基于馬爾科夫模型的期貨市場收益率波動預(yù)測研究

白婷潔

（成都理工大學(xué) 商學(xué)院 四川成都 610059）

一、研究背景

隨著市場經(jīng)濟(jì)全球化，風(fēng)險因素愈發(fā)復(fù)雜，我國農(nóng)產(chǎn)品期貨市場體系尚不健全、缺少風(fēng)險監(jiān)管制度，金融市場的細(xì)小波動極其容易加劇期貨市場價格的震蕩①。為避免農(nóng)產(chǎn)品價格波動幅度過大導(dǎo)致投資者和金融機構(gòu)付出高昂代價，我們需要準(zhǔn)確預(yù)測農(nóng)產(chǎn)品期貨市場的波動狀態(tài)和波動率，從而準(zhǔn)確預(yù)測期貨價格。本文將同時引入兩種不同波動狀態(tài)且具有代表性的期貨作為對比分析樣本來探究模型的可行性與包容性，確保在實際應(yīng)用中投資者或是機構(gòu)能夠精準(zhǔn)使用模型。我國農(nóng)產(chǎn)品期貨種類繁多，其中大豆期貨出現(xiàn)較早，數(shù)據(jù)比較完善，因此本文選擇大豆2號期貨。在金屬期貨市場中，研究發(fā)現(xiàn)黃金期貨價格比其他金屬期貨價格波動更加穩(wěn)定，因此本文引入黃金期貨②。

實際上，準(zhǔn)確預(yù)測期貨市場波動率的前提是選取合適的模型且精確描述收益率的波動狀態(tài)；而波動狀態(tài)通常又因市場受供求關(guān)系、通脹和政策等因素制約而表現(xiàn)出多波動狀態(tài)③。研究市場波動狀態(tài)本文用一種比較特殊的隨機過程馬爾科夫鏈進(jìn)行探討④。通常情況下一個金融序列存在多種波動狀態(tài)，單機制波動模型卻只能刻畫出序列的一種波動狀態(tài)，導(dǎo)致預(yù)測不準(zhǔn)確。馬爾可夫機制轉(zhuǎn)換模型（MRS，馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型Markov Switching Model）解決了單機制模型的缺陷，該模型通過條件方差均值和一個“差值”來刻畫波動狀態(tài)，缺點在于這個“差值”具有較強的主觀性，導(dǎo)致預(yù)測的波動率有誤差⑤。HMM在馬爾科夫鏈的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，Rabiner等對HMM的基本理論和使用方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述⑥。HMM優(yōu)勢在于模型中涉及隱藏狀態(tài)和觀測狀態(tài)，從而消除了主觀因素對波動狀態(tài)造成的誤判。HMM模型被許多領(lǐng)域的學(xué)者運用，Xu Dong等用改進(jìn)后的HMM模型準(zhǔn)確識別出了轉(zhuǎn)錄因子的結(jié)合位點⑦；Alexander等用改進(jìn)后的HMM識別語音詞匯⑧。趙庶旭等用馬爾可夫模型識別交通最優(yōu)路徑，結(jié)果表明馬爾可夫模型求解的方法在道路平整度和識別率方面優(yōu)于其他算法⑨。崔書岳等將其運用在預(yù)測縫洞型油藏產(chǎn)量領(lǐng)域，結(jié)果表明HMM在預(yù)測方面有效性更高⑩。這些研究都表明HMM能夠準(zhǔn)確分析序列所處狀態(tài)，因此本文將引入MRS模型作為HMM的對比模型來探究HMM在狀態(tài)刻畫時的優(yōu)勢，繼而確定大豆2號期貨和黃金期貨的波動狀態(tài)。

