數(shù)學(xué)思維力：在激活、建構(gòu)、深化中生長(zhǎng)

孫艷林

[摘 ?要] 激活、建構(gòu)、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“動(dòng)”起來(lái)、“實(shí)”起來(lái)、“活”起來(lái)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更全面、更靈活、更深刻。作為教師，要充分地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展視角，著力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力，這是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的迫切追求，也是未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的價(jià)值趨向。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思維力;激活;建構(gòu);深化;生長(zhǎng)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維力，是伴隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入而發(fā)展的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，應(yīng)用有效的策略去引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中思考。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要有條理、有方向，讓思維貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。通過(guò)激活、建構(gòu)、深化等策略，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更全面、更靈活、更深刻。立足于數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展學(xué)生的思維力，既是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的迫切需求，又是未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值趨向。

[?] 一、激活：讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“動(dòng)”起來(lái)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培育學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的有效路徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生諸多問(wèn)題，但是這些問(wèn)題并不都具有價(jià)值。為此，教師要對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行取舍、梳理、提煉。通過(guò)激發(fā)學(xué)生提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題歸類，篩選核心問(wèn)題，嘗試探究問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，教師要強(qiáng)化學(xué)生的無(wú)意識(shí)數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生的無(wú)障礙頓悟，引導(dǎo)學(xué)生的非邏輯創(chuàng)造。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要開闊學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角、多個(gè)向度進(jìn)行發(fā)問(wèn)，并且要善于提煉核心問(wèn)題、關(guān)鍵問(wèn)題等。比如教學(xué)“畫角”一課，筆者在引導(dǎo)學(xué)生用量角器畫出指定度數(shù)的角之后，提出了這樣一個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題：我們能否不用量角器，而用一副三角尺，拼出一些度數(shù)的角呢？這樣的一個(gè)問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生實(shí)踐的興趣。學(xué)生紛紛拿起三角尺，以小組為單位，進(jìn)行有序拼接。在得到了諸如30°、45°、60°、75°等相關(guān)度數(shù)的角之后，學(xué)生自主提出并積極分析以下問(wèn)題：這些度數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？這一問(wèn)題活躍了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：這些度數(shù)都是15°的倍數(shù);這些度數(shù)之間都相差15°，但有兩個(gè)角空著，就是15°和165°。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生積極主動(dòng)地探尋15°的角用三角尺怎樣拼接？在反思“加一加”策略的基礎(chǔ)上，學(xué)生提出了“減一減”策略和“疊一疊”策略，從而順利推導(dǎo)出15°的角、165°的角。尤其是165°的角的拼接，學(xué)生需要應(yīng)用平角以及三角形內(nèi)角和等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理。在拼接推理的過(guò)程中，學(xué)生還自覺地將這些拼接的角按照從小到大或者從大到小的順序排列，從而構(gòu)建了一個(gè)三角尺拼角的序列。

數(shù)學(xué)是一門思維性的學(xué)科，問(wèn)題是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是不斷提問(wèn)、解答、追問(wèn)、明朗的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維能被有效激活。借助問(wèn)題，學(xué)生能進(jìn)行高質(zhì)量的高階思維，形成良好的思維習(xí)慣，改變被動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樣態(tài)。

[?] 二、建構(gòu)：讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“實(shí)”起來(lái)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅需要問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，更需要學(xué)生的自主建構(gòu)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等。自主建構(gòu)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“實(shí)”起來(lái)。建構(gòu)，要著力培養(yǎng)學(xué)生的比較思維、邏輯思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維步步為營(yíng)、層層遞進(jìn)。既要發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的聚合性，又要發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能得到整體性、和諧性的發(fā)展[1]。

比如教學(xué)“解決問(wèn)題的策略——假設(shè)”第一課時(shí)，需引導(dǎo)學(xué)生掌握“倍數(shù)關(guān)系”的假設(shè)。應(yīng)該說(shuō)，這一部分內(nèi)容較之于“相差關(guān)系”的假設(shè)簡(jiǎn)單。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)善于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。比如一開始出示：將720毫升果汁倒入9個(gè)相同的小杯中，正好都倒?jié)M，每一個(gè)小杯的容量是多少毫升？將720毫升果汁倒入3個(gè)相同的大杯中，正好都倒?jié)M，每一個(gè)大杯的容量是多少毫升？將720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯之中，也正好都倒?jié)M，小杯和大杯的容量各是多少毫升？這里，從一個(gè)未知量過(guò)渡到兩個(gè)未知量，還需要補(bǔ)充怎樣的條件，才能解決題目中的問(wèn)題呢？學(xué)生積極補(bǔ)充相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，形成了倍數(shù)關(guān)系的假設(shè)和相差關(guān)系的假設(shè)。將學(xué)生的思維、認(rèn)知聚焦到倍數(shù)關(guān)系的假設(shè)問(wèn)題上。不同的學(xué)生，基于自我的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成了不同的探究方法，比如“用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題”“用按比例分配的方法解決問(wèn)題”“用列方程解應(yīng)用題的方法解決問(wèn)題”“用假設(shè)法解決問(wèn)題”，等等。不同的方法，彰顯著學(xué)生的不同思維，體現(xiàn)著學(xué)生的不同認(rèn)知。同時(shí)，學(xué)生多樣化的探究方法，能給彼此以啟迪，從而不斷地活化學(xué)生的認(rèn)知。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生相互借鑒、相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，并對(duì)各種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而對(duì)多樣化的問(wèn)題策略進(jìn)行優(yōu)化，讓自我的數(shù)學(xué)思維更加靈活、開闊。

