數(shù)學模型視角下的“正比例圖像”教學

江蘇省無錫市新洲小學 顧麗英

本文以蘇教版數(shù)學六年級下冊“正比例圖像”一課教學為例，在數(shù)學模型視角下，從不同角度創(chuàng)設(shè)情境，讓學生從感知平面坐標系模型到感受數(shù)的二維表達方式，再到感悟平面坐標系模型的形成過程，從中學會從數(shù)學的角度分析問題、解決問題，從而達到架構(gòu)數(shù)學新知結(jié)構(gòu)、提高數(shù)學思維能力的目的。

一、親歷畫圖，在由“數(shù)”到“型”的演繹中建立正比例圖像模型

學生的“已有經(jīng)驗”在學生的認知過程中起著非常重要的作用。在教學中，教師要充分了解學生原有的生活經(jīng)驗及數(shù)學知識基礎(chǔ)，要采取各種有效的手段喚醒學生已有的經(jīng)驗儲備，并在這個基礎(chǔ)上引導學生建立數(shù)學模型。對于小學生來說，關(guān)于數(shù)學知識的學習大多數(shù)建立在已有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上。在實際教學中，教師要善于捕捉學生的生活經(jīng)驗中有利于學生學習新知的素材，然后以此為資源創(chuàng)設(shè)情境，讓學生自主學習。這樣，教師就能夠幫助學生順利建模。

小學階段，教材中對于“正比例”的概念是用具體的實例來進行描述的。其中蘊含了函數(shù)概念的兩個重要特征：第一，兩個變量是相互聯(lián)系的，一個變化時，另一個也隨之變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值也就唯一確定。因此，在“正比例圖像”一課的教學中，教師必須關(guān)注以下三點：（1）在一個變化的過程中，有兩個變量；（2）這兩個變量存在一定的關(guān)系；（3）這兩個變量存在單值對應關(guān)系。從學生的認知特點出發(fā)，教師可以選取典型的具體實例，再由數(shù)到形，帶領(lǐng)學生進行自主探索，引導歸納、概括等活動。

（一）運用生活實例情境，引導學生感受數(shù)的二維表達方式

師：同學們，看！“水漲船高”這個詞語你們見過嗎？誰愿意來分享一下你的理解？

生：水位升高，船只就會隨著抬高。這是生活中兩個相關(guān)聯(lián)的事物的實例。

師：其實，數(shù)學中也有這樣的例子，兩個相關(guān)聯(lián)的量，比如路程和時間，你能說說它們之間的關(guān)系嗎？

生：時間越長，路程就越長。

師：你能舉個例子嗎？

生：比如速度為每小時80千米的汽車，行駛1小時，路程是80千米；行駛2小時，路程是160千米；行駛3小時，路程是240千米……

[出示幾組路程與時間相對應的比，算出比值，引導學生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)比值不變。

路程/時間=速度（一定），得出結(jié)論：行駛路程和時間成正比例關(guān)系]

生：比如購買單價為20元的筆記本，購買1本，總價是20元；購買2本，總價是40元；購買3本，總價是60元……

[舉例幾組相對應的總價與數(shù)量的比，求出比值，通過比較同樣可以發(fā)現(xiàn)，比值不變。

總價/數(shù)量=單價（一定），得出結(jié)論：總價和數(shù)量成正比例關(guān)系]

師（小結(jié)）：兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們的比值一定，我們就說這兩種量成正比例關(guān)系。

（二）運用趣味故事情境，引導學生抽象平面坐標系模型

師：我們已經(jīng)從“數(shù)”的角度（見表1）研究了正比例的意義，其實，我們還可以從“形”的角度來研究這個正比例關(guān)系。

表1

師：我們知道，數(shù)學中的每一個數(shù)都可以在數(shù)軸上找到相對應的位置點。比如，在這條數(shù)軸上，我們可以這樣表示 1、2、3、4、5、6、7、8 小時。（見圖 1）