迄今為止，研究金融市場的學(xué)者有很多而且研究成果顯著。博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)在研究時間序列時，為量化當(dāng)期數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)的關(guān)系、求解隨機變動項，兩位學(xué)者建立了自回歸滑動平均模型(ARMA)。鄒柏賢等用該模型預(yù)測網(wǎng)絡(luò)流量超越閾值問題且結(jié)果表明ARMA模型能確定閾值?。隨后羅伯特·恩格爾(Engle)提出自回歸條件異方差模型(ARCH)?；唐齊鳴等運用該模型檢測中國股票市場的波動性并提出了有效的政策建議，足以證明ARCH模型的優(yōu)勢是預(yù)測波動率。繼而以Bollerslev為代表，ARCH模型被拓展為多種不同的類型，其中專門為金融數(shù)據(jù)量身定做的GARCH類模型是本文研究期貨波動率的重要基礎(chǔ)?。GARCH模型最大的特點在于它建模的對象是誤差的方差，此方法比直接分析原始數(shù)據(jù)來預(yù)測未來價格能給投資者帶來更高的參考價值。林琦等運用GARCH模型闡述開放式基金收益率的風(fēng)險，結(jié)果表明該模型能夠很好地描述基金收益率的波動性?。李紅云等使用GARCH模型對鋼材期貨市場波動率進(jìn)行預(yù)測?；馬超群等同樣用GED分布的GARCH類模型對上海金屬期貨市場的非線性波動進(jìn)行研究?。這些研究都表明GARCH類模型能夠很好地預(yù)測波動率，能夠有效刻畫金融收益率存在的“尖峰厚尾”特征，但是不能解釋收益率殘差對收益率所造成的非對稱性。因此，Nelson提出了EGARCH模型，該模型不但有刻畫收益率的聚集性和波動性的能力，還對模型參數(shù)進(jìn)行了非負(fù)約束，讓模型能夠在金融序列分析中得到廣泛的運用?。因此，本文將使用GARCH和EGARCH模型刻畫大豆2號期貨市場與黃金期貨市場的波動率。

近幾年來，單一的GARCH類模型已經(jīng)不能滿足投資者和金融機構(gòu)的需求?；艟暰V等提出AHMM-AD方法來提取時間序列中的非線性特征，提高時間序列異常檢測性能的顯著性?。劉波等將HMM與PSO-SVM模型相結(jié)合組成新的預(yù)測方法，結(jié)果表明組合模型的準(zhǔn)確度更高?。HMM與其他模型的結(jié)合或者EGARCH模型與其他模型的組合不計其數(shù)，但對于HMM與EGARCH模型相結(jié)合的研究卻不多。景楠運用HMM和EGARCH研究中國期貨市場波動率得出較好的結(jié)果?。林宇等將EGARCH模型與HMM組合，用HMM-EGARCH模型預(yù)測銀行間同業(yè)拆放利率市場波動，實證結(jié)果表明HMM-EGARCH能夠準(zhǔn)確地預(yù)測Shibor市場的波動狀態(tài)及波動率?；后來又運用HMM-EGARCH模型預(yù)測石油價格波動率?和結(jié)構(gòu)突變下的原油價格波動率?，這些研究表明HMM-EGARCH模型未來在金融行業(yè)會得到廣泛應(yīng)用。

目前學(xué)術(shù)界基于HMM-EGARCH模型對金融市場的研究尚且不夠，還需要更多的實證研究來做補充。因此，本文將引入HMM來預(yù)測期貨市場的波動狀態(tài)，引入GARCH類模型預(yù)測期貨市場的波動率。希望能夠提高對期貨市場預(yù)測的準(zhǔn)確性，從而為投資者及金融機構(gòu)提出有效的風(fēng)險規(guī)避方案和相關(guān)建議。本文主要目的是通過對比分析，考察在預(yù)測波動率時HMM-EGARCH模型是否比GARCH類的其他模型更準(zhǔn)確。本文的優(yōu)勢在于考慮多種殘差分布，研究時間序列的波動狀態(tài)及其對HMM-EGARCH模型預(yù)測準(zhǔn)確性的影響。選擇預(yù)測期貨市場的最佳模型，為金融市場新增預(yù)測方法。

二、研究方法

（一）基于HMM模型構(gòu)建期貨市場波動狀態(tài)的預(yù)測方法

要預(yù)測大豆2號與黃金期貨市場的波動率，首先要精確地刻畫其波動狀態(tài)。由于大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態(tài)不能被直接觀察到，只能用隨機過程呈現(xiàn)的觀測序列來預(yù)測。因此構(gòu)建基于HMM的期貨市場波動狀態(tài)預(yù)測模型，具體方法如下：

首先，將大豆2號和黃金期貨市場的收益率作為可觀測序列，定義為：O={o1，o2，…，oi}；隱狀態(tài)序列定義為Q={q1，q2，…，qi}；隱狀態(tài)集合為S={s1，s2，…，sN}。t表示期數(shù)，N表示狀態(tài)數(shù)。要用HMM模型刻畫大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態(tài)，首先需要計算HMM相應(yīng)的參數(shù)λ=（A，B，π）。其中：

