基于GeoGebra 的初中數學二次函數動點問題探究*
——以廣州中考壓軸題為例

廣東省廣州市第四中學(510176) 伍慧懿

1 核心素養(yǎng)與深度學習

2016 年《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架正式發(fā)布.為了實現立德樹人的教育目標,學科教學提出了學科核心素養(yǎng)的概念,對于數學學科而言,包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析在內的六個要素,支撐起了數學學科核心素養(yǎng)的體系.當中的直觀想象素養(yǎng)應該是教師重點培養(yǎng)的數學核心素養(yǎng)之一.它是一種借助幾何直觀和空間想象,從而感知事物形態(tài)變化的一種能力.在初中數學教學中,具備直觀想象素養(yǎng)的學生往往可以更快地對抽象的數學問題建立空間思維模型,從而高效、快速地解決數學問題[1].

深度學習是核心素養(yǎng)培育的一個重要途徑.它是指學習者在理解和學習的基礎上,能夠批判性地學習新的思想和事實,并將它們融入到學習者原有的認知結構中,并將新舊認知進行聯(lián)結,在對現有知識在新的情境中的創(chuàng)造性應用,實現策略的提出和解決問題的學習.就初中數學教學而言,深度學習應當具有這樣的幾個基本特征:主動理解與批判接受、激活經驗與建構新知、知識整合與深層加工、把握本質與滲透思想、有效遷移與問題解決[2].而具有上述特征的學習過程,均需要學習者帶著批判性的思維積極主動地投入思考和學習,從而使過往已學的舊知識與新內容進行系統(tǒng)性連接,使自身認知上升到新的水平.

2 二次函數與動點問題

本文選取初中考試中的常見的壓軸題型“二次函數的動點問題”作為研究的切入點.它既能考查二次函數的性質,也需要學生根據動點運動情況,準確地分類討論解決問題.學生在面對此類難題時,在靜態(tài)的圖形中想象部分元素的動態(tài)變化,本來就需要一定的抽象思維.要做到在復雜的動態(tài)問題中做到分類討論不重不漏,更使難度再上一個臺階.初中生的抽象思維能力仍然不成熟,這讓他們在解決二次函數的動點問題時,面對動態(tài)變化中的無數種情況,經常無法找到具有代表性的若干種,進而無法畫出相應的圖形和解決每種情況[3].2019 年11 月教育部頒發(fā)文件,要求取消初中學業(yè)水平考試大綱,嚴格依照義務教育課程標準科學進行命題,提高探究性、開放性、綜合性的試題比例.這也意味著學生日后遇到這種問題的機會將會越來越多.

要解決此類問題的教學難點,初中數學教師借助軟硬件工具進行動態(tài)演示是關鍵.動態(tài)演示將可使原本非常抽象、復雜且難以理解和思考的問題變得非常直觀、有層次、簡單,有利于動態(tài)問題的最終解決[4].傳統(tǒng)課堂上,數學教師分析問題時往往用到三角板、圓規(guī)等工具.手工作出二次函數圖像,誤差大耗時長.在如今信息化技術發(fā)展迅速的時代,計算機、可觸控屏幕等設備已逐漸普及進入課堂.若教師能與時俱進借助信息化技術展示二次函數動點問題的動態(tài)畫面,給予學生認識此類問題清晰的印象和形成解題思路深刻的啟發(fā),也能幫助學生更好地解決二次函數動態(tài)問題.

3 GeoGebra 的特點優(yōu)勢

GeoGebra 是由geometry(幾何)與algebra(代數)組成的一個合成詞.GeoGebra 軟件有強大的代數與幾何功能,它的工具欄將七十多個簡單易用的工具分類排列.以點、直線、多邊形、圓和角等元素為基礎,操作區(qū)域中的代數區(qū)、繪圖區(qū)、表格區(qū)可以動態(tài)結合.各個窗口有它各自的功能,一方面可以在代數區(qū)輸入坐標、方程的同時,繪圖區(qū)可在直角坐標系中自動顯示出點、直線、曲線等圖像;另一方面可直接在繪圖區(qū)描點、作圖,代數區(qū)也會同步生成點的坐標與圖像所對應的方程[5].