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種自主的、能動(dòng)的、有意義的建構(gòu)過(guò)程。建構(gòu)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更實(shí)在、更靈動(dòng)、更開闊。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生思維、認(rèn)知多樣化，可以將題目中相關(guān)的兩個(gè)未知量拓展、延伸為三個(gè)未知量，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要將多個(gè)未知量轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量。概而言之，就是要將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。

[?] 三、深化：讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“活”起來(lái)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更要深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。深化，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“活”起來(lái)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要發(fā)展學(xué)生的邏輯性思維，又要發(fā)展學(xué)生的形象性思維;既要發(fā)展學(xué)生的演繹性思維，又要發(fā)展學(xué)生的歸納性思維。作為教師，要遵循學(xué)生的思維規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地分析、綜合、歸納、演繹，讓學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)知。

深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要拉長(zhǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維鏈條，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的空間，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向著數(shù)學(xué)知識(shí)的更深處漫溯。作為教師，不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維結(jié)果，而且要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維過(guò)程。比如教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”這一部分內(nèi)容，教師不是照本宣科，讓學(xué)生簡(jiǎn)單地掌握“長(zhǎng)方體的體積公式”，而是以“長(zhǎng)方體的體積公式”為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)方體體積公式的形成過(guò)程。一開始學(xué)生的驅(qū)動(dòng)性探究問(wèn)題自然是：長(zhǎng)方體的體積可以怎樣計(jì)算？在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體的體積與每行所擺的體積單位的個(gè)數(shù)、行數(shù)及層數(shù)、總個(gè)數(shù)等的關(guān)系之后，筆者進(jìn)一步追問(wèn)：所有的長(zhǎng)方體的體積公式都是這樣的嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)正方體的體積公式。從長(zhǎng)方體的體積公式到正方體的體積公式的追問(wèn)、思考和探究，是一種自上而下的演繹化過(guò)程。不僅如此，在教學(xué)中，筆者還反向追問(wèn)：長(zhǎng)方體的體積公式中的長(zhǎng)乘寬表示什么？長(zhǎng)方體的體積公式還可以怎樣表達(dá)？利用長(zhǎng)方體的體積公式，我們還能求出其他形體的體積嗎？你是怎樣想的？這樣追問(wèn)，能引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)階、提升。學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到，長(zhǎng)方體的體積公式V=Sh不僅適用于長(zhǎng)方體、正方體，還適用于其他各種直柱體，比如圓柱體、三棱柱、四棱柱等。通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體的體積公式的深化研究，能讓學(xué)生感悟到長(zhǎng)方體的體積公式與什么因素有關(guān)，為什么與這些因素有關(guān)。為了幫助學(xué)生形成高階思維，教師在教學(xué)中還可以借助多媒體課件，向?qū)W生動(dòng)態(tài)展示長(zhǎng)方形、正方形、圓形、梯形等向上生長(zhǎng)的過(guò)程。

深化學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得靈活起來(lái)、靈動(dòng)起來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷走向深入，從而有效地培育學(xué)生的深度思維。在深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)再認(rèn)識(shí)、再理解、再建構(gòu)。要研究學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維留痕，不僅要形成物態(tài)的痕跡，而且要在學(xué)生的內(nèi)心形成相關(guān)的痕跡。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極主動(dòng)地引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化視角，從而衍生出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

思維之于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，不僅僅在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)人才，更在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、理性精神等。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵就是要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、思考問(wèn)題，有條理、有計(jì)劃地工作和生活。激活、建構(gòu)、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能有效地解決學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)隨意性、點(diǎn)狀化、膚淺化、被動(dòng)性等問(wèn)題，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得鮮活而靈動(dòng)、具體而生動(dòng)、獨(dú)立而有追求[2]。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不再局限于原有的固化的框框，而是能生成更多的思考、探究，從而形成更多的創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?馮桂群. 言語(yǔ)與符號(hào)：培育數(shù)學(xué)思維的重要表征[J]. 教學(xué)與管理，2019（20）：34-36.

[2] ?沈利玲. 數(shù)學(xué)思維可視化工具的類型及其應(yīng)用[J]. 教學(xué)與管理，2020（17）：48-51.