A表示隱含狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，表示為：

B表示觀測狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，表示為：

π表示初始狀態(tài)概率分布，表示為：

然后，將觀測序列等分，除最后一個觀測量外其他都作為HMM訓(xùn)練序列，對每塊觀測量用EM算法求解HMM參數(shù)A、B、π。用最后一個觀測量計算對每個HMM的擬合程度，取擬合度最好的HMM模型，即尋找一個使似然值達(dá)到最大λ；再采用Viterbi算法和參數(shù)λ，確定最優(yōu)隱狀態(tài)序列Q={q1，q2，…，qi}。

最后，根據(jù)以上求解的參數(shù)λ和估計出的最優(yōu)狀態(tài)序列，可以構(gòu)建出HMM預(yù)測模型。HMM構(gòu)建大豆2號和黃金期貨市場波動狀態(tài)預(yù)測模型，方式如次：t時刻的隱狀態(tài)qt=si服從轉(zhuǎn)移概率為矩陣A的馬爾科夫過程，轉(zhuǎn)移到t+h時刻的轉(zhuǎn)移矩陣為Ah=那么從t時刻轉(zhuǎn)移到t+h時刻隱狀態(tài)qt+h=sj的概率為Ah（i，j），因此h步的預(yù)測值為：

由此預(yù)測大豆2號和黃金期貨市場的波動狀態(tài)。

（二）EGARCH模型

EGARCH模型兼具ARCH模型可以描述波動集群的特點和GARCH模型對誤差進(jìn)一步建模優(yōu)點；GARCH(1,1)模型的定義如下：

其中要求條件方差不能為負(fù)數(shù)，即：ω＞0，α≥0，β≥0；ht為條件方差，zt是服從自由度為v的正太分布。

設(shè)xt表示第t期期貨市場的收盤價，xt-1表示同期期貨市場的開盤價，當(dāng)期的收益率定義為：

當(dāng)金融市場受到負(fù)面因素沖擊時，價格將回跌、條件方差也將增大，這一系列連鎖效應(yīng)將使價格和收益率波動幅度更大。反之，當(dāng)市場狀態(tài)良好時，價格將上漲，波動也會得到緩解。在金融市場中，正向沖擊和負(fù)向沖擊對價格的影響相反，但結(jié)果是非完全對稱的。同樣，正負(fù)沖擊對條件方差的影響是非對稱的，GARCH模型的缺陷就在于它不能有效刻畫這種非對稱性。EGARCH模型剛好能夠更好地刻畫波動狀態(tài)的非對稱、波動集群和尖峰后尾特性。由于EGARCH(1,1)模型簡潔，易于研究，因此本文采用EGARCH(1,1)模型。EGARCH(1,1)的定義如下：

為了保證了ht的非負(fù)性，該模型的條件方差采用取自然對數(shù)的形式。

（三）基于HMM-EGARCH模型構(gòu)建期貨市場波動率的預(yù)測方法

EGARCH模型作為單機制模型不能刻畫多波動狀態(tài)下的金融時間序列，因此本文將把HMM與EGARCH模型結(jié)合組成HMM-EGARCH模型來研究大豆2號期貨和黃金期貨。即：

（四）預(yù)測模型擬合度的評估方法

要盡量準(zhǔn)確地預(yù)測期貨市場波動率，就需要盡可能地減小在預(yù)測波動狀態(tài)時出現(xiàn)的偏差。第一步檢驗?zāi)Ｐ褪欠衲軌蝾A(yù)測波動性及其預(yù)測的準(zhǔn)確性，進(jìn)而對大豆2號和黃金期貨波動率預(yù)測的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗。

MSE為均方誤差，是殘差的估計值與其實際值之差平方的期望值，通過評價數(shù)據(jù)的變化程度來檢驗?zāi)Ｐ托阅?；MSE1、MSE2之間的不同之處在于是否對殘差做平方處理；MAE為平均絕對誤差，是殘差的估計值與其實際值之差絕對值，相當(dāng)于絕對誤差的平均值，能夠更好的評估預(yù)測值的誤差；檢驗值越小說明模型擬合度越高。HMSE、HMAE分別表示異方差性修正后的均方誤差和修正誤差；QLIKE表示Gaussian似然下的缺失函數(shù)。

三、實證研究

（一）樣本選擇和數(shù)據(jù)初步描述性統(tǒng)計

本文選擇兩種波動類型（即波動狀態(tài)活躍型和波動狀態(tài)穩(wěn)定型）的期貨數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。波動狀態(tài)活躍型樣本來自大豆2號期貨，抽取了從2010年9月29日至2020年2月20日共2313個數(shù)據(jù)。波動狀態(tài)穩(wěn)定型樣本來自黃金期貨，抽取了從2010年3月8日至2020年4月6日共2625個數(shù)據(jù)。本文用來計算收益率。