《義務教育課程標準》提出:把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具,有效地改進教與學的方式,使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去.GeoGebra 可以為初中數學教學提供具體的圖形工具,也為發(fā)展學生數形結合的數學思想提供有力的支持.與以往較多數學老師使用的“幾何畫板”軟件相比,GeoGebra 軟件的使用過程更簡便易操作.例如新建函數或點,就只需在輸入框中鍵入其解析式或坐標,而且可以在屬性區(qū)很方便地更改某個對象的各方面屬性,令課件視覺效果更美觀.工具條中包含工具種類豐富,鼠標指向某個工具時更會出現其“使用說明”,使用戶對其功能和操作方式一目了然.如能希望演示圖中某個元素的動態(tài)變化過程,用鼠標右鍵單擊再選擇“啟動動畫”即可實現.

在核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標的引領下實施深度教學,初中數學教師應在課堂中帶領學生對圖形問題開展深度學習,逐步形成直觀想象素養(yǎng).在此過程中,GeoGebra 作為一種簡單易操作的數形結合軟件,可成為初中二次函數動點問題教學中的一種重要輔助工具.

4 廣州中考的壓軸大題

下文中筆者將結合實際教學經驗,以近年廣州中考壓軸題中出現的二次函數動點問題為例,談談在此類題型探索過程中如何結合GeoGebra 軟件,使抽象問題變得具體,零散的思維變得有序.

4.1 點在曲線上,求軌跡函數

2019 年廣州市中考第25 題.已知拋物線G:y=mx2-2mx-3 有最低點.

(1)求二次函數y=mx2-2mx-3 的最小值(用含m的式子表示);

(2)將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線G1.經過探究發(fā)現,隨著m的變化,拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關系,求這個函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)記(2)所求的函數為H,拋物線G與函數H的圖像交于點P,結合圖像,求點P的縱坐標的取值范圍.

4.1.1 審題,思路淺析

此題的第(2)問是求動點軌跡的問題.在第(1)問的求解過程中得m ＞0,并用配方法或公式法求出了拋物線G的頂點式y(tǒng)=m(x-1)2-m-3,進而可再求平移后的拋物線G1:y=m(x-m-1)2-m-3 頂點的橫縱坐標之間的函數關系.

4.1.2 探究,軟件輔助

在GeoGebra 軟件工具欄設置滑動條控制變化的m值,注意限制條件:m ＞0.在“輸入”框中用英文輸入法鍵入y=m(x-m-1)2-m-3,設置頂點(m+1,-m-3).追蹤頂點軌跡,并利用滑動條改變m的取值(如圖1).

圖1

如果是教師提前制作課件,教師課堂上應引導學生觀察猜想動點軌跡圖形特征,并注意m的取值范圍對軌跡的影響,師生共同歸納特征并求解.

如果是學生獨立制作課件,教師可提醒學生在設置滑動條時限制m ＞0,用追蹤頂點軌跡的方法更易發(fā)現動點軌跡圖形特征,由學生自行歸納特征并求解.

4.1.3 解題,步驟疏理

通過GeoGebra 課件中圖形的動態(tài)變化,得出頂點的軌跡是一條除去端點的射線,設其橫、縱坐標分別為x、y,則其滿足其中m ＞0.再利用“消參”思想可得函數關系式:y=-x-2,其自變量取值范圍為x ＞1.

4.1.4 小結,融會貫通

在直觀想象素養(yǎng)中,直觀指的是學生通過簡單直接的觀察,感性認知事物的表象.想象則是把直觀得到的感性認識結合過往所學,大致猜想當前問題的解決策略.正是有了GeoGebra 軟件輔助,學生可以比較方便地從動態(tài)變化的圖形中獲得直觀感知,提煉規(guī)律,從而獲得理性思考的方向.有了這種深度加工知識信息的過程,學生才能建構情景化知識體系,解決復雜問題,真正實現深度學習.

4.2 點為兩線交,求面積最值

2016 年廣州市中考第24 題.已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B,

(1)求m的取值范圍;

(2)證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點P,并求出點P的坐標;

4.2.1 審題,思路淺析

在第(1)問中,根據二次函數的定義和根的判別式,可得0且m.

在第(2)問中求函數經過的定點,按字母m合并同類項,得y=m(x2-2x-3)+x+1,即y=m(x-3)(x+1)+x+1.所以拋物線恒過定點(-1,0)與(3,4).所以函數經過x軸上的點A(-1,0)與不在坐標軸上的定點P(3,4).

