例析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中不等式問題的命題失誤?

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳俊陽

近年來不等式問題在高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的試題中多次出現(xiàn),比如:2016、2018、2021 年全國I 卷均出現(xiàn)了雙變量的不等式證明;2017 年全國Ⅲ卷理科第21 題導(dǎo)數(shù)題中出現(xiàn)了數(shù)列求和的不等式證明.自此,各地模擬題也模仿高考題命制了大量的類似試題,但部分試題存在不等式精度過低的缺陷,導(dǎo)致試題被學(xué)生輕易解決,這屬于能力目標異化[1]的命題失誤.

因此,下文以高考模擬題為例分析兩類不等式問題的命題失誤,并對其進行改進.隨后給出一個基于高觀點命題成功的例子,最后給出命題建議.

1 兩類命題失誤的不等式證明問題

1.1 雙變量不等式

評注該題的參考答案將x2放縮成,將原不等式放縮成一個關(guān)于a的函數(shù)再求導(dǎo)求最值.然而,筆者評卷時從學(xué)生的答卷發(fā)現(xiàn)有相當一部分學(xué)生注意到了不等式左邊顯然是小于2 的,右邊顯然大于2,僅用了兩行就把不等式“秒殺”掉了.一方面,本題的命題者從出發(fā)構(gòu)造了不等式,進而得到了待證不等式,期待解題者利用導(dǎo)數(shù)的工具證明之,但忽略了的基本大小關(guān)系,導(dǎo)致不等式精度過低,相當一部分學(xué)生僅花費很短時間便成功解題,最終考查效果與命題立意相悖,區(qū)分度比預(yù)期低;從另一方面看,本題在全卷最后一問導(dǎo)數(shù)壓軸題的位置考查了不等式的基本性質(zhì),“不按套路出牌”把“按照問題模式選取固定套路解題”與“采取基本的數(shù)學(xué)思想方法靈活地解決問題”的學(xué)生區(qū)分開來,可謂“無心插柳柳成蔭”.

總的來說,本題既可以說是不等式精度過低的命題失誤,又可以說是考查學(xué)生解決問題時所需的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng).但一般來說,構(gòu)造出待證不等式后,命題者需采取盡可能多的方法嘗試證明之,保證待證不等式有一定的精度,不是“顯然”的.

例2 函數(shù)f(x)=1?alnx恰有兩個零點x1,x2(x1>x2).(1) 求實數(shù)a的取值范圍;(2) 證明:3x1+x2>6a.

分析(1)a ∈(0,+∞);(2)a>0 時,f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減,在(2a,+∞)上單調(diào)遞增,故03x1>6a.證畢.

由此可見,待證不等式的精度過低,只需要局部放縮就證明完畢了,也沒有利用到兩零點之間的關(guān)系.然而,標準答案是設(shè)t=換元證明的,可見命題者并未意識到待證不等式的精度之低,屬于命題失誤.

1.2 數(shù)列求和型不等式

2 一例命題成功的精度恰當?shù)牟坏仁阶C明問題

3 命題建議

3.1 通過多角度審視試題

命題不同于解題,前者往往是基于考查某個知識點或某種方法或某個結(jié)論逆向命題的,由此容易出現(xiàn)思維定勢的局限性.因此,完成命題后,命題者需從多角度審視試題,嘗試用多種方法解題,避免出現(xiàn)知識、方法、能力目標異化的命題失誤[1].

3.2 結(jié)合信息技術(shù)審視試題

人類筆算的算力有限,難以精確地估計函數(shù)的最值.而借助Wolframalpha、Mathematica 等計算數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件可以快速精確地計算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、最值等等,便能準確估計不等式的精度,也便能提高不等式精度,對試題進行命題改進(如例2 的改進).當然,精度也不宜過高,既要保證試題數(shù)據(jù)的美觀又要保證僅通過筆算便能求解.

3.3 運用高觀點審視試題

部分初等數(shù)學(xué)問題特別是導(dǎo)數(shù)問題存在著高等數(shù)學(xué)背景.比如:數(shù)列求和的估計就是級數(shù)和的估計,如果它是發(fā)散的,那么可以估計它的階;如果它是收斂的,可以求出其具體數(shù)值.由此便可以審視不等式的精度.又如:不等式ex≥x+1 的高等數(shù)學(xué)背景是f(x)=ex在x=0處的一階泰勒展開,并且只有在x=0 附近才有近似意義,否則誤差過大.因此如果命制數(shù)列求和不等式時,基于en≥n+1(n ∈N?)構(gòu)造出來的不等式精度必定會很低,而構(gòu)造出來的不等式精度一般是恰當?shù)?因此運用高觀點審視試題有助于洞察問題本質(zhì),準確地命制試題.