一題一課:基于深度學習的高三數(shù)學微專題教學實踐

廣東省深圳市松崗中學(518105) 王 偉

當前高三數(shù)學課堂的教學實際是在高一高二瘋狂趕進度,留出一年甚至一年半的時間進行反復訓練,老師和學生都陷入無盡的題海中,大多數(shù)課堂呈現(xiàn)出重教輕學、重講輕練、重知識輕能力、重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象,不僅師生疲憊不堪,而且教學效果也不理想.對于一些典型的錯誤,學生是屢做屢錯;對于一些重點問題的處理方法和技巧,學生往往不能深刻理解,也不能靈活應用.究其原因主要還是學生的頭腦里數(shù)學知識和方法是孤立的、零散的存在,沒有建立起一個完整的知識體系.這些問題的出現(xiàn)與教師的教學方式不無關(guān)系,部分教師缺乏對數(shù)學的系統(tǒng)深入研究,不能引導學生進行深度地學習,導致學生的學習方式表層化,思維停留在淺層次水平,不能有效落實數(shù)學學科素養(yǎng)的培養(yǎng).如何改善這種現(xiàn)象,在數(shù)學教學中發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量,更好地實現(xiàn)數(shù)學的思維價值,值得深思.

深度學習是教師對數(shù)學內(nèi)容進行深層加工,學生在理解的基礎(chǔ)上,尋找知識間的聯(lián)系,主動探究問題的本質(zhì),經(jīng)歷“知其然”“知其所以然”“知何由以知其所以然”的過程,領(lǐng)悟數(shù)學思想方法,讓學生的思維從低階走向高階,從而促進學生理解力和學習力提升的學習.深度學習是理解性學習,教師要對問題進行深層次加工,引導學生通過深切的體驗和深入的思考,達成對問題的理解;深度學習是階梯式的學習,教師要根據(jù)學生的認知水平設計由淺入深、由表及里的學習過程,讓學生的數(shù)學學習和思維不斷深入.下面以2021 年天津卷導數(shù)壓軸題為例,探討了基于深度學習的高三數(shù)學微專題教學設計途徑——一題一課.

一、微專題的確定

微專題通常是指圍繞復習的重點和關(guān)鍵點設計的,利用具有緊密相關(guān)的知識和方法形成的專項研究,或者是能夠在短時間內(nèi)專門解決的問題集.具體展開說,可以源于考點的細化構(gòu)建微專題、源于知識點的延伸構(gòu)建微專題、源于易錯易混點的辨析構(gòu)建微專題、源于難點突破構(gòu)建微專題、源于思維角度的轉(zhuǎn)換構(gòu)建微專題等.

題目(2021 年高考天津卷) 已知a >0,函數(shù)f(x)=ax ?xex.

(1) 求函數(shù)y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的方程;

(2) 證明f(x)存在唯一極值點;

(3) 若存在a,使得f(x) ≤a+b對于任意的x ∈R 成立,求實數(shù)b的取值范圍.

學生解答本題主要問題來自于第(3)問,學生的思維盲點有兩點:①含有雙變量的任意和存在性問題的等價轉(zhuǎn)化;②最值求解過程中的隱零點的處理技巧.基于以上分析,筆者以第(3)問為備課出發(fā)點,通過挖掘?qū)W生思維盲點,把問題細化,進行有目標導向的微專題教學過程設計,幫助學生理解有雙變量的任意和存在性問題的等價轉(zhuǎn)化方法——主元法.

二、教學過程設計

1.回歸學生“最鄰近發(fā)展區(qū)”,鞏固原有知識與方法

美國著名教育家曾指出:教學的目的是幫助人們學習.因此數(shù)學課起始問題的設計應該盡可能貼近學生的原有認知,以學生“最鄰近發(fā)展區(qū)”為基礎(chǔ),在喚醒學生已有認知的基礎(chǔ)上建立與目標問題之間的橋梁,從而為后續(xù)研究做好必要的思維和方法鋪墊.

例1 (1)若?x ∈[,2],都有x2?ax+1 ≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若?x ∈[,2],有x2?ax+1 ≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

設計意圖兩個例子都來自于高三一輪復習資料,題目簡單基礎(chǔ),可以幫助學生回憶解決單變量的恒成立和存在性問題的最常用的解決方法:參變分離.

