一道解析幾何模擬試題的解析與探究

廣東省汕頭市潮南區(qū)礪青中學(xué)(515135) 鄭燦基

廣東省深圳市鹽田高級中學(xué)(518000) 凡小寧

一、問題呈現(xiàn)

題目1 (2022 屆湖南省五市十校聯(lián)考) 已知橢圓=1 (a>b>0) 經(jīng)過點(diǎn),且焦距為

(1) 求橢圓C的方程;

(2)P為橢圓C上一點(diǎn),F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),射線PF1,PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A,B,試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

圖1

本題以直線和橢圓為背景,考查分線段成比例的問題,著重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法進(jìn)行解題.本題看似較為平淡,實(shí)則是一道內(nèi)涵豐富的好題.

二、多視角解析

三、問題拓展和探究

1.由特殊到一般的探究

圖2

圖3

鑒于篇幅關(guān)系,以上結(jié)論2,4,6,7,8 的證明從略,有興趣的讀者可自行證明.

四、反思感悟,且研且思

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過:“解題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時,它的周圍可能有一個蘑菇圈.”本文通過對一道試題的分析研究,巧妙拓展,看似平常的直線與橢圓的定值問題,卻獨(dú)具匠心,加深了我們對問題本質(zhì)的理解.對題目的深入探究,推廣和引申是促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的有效途徑,同時也能更好地引領(lǐng)學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)的興趣,通過歸納總結(jié),能更好地培養(yǎng)和提升學(xué)生的核心素養(yǎng).