在第(3)問中,點A、P均為拋物線上的定點.要通過研究當＜m≤8 時點B的位置變化規(guī)律,才可求ΔABP的面積的最值.這需要學生有一定的抽象思維和分析能力.

4.2.2 探究,軟件輔助

按題中條件利用GeoGebra 的滑動條建立變量m(＜m≤8),在“輸入”框中用英文輸入法鍵入y=mx2+(1-2m)x+1-3m,標出定點A(-1,0),P(3,4),利用交點工具取拋物線與x軸另一交點B.用多邊形工具標示ΔABP.拖動滑塊改變m值,觀察ΔABP形狀和面積的變化(如圖2).

圖2

在拖動滑塊使得m值變化的過程中,學生容易觀察出隨著m值變大,點B的橫坐標也隨著變大.即點P到x軸距離不變的情況下,線段AB距離越來越大,從而得到一個直觀的認識:m越大,ΔABP的面積越大.

4.2.3 解題,步驟疏理

4.2.4 小結,融會貫通

“不識廬山真面目,只緣身在此山中.”學生在解題中身陷困境,只因搞不清圖形變化過程中不變的本質.在此題的探究過程中,再一次體現利用GeoGebra 軟件進行動態(tài)問題探索的優(yōu)勢:直觀清晰.學生在多次經歷這種探索過程后,會逐步形成動態(tài)的觀念.在動態(tài)變化的圖形中,找出規(guī)律,解決問題.在教學過程中,教師基于直觀想象核心素養(yǎng)的培育需要,利用信息技術輔助引領學生,探究問題變化的實質,也讓深度學習有了更明確的方向.

4.3 點隨曲線移,求周長最值

2014 年廣州市中考第24 題.已知平面直角坐標系中兩定點A(-1,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx-2(0)過點A,B,頂點為C,點為拋物線P(m,n)(n ＜0)上一點.

(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標;

(2)當∠APB為鈍角時,求m的取值范圍;

(3)若m ＞,當∠APB為直角時,將該拋物線向左或向右平移t(0＜t ＜)個單位,點C、P平移后對應的點分別記為C′、P′,是否存在t,使得首尾依次連接所構成的多邊形的周長最短? 若存在,求A,B,P′,C′的值并說明拋物線平移的方向;若不存在,請說明理由.

4.3.1 審題,思路淺析

此題多邊形周長求最值涉及兩個動點,目標線段AC′與BP′也沒有公共頂點,從而為分析求解加大了難度.

4.3.2 探究,軟件輔助

圖3

圖4

在初步感性認識四邊形ABP′C′在拋物線平移過程中AC′+BP′的變化情況后,教師可進一步引導學生理性思考:在AC′+BP′的求解問題上,最大的難點便是AC′與BP′沒有公共頂點.我們能否通過線段的平移,使其有共同頂點呢?

4.3.3 解題,步驟疏理

圖5

在求解之后,不妨把如下的開放性問題拋給學生思考:通過線段的平移,使AC′與BP′有公共頂點,只有一種方案嗎? 在思維碰撞過程中可以發(fā)現,平移的方案總共有8 種.那除了上述這種平移方案之外,其他7 種可行嗎? 原因是什么?可讓學生結合GeoGebra 軟件分小組進行探索,并總結此類問題的一般做法.

4.3.4 小結,融會貫通

由這個例子可以看出,當一個問題中含有多個運動的元素時,就容易在解題中造成干擾,使學生難以得到思路.當教師利用GeoGebra 進行題目情景的動態(tài)展示后,學生可以通過圖形探索先猜到問題的解決方向,之后求解或證明的思路也更容易凸顯.通過這樣培養(yǎng)直觀想象能力,可有效提升學生的解題想象力和思維創(chuàng)新力.學生經歷這一過程,對知識內容有了本質的理解,便能形成自身的認知能力,并可以在日后解決其他問題時將能力進行遷移,真正完成深度學習.