從表1對數(shù)據(jù)的初步性描述可以知道，大豆2號期貨收益序列與黃金期貨收益序列均值分別為0.013和-0.014。大豆2號期貨收益率的偏度為0.669，黃金期貨收益率的偏度為0.484，顯然兩個序列不服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)右偏的情況。峰度檢驗的結(jié)果表明，大豆2號與黃金期貨序列的峰度分別為32.2和9.59超過正態(tài)分布峰值3，因此兩序列都有尖峰現(xiàn)象。從J-B統(tǒng)計結(jié)果可知兩序列的P值均為0，拒絕大豆2號和黃金期貨兩個收益率序列服從正太分布。ADF檢驗顯示大豆2號和黃金期貨的收益序列都拒絕原假設(shè)，顯然兩個期貨樣本都是平穩(wěn)序列。最后檢驗兩個序列的自相關(guān)性，研究結(jié)果表明，大豆2號期貨收益率序列自相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)部分均落在標(biāo)準(zhǔn)差外，即大豆2號期貨收益率序列在5%的顯著水平上存在相關(guān)性；而黃金期貨收益率序列Q-統(tǒng)計量對應(yīng)的P值大于置信度0.05，因此黃金期貨收益率序列在5%的顯著水平上相關(guān)性不大。

表1 大豆2號和黃金期貨收益率描述性統(tǒng)計量

因此，對黃金期貨收益率序列進(jìn)行如下處理，為增大數(shù)據(jù)分布范圍，加快數(shù)據(jù)收斂速度，首先將其序列去均值歸一化?：

相當(dāng)多的文獻(xiàn)用rt2來表示實際波動，本文用rt2表示大豆2號期貨的實際波動序列，用wt2表示黃金期貨的實際波動序列。經(jīng)過同樣的數(shù)據(jù)分析，序列被處理后仍然不是正態(tài)分布的、存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象，是有偏的；兩個處理后的收益率序列同樣為平穩(wěn)序列。實際波動存在“集群”性和周期性，進(jìn)而引入數(shù)理統(tǒng)計模型來分析波動數(shù)據(jù)中存在的時間序列信號。基于以上兩種序列都具有尖峰后尾和自相關(guān)性等非典型事實特征，因此用GARCH類模型來處理最為恰當(dāng)。

（二）不同殘差分布形式下的GARCH類模型

殘差是實際觀測值與方程擬合值之間的差值，一般有正太分布、t分布、廣義誤差分布三種形式?。本文所用模型會對殘差進(jìn)行再分析，因此首先確定殘差服從分布類型能夠為以后預(yù)測波動率降低模型難度。研究時間序列時我們通常用的GARCH類模 型 有GARCH（1,1）、GARCH（1,2）、GARCH（2,1）三種?，先確定GARCH模型的階數(shù)，從而簡化模型的復(fù)雜性。

通過上述研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)殘差為t分布時，黃金期貨相應(yīng)的參數(shù)大部分沒有通過檢驗；當(dāng)殘差為GED分布時，參數(shù)相比正太分布更加顯著；因此本文將選取正太分布來進(jìn)行研究。在殘差為正太分布的條件下，當(dāng)序列為波動狀態(tài)穩(wěn)定的黃金期貨數(shù)據(jù)時，三個GARCH模型相應(yīng)的參數(shù)全部都通過t檢驗；而對于波動狀態(tài)活躍的大豆2號期貨數(shù)據(jù)，只有GARCH（1,1）模型的所有參數(shù)都通過了t檢驗。在實際金融市場不僅存在好消息的正向沖擊還存在壞消息對市場的負(fù)向沖擊，而高輝等對銅和鋁期貨市場的研究表明，市場利好消息的影響不會比利空消息的影響大?，所以引入EGARCH（1,1）模型對大豆2號期貨和黃金期貨進(jìn)行研究分析以期能夠得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