圖1

師：那么，我們剛才研究的表格里每列里的兩個數(shù)能在這樣的數(shù)軸上用一個點來表示嗎？

生1：用一條數(shù)軸表示，似乎有點不清晰。

生2：我們能從兩個維度來思考嗎？好像有點難度。

師：著名的數(shù)學家笛卡兒小時候也遇到了這樣的難題，我們來看看他是怎么解決的：

有一天，笛卡兒生病在床，心中卻在思考著數(shù)學問題：如何把數(shù)和點聯(lián)系起來？突然看見屋頂角上有一只蜘蛛，拉著絲垂下來，一會兒工夫，又慢慢地順著絲，爬了上去，在上邊左右拉絲?？戳恕爸┲搿钡谋硌?，笛卡兒思路突然豁然開朗，能不能用兩面墻的交線來確定位置呢？于是，他畫了兩條互相垂直的數(shù)軸，并在這個區(qū)域畫上很多的交線，這就是笛卡兒的平面坐標系。（見圖2）

圖2

師：我們就可以用橫軸來表示“時間/時”，用縱軸來表示“路程/千米”。

生：在坐標圖中用一個點表示是兩個數(shù)量。

師：把表格里的所有對應的兩個數(shù)都用點表示出來。（見圖3）你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖3

師：是的。每個點都是表示一組對應的數(shù)量，而且它們的比值都是80。

我們說，數(shù)學模型的建構(gòu)不僅需要量的積累，還需要型的感悟。在以上的學習過程中，教師引導學生從一維到二維，從“算術(shù)知識”逐漸向“代數(shù)知識”的轉(zhuǎn)變，這是學生從理解“數(shù)量”到探索“關(guān)系”的明顯轉(zhuǎn)折點。從“數(shù)”到“型”的轉(zhuǎn)變，其實已經(jīng)可以讓學生感受到從“靜態(tài)”到“動態(tài)”的轉(zhuǎn)變，為數(shù)學模型的構(gòu)建奠定扎實的基礎(chǔ)。

二、比較分析，在“離散”到“連續(xù)”的遞進中理解正比例圖像的模型

師：同學們，這里的點如果連起來，想象一下，會怎樣？（見圖4）

圖4

（生畫一畫）

師：這些點都在一條直線上，我們來找這條直線上的任意一個點，你能來說說它表示的含義嗎？

師（小結(jié)）：我們從圖中可以發(fā)現(xiàn)，這些點都在這條直線上，而且，我們讀圖還可以發(fā)現(xiàn)：時間增加，路程也隨之增加，這個和表格中呈現(xiàn)出來的規(guī)律是一樣的。在這樣的圖上，我們既能看出每個點相對應的一組數(shù)據(jù)，又能看出時間與路程這兩個相關(guān)聯(lián)的量的變化是有規(guī)律的，更能感受到每一個點所對應的路程與時間的比值是固定不變的。所以，我們可以確認這是正比例圖像。

師：回顧一下我們是怎樣形成這幅正比例圖像的。

生：橫軸找點畫垂線，縱軸找點畫垂線，相交描點再連線。

師：在這幅正比例圖像中，除了能找到6組對應的數(shù)量，還能找到其他對應的數(shù)量嗎？比如，汽車1.5小時行駛了多少千米？你是怎么看出來的？

生：我先在橫軸上找到1.5小時的位置，再在直線上縱向找出所對應的點，并且從這個點出發(fā)，橫向找到縱軸上的對應點，是120千米。

師：那么280千米呢？（行駛280千米需要多少小時？）

生：可以先在縱軸上找到280千米，橫向找到直線上對應的點，然后從這個點出發(fā)，縱向找到橫軸上對應的點，是3.5小時。

師：還能這樣繼續(xù)找下去嗎？可以找到多少個？

生：無數(shù)個。

師（小結(jié)）：確實，這條直線上有無數(shù)個點，能找到無數(shù)組和它們相對應的數(shù)量以及他們之間的關(guān)系。

師：既然如此，你們能把下面兩張表格里的數(shù)量（見表2、表3）畫在下面坐標圖中（見圖5、圖6）嗎？

表2

表3

圖5

圖6

師：看了這兩張圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：前面表格中每一組數(shù)據(jù)圖的每一個數(shù)據(jù)對應的點都在一條直線上，后面表格中每組數(shù)據(jù)對應的點，不在一條直線上。

