分類討論思想在“相交線”概念教學(xué)中的應(yīng)用

黃華

[摘 ?要] 分類討論常用于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算、動點(diǎn)或圖形不確定等情況的分析，它能有效簡化問題，降低難度，文章以“相交線”概念教學(xué)為例，闡述分類討論思想在概念教學(xué)中的應(yīng)用策略：創(chuàng)設(shè)情境，初步感知分類思想;合作交流，切實(shí)體會分類過程;適當(dāng)練習(xí)，形成分類討論思想.

[關(guān)鍵詞] 分類討論;概念教學(xué);合作交流

分類討論是指將復(fù)雜的問題分割成幾個基礎(chǔ)性的小問題，再逐個突破的思想策略，常用于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算、動點(diǎn)或圖形不確定等情況的分析. 它需有確定的分類對象，按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，做到不重復(fù)、不遺漏. 將分類討論思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，能有效地簡化概念的難度.

“相交線”章節(jié)涉及較多關(guān)于角的位置關(guān)系的概念，因位置關(guān)系多而導(dǎo)致了概念數(shù)量也很多，學(xué)生一不小心就會出現(xiàn)概念的混淆. 為了幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)初始階段就能厘清各個概念之間的關(guān)系，避免后期因概念不清而在幾何證明中漏洞百出，筆者特將教學(xué)內(nèi)容與分類討論相結(jié)合.

創(chuàng)設(shè)情境，初步感知分類思想

教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生對知識的理解程度，讓學(xué)生感知知識與知識間存在的內(nèi)在聯(lián)系. 概念作為每個知識點(diǎn)的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，在教學(xué)中具有無可替代的重要作用. 在概念教學(xué)的初始階段，創(chuàng)設(shè)豐富的情境可讓學(xué)生在心理上對概念產(chǎn)生共鳴，讓學(xué)生在知識與生活的交互中感知概念的形成與發(fā)展過程.

對于一些復(fù)雜的概念，我們可在情境中設(shè)置相應(yīng)的分類點(diǎn)，讓學(xué)生在探索中自主發(fā)現(xiàn)分類的標(biāo)準(zhǔn)，并將自身的生活經(jīng)驗(yàn)、記憶與思維凝聚到一起，增進(jìn)對概念的理解. 如“相交線”涉及的概念教學(xué)，可創(chuàng)設(shè)以下情境進(jìn)行課堂導(dǎo)入.

教師結(jié)合剪刀、鐘表指針、夾鉗等常見的生活物品創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從中抽象出兩根直線相交的基本模型.

師：觀察圖1，你們看到什么？

生1：看到公路、高架橋等呈交叉的關(guān)系.

師：現(xiàn)在我們一起將圖中標(biāo)注了AB與CD的兩根直線畫出來. 根據(jù)圖1抽象而來的圖像見圖2.

師：觀察圖2，你們能看到幾個角？

生2：4個角.

師：若兩兩分組，一共可組成幾組？

生3：六組.

師：如果將這六組角分類，可用什么標(biāo)準(zhǔn)分？（小組合作討論）

生4：有相鄰的和相對的兩種分類方式.

師：不錯. 分類后角與角之間的度數(shù)是否有什么特別的地方？

生5：處于相對位置上的兩個角的邊在一條直線上，互為反向延長線，同時(shí)它們的頂點(diǎn)與角度大小都一樣;處于相鄰位置上的兩個角有一條公共邊，還有一條邊是互為反向延長線的關(guān)系. 它們擁有共同的頂點(diǎn)，且兩角度數(shù)相加為180°.

師：非常好！這就是我們今天所要認(rèn)識的鄰補(bǔ)角和對頂角. 如表1，是兩直線相交的分類討論情況及角與角之間的位置關(guān)系.

師：根據(jù)表1可知，對頂角是相等的關(guān)系. 那么，我們怎么能確定它們相等呢？有沒有辦法加以證明？

生6：如圖2，已知∠AOC+∠COB=180°，∠COB+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD，同理可證得∠AOD=∠COB.

師生有效互動，激發(fā)了學(xué)生對“相交線”的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生在教師逐層遞進(jìn)的引導(dǎo)下通過自主討論，獲得六組角的分類標(biāo)準(zhǔn)分別有相鄰的與相對的兩種. 在這兩類角的觀察中，逐漸獲得相應(yīng)的概念. 由此可見，分類討論思想在概念形成的初始階段就具有開拓學(xué)生思維的作用，教師可多加引導(dǎo)，幫助學(xué)生快速獲得概念的內(nèi)涵與相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.

合作交流，切實(shí)體會分類過程

為了強(qiáng)化學(xué)生對概念的認(rèn)識，可選擇小組合作的方式鼓勵學(xué)生在交流中共同完成學(xué)習(xí)任務(wù). 當(dāng)相交線為三根時(shí)，會出現(xiàn)更多的角，這些角之間具有怎樣的關(guān)系，該如何分類進(jìn)行討論是合作交流的主題. 為此，課堂呈現(xiàn)出以下教學(xué)片段.

首先向?qū)W生介紹截線和被截線的定義，為接下來的教學(xué)做好鋪墊.

