萬有引力與宇宙航行的知識概括與典型題解析

摘要：萬有引力與宇宙航行的內(nèi)容可以高度的概括為一條思路、二套公式、三種速度.這章知識常見的典型題型有三種：同步衛(wèi)星問題;雙星問題;衛(wèi)星變軌問題.解題思路是衛(wèi)星繞行星的運動和行星繞恒星的運動都看成是勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

關(guān)鍵詞：萬有引力提供向心力;同步衛(wèi)星問題的六個一定;雙星問題的三個結(jié)論

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0119-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張巖松（1963.6-），男，山東省泰安市岱岳區(qū)人，中學(xué)高級教師，從事高中物理教學(xué)研究.[FQ）]

1 內(nèi)容概括

萬有引力與宇宙航行的內(nèi)容可以高度的概括為一條思路、二套公式、三種速度.

1.1 一條思路

衛(wèi)星繞行星的運動和行星繞恒星的運動都看成是勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

1.2 兩套公式

天上：Gm1m2r2=m1v2r=m1ω2r=m14π2T2r=m14π2n2r=m1vω

天上一條龍.

地上：Gm1m2R2=m1g

地上一只蟲.

1.3 三種速度

1.3.1 第一宇宙速度

衛(wèi)星在地球的赤道面內(nèi)做近地勻圓的速度.

∵GMmR2=mv12R

∴v1=7.9km/s.

也可以根據(jù)：mg=mv12R

解得：v1=7.9km/s.

第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，也是最小的發(fā)射速度.1.3.2 第二宇宙速度

衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度.大小是v2=11.2km/s.

當(dāng)衛(wèi)星的速度大于11.2km/s時，將會脫離地球的束縛，成為太陽的行星.第二宇宙速度被稱為“

脫離速度”.注意：當(dāng)衛(wèi)星的速度7.9km/s

1.3.3 第三宇宙速度

衛(wèi)星脫離太陽束縛的最小速度是v3=16.7km/s.

當(dāng)衛(wèi)星的速度大于16.7km/s時，將會脫離太陽的束縛，跑到銀河系中去.第三宇宙速度被稱為“逃逸速度”.2 常見題型及解析

這章知識常見的典型題型有三種：同步衛(wèi)星問題;雙星問題;衛(wèi)星變軌問題.

2.1 同步衛(wèi)星問題

同步衛(wèi)星在地球的赤道面內(nèi)做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

∵GMmr2= mv2r，

∴v=GMr①

∵GMmr2=m4π2T2r，

∴T=4π2r3GM②

由①②可以得出結(jié)論：高軌低速長周期.

關(guān)于同步衛(wèi)星問題的六個一定：

（1）角速度一定.

（2）周期一定.

（3）線速度的大小一定.

（4）線速度的方向一定.

（5）向心加速度的大小一定.

（6）衛(wèi)星離地的高度一定.

例1同步衛(wèi)星相對地面靜止，猶如懸在高空中，下列說法不正確的是（）.

A.同步衛(wèi)星處于平衡狀態(tài)

B.同步衛(wèi)星的速率是唯一的

C.同步衛(wèi)星加速度大小是唯一的

D.各國的同步衛(wèi)星都在同一圓周上運行.

解由上面的結(jié)論可知：BCD都正確.故應(yīng)選A.

例2已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星線速度大小為v2，向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3，向心加速度大小為a3，設(shè)近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍.則以下結(jié)論正確的是（）.

A.v2v3=6B.v1v2=1

C.a1a3=17

D.a2a3=491

解答案應(yīng)選CD.

結(jié)論赤道上的物體和近地衛(wèi)星之間的距離雖然只有毫厘之距，但大小卻有天壤之別.

2.2 雙星問題與多星問題

2.2.1 雙星問題

被相互引力系在一起，互相繞轉(zhuǎn)的兩顆星就叫物理雙星.雙星是繞公共圓心轉(zhuǎn)動的一對恒星.兩恒星類似于一個無形的桿連接著.

有三個結(jié)論：

（1）兩恒星的半徑之和等于兩恒星之間的距離.

（2）周期相同.

（3）彼此之間的萬有引力提供各自的向心力.

例3雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（）.

A.n3k2 TB.n3K TC.n2k TD.nk T

解答案選B.

2.2.2 多星問題

例4宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為r，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，如圖1所示.已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是（忽略星體自轉(zhuǎn)）（）.

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為a2

C.四顆星表面的重力加速度均為Gmr2

D.四顆星的周期均為2πa2a（4+2）Gm

解答案應(yīng)選B.

小結(jié)無論是雙星還是多星，解題思路是相同的.任意一顆星的向心力都是其它星對它的萬有引力的合力提供的;然后利用數(shù)學(xué)知識確定軌道半徑;最后根據(jù)萬有引力提供向心力列方程求解即可.

2.2.3 衛(wèi)星變軌問題

例5發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3.軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖2所示.當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法中正確的是（ ）.

A.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率;

B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度;C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的速率小于它在軌道2上經(jīng)過Q點的速率;

D.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的速率小于它在軌道3上經(jīng)過P點時的速率.

解答案應(yīng)選BCD.

小結(jié)

衛(wèi)星不論是在橢圓軌道上運行，還是在圓形軌道上運行，只要位置相同，所受的萬有引力是相同的，從而向心加速度相同.但是由于曲率半徑不同，導(dǎo)致線速度大小不同，這是這類變軌問題分析、求解的突破口.

《萬有引力與宇宙航行》這章知識說穿了就是研究了一種特殊的勻速圓周運動，為什么說它特殊呢？因為這種圓周運動在天上，而且做圓周運動的物體不是我門常見的小球、小車、滑塊等.這種圓周運動看不見、摸不著，很抽象.因此，雖然還是一種勻速圓周運動，但實踐證明，學(xué)生學(xué)習(xí)這一章的知識會感到很困難，很迷茫.另外，造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因還有一個，就是相似的、容易混淆的概念比較多，譬如中心天體、環(huán)繞天體;軌道半徑、星體的球體半徑;自轉(zhuǎn)周期、公轉(zhuǎn)周期等等.再者，這部分題目有的涉及的運算量很大，不容易計算出結(jié)果;有的運算量倒是不大，但是涉及的字母比較多，容易混淆.但是不管怎么變，萬變不離其宗，歸根結(jié)底它還是一種勻速圓周運動，而且萬有引力提供向心力.然后從上面提到的“一條龍”中選取其中一個公式，而且在這五個公式中那個方便選那個，最后列方程求解即可.掌握這一點，就能夠以不變應(yīng)萬變.

參考文獻(xiàn)：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[責(zé)任編輯：李璟]