例2 已知f(x)=ex?x?2,當x>0 時,(x ?k)f′(x)+x+1>0 恒成立,求整數(shù)k的最大值.

解法2 (直接求最值法)設g(x)=(x ?k)(ex ?1)+x+1,則g′(x)=ex(x+1?k),令g′(x)=0 可得:x=k ?1.

綜上所述,k的最大值為2.

設計意圖通過此例題的探究,強化解決恒成立和存在性問題的兩種解決方法:參變分離法和直接求最值法,讓學生明白在參變不好分離時,可以采用直接求最值的方法.另外通過方法1,鞏固隱零點在求最值中的處理技巧和方法.

2.創(chuàng)設問題情境,抽象出新的思想方法

數(shù)學中的解題思想和方法是相通的,具有一般性.因此在教學中,代數(shù)和幾何上的思想和方法可以相互借鑒,取長補短.為了突破含有雙變量的任意和存在性問題的等價轉(zhuǎn)化這一難點,創(chuàng)設了幾何中兩圓上的兩點間的距離最值問題的情境,學生在解決此問題的過程中,可以很自然獲得用主元法解決含有雙變量的任意和存在性問題的基本思路.

例3 如圖所示,圓O1和圓O2是外切的,點A,B分別是圓O1和圓O2上的動點,其中圓心距O1O2=d,圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2,求AB的最大值和最小值.

設計意圖幾何中兩個動點的處理方法是:先固定B點,讓A點先動求出最值,然后讓B點動最終求得最值.這種思想本質(zhì)上就是代數(shù)中的主元法思想.通過該問題的解決可以為主元法的應用作鋪墊.

例4 (2010 年高考山東卷)已知函數(shù)f(x)=?1,g(x)=x2?2bx+4,若對?x1∈(0,2),?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.

設計意圖由例3 的解決作鋪墊,學生很容易接受:對于含有可分離雙變量的任意和存在性問題的解決可以先固定一個變量,最終問題可轉(zhuǎn)化為單變量的恒成立和存在性問題,從而突破難點.引導學生歸納出可分離雙變量的恒成立和存在性問題的以下等價轉(zhuǎn)換模型:

3.設置變式探究,內(nèi)化新的思想方法

數(shù)學中的一些新的解題思路和方法往往是對已有的通性通法的改進和優(yōu)化.因此在教學中要引導學生熟練掌握通性通法,并能在合適的解題情境中靈活應用.通過設置變式探究,在感悟解決問題多樣化的基礎(chǔ)上,讓學生經(jīng)歷比較、分析、歸納的思維過程,內(nèi)化新的思想方法.

例5 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2?a2x+m,若?a ∈[3,6],?x ∈[2,3],有f(x)≤1 成立,求實數(shù)m的取值范圍.

解法1 (先固定變量a,以變量x作為主元) 把a看作常數(shù),?x ∈[1,2],有f(x) ≤1 成立等價于fmax(x) ≤1.因為3 ≤a≤6,2 ≤x≤3,所以f′(x)=3x2+2ax ?a2=(3x ?a)(x+a) ≥0,所以f(x) 在區(qū)間[2,3] 上單調(diào)遞增,fmax(x)=f(3)=27+9a ?3a2+m,從而問題轉(zhuǎn)化為:?a ∈[3,6],使得m≤3a2?9a ?26 成立.

上述問題等價于:m≤(3a2?9a ?26)min,a ∈[3,6],所以m≤?26.

解法2 (先固定變量x,以變量a作為主元) 把x看作常數(shù),令g(a)=?xa2+x2a+x3+m,問題變?yōu)??a ∈[3,6],有g(shù)(a) ≤1 成立等價于gmax(a) ≤1.因為g(a)=?xa2+x2a+x3+m是關(guān)于a的二次函數(shù),對稱軸為:a=,所以g(a)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞減,gmax(a)=g(3)=?9x+3x2+x3+m.

從而問題轉(zhuǎn)化為:?x ∈[2,3],有m≤?x3?3x2+9x+1恒成立,上述問題等價于:m≤(?x3?3x2+9x+1)min,x ∈[1,2],所以m≤?26.

變式訓練

1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2?a2x+m,若?a ∈[3,6],?x ∈[2,3],有f(x)≤1 成立,求實數(shù)m的取值范圍.