師：大家對兩根線組成的四個角的關(guān)系已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，現(xiàn)在我們在兩條線的基礎(chǔ)上再添加一條直線，大家來數(shù)一數(shù)有幾根線、幾個角.

生7：如圖3，有a，b，c三根直線，這些直線相交后得到8個角.

師：剛剛我們已經(jīng)探究過有公共頂點(diǎn)的兩個角的關(guān)系（對角與鄰角），現(xiàn)在將沒有共同頂點(diǎn)的角進(jìn)行兩兩分配，可組成多少組？（學(xué)生合作交流，得到有16組的結(jié)論）

師：那我們來逐組進(jìn)行分析，先看看∠1和∠5，這兩個角之間的位置關(guān)系是怎樣的？

生8：∠1和∠5都在截線的同一側(cè)，且在被截線的同一個方向.

師：很好！那現(xiàn)在請大家將不同組別的角與截線的關(guān)系填到一個表格內(nèi).

（學(xué)生設(shè)計(jì)并填寫表格，結(jié)論見表2.）

師：現(xiàn)在請各小組討論，分別描述每組角（兩個角為一組）之間的位置關(guān)系，并分類.

（學(xué)生合作學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo).）

結(jié)論：根據(jù)角與角之間的位置關(guān)系，分別獲得同內(nèi)角、同同角、同外角、異內(nèi)角、異同角和異外角六種.

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)其中的三種，即同內(nèi)角、異內(nèi)角和同同角. 我們分別給它們起一個新的名字為：同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角與同位角. 現(xiàn)在請大家仔細(xì)觀察這三種角，說說它們有沒有什么能讓人一眼就看出來的特征.

生9：同旁內(nèi)角呈現(xiàn)一個U字形，內(nèi)錯角則呈現(xiàn)出Z字形，而同位角在同一個方向，差不多是一個F形.

學(xué)生在合作交流過程中對角的位置關(guān)系逐個進(jìn)行分類，并針對教師所提出的三類角進(jìn)行研究，獲得了一定的成效. 尤其是用大寫的英文字母表示不同類型角之間的位置關(guān)系，這種方式簡潔而又深入人心. 合作過程中，組內(nèi)每個成員都切實(shí)體會到了數(shù)學(xué)分類的方法與過程，這為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想奠定了一定的基礎(chǔ).

適當(dāng)練習(xí)，形成分類討論思想

課堂練習(xí)可促進(jìn)知識的形成與鞏固，概念學(xué)習(xí)也離不開練習(xí)的輔助. 為了幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思想，練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)需有針對性地添加相應(yīng)的元素，讓學(xué)生在獨(dú)立思考中實(shí)施分類討論，以靈活思維深化對概念的理解，達(dá)到學(xué)以致用的目的.

課堂小練：

1. 如圖4，已知直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOC的對頂角是______，鄰補(bǔ)角是______.

2. 觀察圖5，其中∠1，∠2互為對頂角的有哪些？

3. 觀察圖6，∠2，∠3稱為_____角;∠2，∠4稱為_____角;∠2，∠5稱為_____角;∠2，∠6稱為_____角;∠2，∠8稱為_____角.

4.如圖7，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，已知∠1=30°，∠2=65°，則∠3為多少度？

學(xué)生在完成練習(xí)的過程中再一次感知直線相交所形成角的位置關(guān)系，1、2兩題著重考查學(xué)生對對頂角與鄰補(bǔ)角的理解程度，其中第1題中的第2問∠AOC的鄰補(bǔ)角有哪些，不少學(xué)生只寫了一個答案，而根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念，符合條件的角應(yīng)有兩個. 學(xué)生只有在深刻理解了鄰補(bǔ)角內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，才不會漏解.

3、4兩題主要考查學(xué)生對同旁內(nèi)角、同位角與內(nèi)錯角的認(rèn)識程度. 第3題看似題量大，其實(shí)只要掌握每種角相應(yīng)的位置關(guān)系，答題并不困難. 筆者要求學(xué)生根據(jù)自己探究、總結(jié)出來的用英文字母表示的相交線形狀進(jìn)行判斷，準(zhǔn)確率較高. 第4題則考查學(xué)生對知識的掌握與應(yīng)用程度，練習(xí)賦予角明確的度數(shù)，學(xué)生根據(jù)角與角之間的位置關(guān)系與度數(shù)關(guān)系可求出答案.

這一組試題的設(shè)計(jì)，從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與授課內(nèi)容出發(fā)，學(xué)生在練習(xí)過程中深化了對各個概念的理解，并實(shí)現(xiàn)了舉一反三、靈活應(yīng)用所學(xué)知識. 解題中，學(xué)生需將每一種角的位置關(guān)系進(jìn)行觀察、梳理、分類討論，從而有效地促進(jìn)了學(xué)生分類討論思想的形成.

總之，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)并非一朝一夕就能完成的，它需要教師緊跟新課改的步伐，不斷更新教育理念，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓課堂成為學(xué)生思維成長的階梯. 當(dāng)然，更重要的是讓學(xué)生深度參與課堂教學(xué)的全過程，感悟用分類討論的方法學(xué)習(xí)的過程，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).