5 總結反思與未來展望

5.1 跳出定式,生機盎然

一線教師經過多年教學實踐,積累了豐富的經驗,也容易習慣于以往單一的教學手段.在傳統(tǒng)課堂中,若要提高學生的直觀想象素養(yǎng),對如上的動態(tài)問題探究過程就只能徒手畫出函數圖象中某些特殊情況,再想象其動態(tài)變化過程中的一般情況.而以上幾個例子作為中考壓軸題,題目思維難度較大,形式抽象,在對其探索的過程中,也難免存在教師難以點清講透,學生無法思考動筆的尷尬.在筆者以往用傳統(tǒng)手段教學的課堂中,無不例外的使大部分學生熱情低、思維參與度低.能在探索過程中獲得知識能力提高的,僅為少部分數學基礎和思維較好的學生.在加入了教師在電子教學平臺上展示GeoGebra 的動態(tài)課件過程后,普遍學生的興趣比傳統(tǒng)課堂更濃厚,投入度與熱情度均大大提高.

5.2 抽象問題,化為直觀

通過以上例子不難發(fā)現,在中考壓軸題:二次函數中的動點問題上,很適合借助簡單易操作的GeoGebra 軟件進行探索.基于GeoGebra 的輔助,師生較易獲得準確的圖形和精確的數據,也能通過拉滑動條或拖動點,直觀感受圖形連續(xù)動態(tài)變化過程中的各種性質.如能滿足學生人手一機的條件,學生甚至可以在機器上獨立制作關于這些問題的GeoGebra課件.通過在軟件中作圖的過程使其進一步領會題中條件,思考作圖步驟使其數學素養(yǎng)得到提升,獨立探索圖形的變化也能使其在潛移默化中形成動態(tài)思維,并在日后同類型問題探究過程中發(fā)揮作用.讓圖形動起來,能讓學生感受在各種情況下圖形不同的變化規(guī)律,這樣也有助于培養(yǎng)學生分類討論的思維習慣.

5.3 傳統(tǒng)為主,信息作輔

但教師也要控制在課堂上使用GeoGebra 進行動態(tài)問題展示的頻率.如次數過多,除了會使學生厭煩以外,還容易造成學生在解題思考過程中對動態(tài)課件的心理依賴.在對數學問題的探索過程中,傳統(tǒng)手段還是占重要地位.信息技術輔助教學的手段則應該在合適的時機,使用在學生的最近發(fā)展區(qū)中.當我們遇到學生難以想象的變化情況,或教師不易講透解題思路的地方,都適合用GeoGebra 進行動態(tài)展示.隨著信息化與教育的深度結合,注重發(fā)展學生的個性化需求與特征的課堂是教育發(fā)展的必然需求.

5.4 不斷嘗試,開拓創(chuàng)新

由于GeoGebra 軟件簡單易上手,筆者與教育集團的部分數學老師經過一年的學習,已熟悉軟件的基本操作步驟,足以應對日常教學中遇到的問題.筆者通過訪談了解與測試檢驗發(fā)現,運用這種手段使學生多次經歷動態(tài)變化問題的深度學習,能幫助他們逐漸緩解對壓軸題型的畏難情緒.與沒接觸GeoGebra 軟件的學生相比,他們更容易由數形結合與分類討論思想得到解題思路,解決二次函數中的動點問題能力明顯提高.

在前期研究中,筆者所采用的方式主要是教師制作GeoGebra 課件,在課堂上給學生作動態(tài)演示.所教的學生經過一段時間耳濡目染,對軟件興趣較濃厚.有的學生通過自學摸索,已經可以在家的電腦上獨立制作GeoGebra 課件,幫助自己探索數學動態(tài)問題.在后續(xù)研究中,筆者會嘗試增加機會,讓學生在課堂上每小組一機或人手一機,設計學生自行利用GeoGebra 重現問題情景并探索解決思路的課堂.教師為輔,引導學生用軟件探究,并從旁點撥協(xié)助.這樣以生為主、以學定教的探究式課堂,將更進一步地實現深度學習.

信息技術輔助下的深度教學在問題探究過程中,變抽象為具體,變特殊為一般,促使學生的思維從廣度和深度都不斷得到拓展和延伸.讓學生學的深刻,理解的自然,也使其理性思維、勇于探究等核心素養(yǎng)得到提升.對于中學一線數學教師來說,持開放的態(tài)度多了解信息技術手段,合理利用如GeoGebra 的工具培養(yǎng)學生分析動態(tài)問題的能力,將使學生受益無窮.希望未來有更多的教師個人與群體投入到GeoGebra 軟件與中學數學課堂的深度探索與實踐中,讓更多學生能提高核心素養(yǎng),實現真正的深度學習.