當(dāng){Xi，i≥1}是非負(fù)整數(shù)離散型隨機(jī)變量，其概率分布列記為fi=P(X1=i)，則有類似2個結(jié)論：

1 離散型情形下概率分布列的迭代公式

證明：

下證gi，i≥1.

所以

(1)

(2)

(3)

分解式(3)中的第二和第三項得

(4)

分解式(4)的第一項，分別與第三項和第五項合并得

(5)

分別合并式(5)的第一和第三項，第二和第四項得

(6)

2 連續(xù)型情形下概率密度函數(shù)的積分公式

證明：

首先對概率密度函數(shù)應(yīng)用全概率公式得

(7)

交換積分和求和的順序，得

整理得

3 數(shù)值例子

本文需要指出的是，在實際應(yīng)用中，定理1的應(yīng)用比定理2的應(yīng)用更為廣泛，因為通過定理2給出解析解是比較困難的，而定理1卻沒有這樣的困難，所以若Xi是非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量，本文考慮將其離散化[12-14]，然后給出復(fù)合隨機(jī)變量的分布函數(shù)的近似表達(dá)式.在這一節(jié)中將詳細(xì)討論.

設(shè)非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量Xi的密度函數(shù)為f(x)，首先考慮2個隨機(jī)變量Xd，Xu，其取值為

這樣有FXu(x)≥FXi(x).

P(Xd=0)=0，

這樣有FXl(x)≤FXi(x).

圖1 Xd，Xu，Xi的分布函數(shù)

圖和的分布函數(shù)

4 小結(jié)

復(fù)合隨機(jī)變量有著廣泛的應(yīng)用，文中考慮了當(dāng)計數(shù)過程是(a，b，0)分布類且Xi為非負(fù)隨機(jī)變量時復(fù)合隨機(jī)變量概率函數(shù)的迭代公式、積分公式，以及近似計算方法等問題，最后結(jié)合數(shù)值例子加以闡釋.本文希望這樣的討論能對解決類似問題提供有益的思路.