（三）參數(shù)估計和模型評估

1.參數(shù)估計結(jié)果。在確立GARCH（1,1）為最優(yōu)GARCH類模型的前提下，建立大豆2號與黃金期貨收益率關(guān)于EGARCH（1,1）的相關(guān)波動性模型，其中包括三類模型EGARCH模型、MRS-EGARCH模型HMM-EGARCH模型。本文將兩個期貨序列都分為兩組，分別為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于估計模型的相關(guān)參數(shù)；樣本外數(shù)據(jù)作為對比樣本，用于和預(yù)測值作對比來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合能力，以此判斷模型優(yōu)劣。Du Mouchel選取了10%的數(shù)據(jù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)并且研究效果比較好?；因此，本文中大豆2號期貨選取313個數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)（約占樣本數(shù)據(jù)的13%），黃金期貨選取325個數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)（約占樣本數(shù)據(jù)的12%）。300多個預(yù)測數(shù)據(jù)基本包含一個完整的波動周期，充分涵蓋市場一個周期的所有信息，能說明模型的有效性。

表2 不同分布下的GARCH類模型

分析表3模型的相關(guān)參數(shù)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不管是大豆2號期貨還是黃金期貨的相關(guān)參數(shù)β均顯著且偏大，說明期貨市場的波動率有持續(xù)性的特點。而且因為投資者經(jīng)常用歷史數(shù)據(jù)分析市場價格變化，所以期貨市場的波動狀態(tài)還受歷史波動狀態(tài)的影響，因而HMM-EGARCH模型可以對大豆2號和黃金期貨市場進(jìn)行有效預(yù)測。EGARCH模型在兩個期貨市場中的γ參數(shù)值存在負(fù)值，說明通常在期貨市場中反向沖擊引起的波動大于等量正向沖擊引起的波動。低波動狀態(tài)下，正向沖擊引起的波動大于等量負(fù)向沖擊引起的波動，高波動狀態(tài)下沖擊剛好相反?，表3結(jié)果表明HMM-EGARCH模型同樣可以有效預(yù)測期貨市場。

表3 三種模型的參數(shù)估計結(jié)果

2.基于HMM-EGARCH模型期貨市場波動率的預(yù)測。本文采用七個不同的損失函數(shù)來檢驗三個模型的預(yù)測能力，誤差值越大說明模型的預(yù)測能力越小，從而做出對比分析。

表4結(jié)果顯示，對于大豆2號期貨和黃金期貨，EGARCH模型的損失函數(shù)值都普遍偏大。顯然，EGARCH模型不管是預(yù)測波動狀態(tài)活躍還是預(yù)測波動狀態(tài)穩(wěn)定的時間序列，預(yù)測的準(zhǔn)確性都不高。從表4中可以看出，MRS和HMM兩個模型預(yù)測結(jié)果都比EGARCH模型好。雖然MRS-EGARCH模型比EGARCH模型對波動率的預(yù)測能力好；HMMEGARCH卻只有三個損失函數(shù)稍大，其余損失函數(shù)都比MRS-EGARCH更小，顯然HMM-EGARCH能夠更加有效地預(yù)測波動率。此外，從表4還發(fā)現(xiàn)HMM-EGARCH的相關(guān)損失函數(shù)中，黃金期貨市場的損失函數(shù)比大豆期貨市場的損失函數(shù)小，說明波動穩(wěn)定性的市場用HMM-EGARCH模型更有效。

表4 波動率預(yù)測性能比較

四、結(jié)論

由于金融市場的波動狀態(tài)不同，因此本文引入波動穩(wěn)定和波動活躍以代表性兩種不同波動狀態(tài)的市場。首先確定兩個樣本序列的殘差分布類型，然后運用帶有HMM和MRS的EGARCH模型分別對兩種期貨的波動狀態(tài)和波動率進(jìn)行預(yù)測，最后用七個不同的損失函數(shù)指標(biāo)來對三個模型的預(yù)測準(zhǔn)確性進(jìn)行評估。

在對波動狀態(tài)進(jìn)行劃分和預(yù)測時，HMM比MRS模型更為精確，投資者在剖析波動狀態(tài)時可優(yōu)先考慮利用HMM。從評估結(jié)果來看，對收益率進(jìn)行狀態(tài)劃分后再進(jìn)行收益率預(yù)測，比直接對收益率進(jìn)行分析預(yù)測的準(zhǔn)確性更高。因此HMM-EGARCH模型為金融市場提供了更好的預(yù)測方式，投資者和金融機構(gòu)可以根據(jù)金融模型的分析結(jié)果和金融市場的實際情況制定出相應(yīng)的風(fēng)險預(yù)警方案并提出相關(guān)建議。

注釋：

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⑨趙庶旭,伍宏偉,劉昌榮.基于隱馬爾可夫模型的交通最優(yōu)路徑模式識別[J/OL].Journalof Measurement Science and Instrumentation:1-8[2020-10-29]

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