2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2?a2x+m,若?a ∈[3,6],?x ∈[2,3],有f(x)≤1 成立,求實數(shù)m的取值范圍.

設計意圖由例2 和例4 作鋪墊,對于不可分離的雙變量恒成立和存在性問題,學生自然想到先固定一個變量轉(zhuǎn)化為單變量的恒成立和存在性問題,從而解決問題.引導學生用熟悉的基礎(chǔ)問題來解決陌生的復雜問題,優(yōu)化了思維結(jié)構(gòu),體現(xiàn)了數(shù)學研究的一般思路,完善了學生的認知結(jié)構(gòu),落實了數(shù)學學科素養(yǎng)的培養(yǎng).教師在引導學生探索的過程中,歸納出主元法的基本思想:所謂主元法就是在一個多元數(shù)學問題中以其中一個為“主元”,將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題,其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應用.

4.遷移應用,拓展思維能力

為了實現(xiàn)微專題教學中“做一題,通一類”的教學效果,還需要設計更具挑戰(zhàn)性的問題,以便學生能夠把所學方法遷移應用到新的數(shù)學情境中,在體會數(shù)學思想方法一般性的基礎(chǔ)上拓展學生的思維能力,提高學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例6 (2013 年高考新課標Ⅱ卷) 已知函數(shù)f(x)=ex ?ln(x+m),證明:當m≤2 時,f(x)>0.

設計意圖當m≤2 時,f(x)>0??m ∈(?∞,2],?x ∈(?m,+∞),都有f(x)>0 恒成立.對同一問題,選擇不同的主元,解題的難易程度截然不同.對比兩種解法可以看出:方法2 更便于學生理解掌握,體現(xiàn)了數(shù)學解題中的減元思想.運用主元法解決問題要特別關(guān)注主元的選擇.

例7 (2021 年高學天津卷) 已知a >0,函數(shù)f(x)=ax ?xex.

(1)求函數(shù)y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的方程;

(2)證明f(x)存在唯一極值點;

(3)若存在a,使得f(x)≤a+b對于任意的x ∈R 成立,求實數(shù)b的取值范圍.

解析(1) 因為f(0)=0,f′(x)=a ?(x+1)ex,所以f′(0)=a ?1,故函數(shù)在(0,f(0)) 處的切線方程為:(a ?1)x ?y=0.

(2)若證明f(x)僅有一個極值點,即證導函數(shù)f′(x)=a ?(x+1)ex只有一個零點.因為f′′(x)=?(x+2)ex,所以f′(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞增,在(?2,+∞)單調(diào)遞減,且當x ∈(?∞,?2) 時,f′(x)>0,f′(?1)=a >0,f′(a)=a ?(a+1)ea <0,所以由零點存在定理可得:存在唯一x0∈(?1,a)使得f′(x0)=0,故f(x)在(?∞,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減,從而f(x)存在唯一極值點.

設計意圖本題如果選擇以a為主元,構(gòu)造的函數(shù)為一次函數(shù),雖然簡單,但它的單調(diào)性不確定,處理起來繁瑣,也不利于減元解決問題.引導學生在試錯的基礎(chǔ)上,選擇恰當?shù)闹髟鉀Q問題,在對比的基礎(chǔ)上歸納主元選擇的基本準則:構(gòu)造的主元函數(shù)應該簡單便于操作,但更要有助于減元解決問題.

一題一課主要指基于班級學生的現(xiàn)實學情,以一道(組)題或一個素材的研究為引,通過一題多問、一題多解、一題多變、一題多思、借題發(fā)揮、探索規(guī)律和方法等數(shù)學探究活動來揭示其內(nèi)在的學習線索和數(shù)學本質(zhì).本文通過2021 年天津卷導數(shù)壓軸題來發(fā)現(xiàn)學生存在的問題,并以此為基礎(chǔ)確定微專題的主題,通過挖掘?qū)W生思維盲點,把問題細化,通過設置一系列環(huán)環(huán)相扣的問題來搭建思維的“橋梁”,引導學生獲取新的思想方法——主元法,幫助學生構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu),促進學生深度學習.因此基于深度學習的高三數(shù)學微專題教學選題要具備主體性和針對性,凸顯認知策略,以“易于學生理解”的方式呈現(xiàn)出來,使學生的學習成為一種“再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造”的過程,這也是數(shù)學微專題設計的核心所在.