師：這說明什么？

生：前面表格中的路程和時間成正比例，后面表格中的路程和時間不成正比例。

師：你為什么這么說？他們不都是一個量在變化，另一個量也隨之變化嗎？

生：比值不一定。（計算，確認，見表4）

表4

師（小結(jié)）：兩個相關(guān)聯(lián)的量，比值一定，對應的點在一條直線上，路程和時間成正比例；比值不一定，對應的點不在一條直線上，路程和時間不成正比例。

師：如何修改，這兩個量能成正比例。（見表5）

表5

師：我們把三張正比例圖像合并在一起（見圖7），你又能發(fā)現(xiàn)什么？

圖7

生1：①號、②號、③號都是直線，行駛路程隨著時間變化而變化，而且行駛路程與時間相對應的比的比值是一定的，路程和時間都成正比例。

生2：三條直線，③號比①號平一些，②號比①號陡一些。

師：這是什么原因呢？

生：比值不同，其實就是速度不同，比值越大，速度越快，直線就越陡；比值越小，速度越慢，直線就越平。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征關(guān)系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。模型思想和數(shù)形結(jié)合思想是用函數(shù)研究變化問題過程的共同思想，函數(shù)建模的實質(zhì)是建立刻畫運動變化過程的數(shù)學模型。在這個環(huán)節(jié)中，教師通過笛卡兒的故事引出直角坐標系，讓學生感受像數(shù)學家那樣探究數(shù)學知識的過程，再通過引導學生描點，在坐標系中找每一組數(shù)對應的點，連點成線，讓學生形象地體驗到，在圖像模型中，我們不僅可以看到每一個點都表示一組對應的數(shù)量，而且因為每一組數(shù)量的比值是一定的，所以，所有的點都在一條直線上。隨著數(shù)學表象不斷豐富，學生便能夠開展自主探究，在這樣的探究過程中其數(shù)學建模思想也將得到發(fā)展。

三、讀圖應用，在由“型”到“數(shù)”的具象中深化正比例圖像模型

師：剛才，我們在坐標系中畫出了三組成正比例關(guān)系的量，并且知道了直線上每一個點都有一組路程和時間與其一一對應，那么，你能根據(jù)圖像，找出相對應的量嗎？

（學生找出后，互相核查）

師：這樣的直線除了可以表示路程與時間成正比例，你覺得還可以表示怎樣的兩個成正比例的量。

生1：總價與彩帶的米數(shù)。

生2：打字的總量與時間。

生3：朗讀的字數(shù)與時間。

生4：總價與足球的個數(shù)。

生5：總價與象棋的盒數(shù)。

師：請你選擇一組成正比例的量，并且列舉數(shù)據(jù)，在坐標系中畫出圖像。

（學生畫圖像，交流）

任何一個數(shù)學模型的建構(gòu)都需要數(shù)學的語言符號的支撐。語言符號作為數(shù)學語言的表象符號，它本身就是人類理性思維的產(chǎn)物，間接性、抽象性、概括性等都是它的特點。當學生心中的正比例函數(shù)的圖像模型已經(jīng)建立時，教師需要做的就是引導學生如何讀圖，如何用數(shù)學的語言來解讀正比例圖像模型。

通過畫正比例函數(shù)圖像，學生就可以看出圖上的每一個點都表示路程和時間的對應數(shù)量。教師進而啟發(fā)學生進行思考，符合這一變化規(guī)律的表示路程和時間的對應點一定在圖像上。所以，根據(jù)圖像，我們就可以估算任何一個時間對應的路程，或者根據(jù)路程就可以估算任何路程對應的時間。這樣，根據(jù)正比例圖像進行估算的實踐應用，可以引導學生進一步感悟在數(shù)量關(guān)系中自變量與因變量對應的思想。

學生透過圖像看到了成正比例的圖像的本質(zhì)，并用語言表述。這是學生構(gòu)建函數(shù)圖像模型過程中最高層次的理解。

綜上所述，數(shù)學建模不僅是一種數(shù)學學習方法和策略，還是一種數(shù)學學習思想。借助操作，教師可以讓學生在將實際問題抽象成數(shù)學模型的過程中，進行解釋與應用。教學中，教師一定要引導學生從“境”到“型”，再引導學生從“型”到“境”，在這樣真實的探究過程中，引導學生經(jīng)歷“境”和“型”的自由轉(zhuǎn)換。