一道數(shù)學(xué)中考模擬題的溯源、解法研究與推廣

北京師范大學(xué)廣州實驗學(xué)校(510700) 支柳香

前言

圓這一部分的知識在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位,中考中更是考查的熱點.在與學(xué)生一起備戰(zhàn)2021 年數(shù)學(xué)中考的過程中,一道關(guān)于圓的模擬試題引起了筆者的興趣,筆者發(fā)現(xiàn)此題入口寬、解法靈活、適于推廣,于是便進行了較深入的探究.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2021 年廣州廣雅實驗學(xué)校4月份中考模擬題)

如圖1,已知在⊙O中,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AC=8,BC=6.若點D為⊙O上的一個動點,且ΔABD為等腰直角三角形,求線段CD的長.

圖1

2 試題溯源

試題的原型來自于人教版數(shù)學(xué)九年級下冊第24 章“圓”24.1.4 圓周角這一節(jié)的例4,原題如下:

如圖2,⊙O的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于點D,求BC,AD,BD的長.

圖2

與例4 不同的是試題中的D點需要學(xué)生自己動手畫出來,這樣的D點有兩個(為區(qū)別起見,分別記為D、E),需要分類討論,所求的線段是CD和CE.

3 試題考查

此題考查了尺規(guī)作圖、圓周角定理、勾股定理、圓內(nèi)接四邊形對角互補、垂直平分線的性質(zhì)等知識點,也考查了分類討論、構(gòu)造的思想.因為ΔABD為等腰直角三角形,所以點D在線段AB的垂直平分線與圓的交點上,這樣的D點有兩個,考查了學(xué)生的動手畫圖能力,圖形畫出來之后,為了求出CD的長,可以通過建系,托勒密定理,相似,勾股定理,旋轉(zhuǎn),構(gòu)造直角三角形等方法求出線段CD的長,這樣可以較好的培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

4 解法研究

作線段AB的中垂線,交⊙O于D、E,因為AB是⊙O的直徑,所以∠ACB=∠ADB=90°,由于AC=8,BC=6,由勾股定理可得AB=10,因為AD=BD=EA=EB,于是ΔADB,ΔABE,ΔAOD,ΔBOD,ΔAOE,ΔBOE均為等腰直角三角形,得到AO=BO=DO=EO=5,AD=BD=AE=BE=由CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=45°.

分析1:因為圓內(nèi)接四邊形對角互補,且AD=BD,所以可以得到以下解法:

解法1:如圖3,延長CB至G,使CA=BG,連結(jié)DG,因為A、C、B、D四點共圓,所以∠CAD+∠CBD=180°,且∠DBG+∠CBD=180°,可得∠CAD=∠DBG,于是ΔCAD∽=△GBD,∠CDA=∠BDG,BG=AC=8,CG=6+8=14,∠CDG=90°,因而CD=CGcos 45°=在RtΔDEC中,EC2=DE2-DC2=2,所以EC=

圖3

圖4

分析2:因為CD、AB是圓中的兩條相交的弦,AC、AD、BD、BC的長都是已知,運用托勒密定理可以得到以下解法:

分析3:因為AB與DE互相垂直,所以我們可以通過建立平面直角坐標(biāo)系,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解,因此可以得到以下兩種解法:

圖5

分析4:由初高中銜接知識,可以運用兩點間的距離公式求線段CD的長,因此可以得到以下解法:

解法4:如圖6,以O(shè)為原點,DE為y軸,AB為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,過點C作CH⊥AB,則D(0,-5),用ΔABC等面積法可算出ΔABC的高CH=4.8,在RtΔCBH中,由勾股定理可求得HB=3.6,因而OH=5-3.6=1.4,所以C的坐標(biāo)為(1.4,4.8),利用兩點間的距離公式可求出CD=在RtΔDEC中,EC2=DE2-DC2=2,所以EC=

圖6

分析5:由于DE是線段AB的中垂線,運用垂直平分線的性質(zhì),可以得到以下解法:

圖7

圖8

分析6:為了求出CD,要把CD放到一個直角三角形中去,因此需要構(gòu)造直角三角形,有以下三種解法:

圖9

圖10

比較以上幾種解法,可以發(fā)現(xiàn)第一種方法最為簡捷,這個方法可以解決圓內(nèi)接四邊形的這一類問題以及以下此題的變式1.

5 變式推廣

將線段AC,BC的長一般化,可得到以下變式推廣.

圖12

推廣1:如圖11,已知在⊙O中,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AC=b,BC=a.若點D為⊙O上的一個動點,且ΔABD為等腰直角三角形,求線段CD的長.

圖11

如果AB不是直徑,ΔABC是一個一般的三角形,可得到以下變式推廣.

推廣2:如圖13,已知ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AC=b,BC=a,AB=c.若點D為⊙O上的一個動點,且ΔABD為等腰三角形,求線段CD的長.

圖13

圖14

經(jīng)過以上的推理論證,可得到以下一般性的結(jié)論:

如圖15,已知ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AC=b,BC=a,AB=c.若點D為⊙O上的一個動點,且ΔABD為等腰三角形,則線段CD的長為或

圖15

結(jié)語

通過對2021 年數(shù)學(xué)中考模擬題的多解研究與推廣,筆者發(fā)現(xiàn)此題可作為研究性教學(xué)的素材,對本題進行解題教學(xué)時,學(xué)生可重點研究試題的輔助線的添加由來,感悟題目考查的知識點與學(xué)習(xí)的重點,研究試題的解法以優(yōu)化解題策略和方法,研究試題的推廣以培養(yǎng)探究意識和創(chuàng)新精神,提高學(xué)生分析問題和邏輯推理的能力.

總之,數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是讓學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué),滲透終身數(shù)學(xué)教育思想,讓數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生.初中階段是基本的數(shù)學(xué)思想形成的重要階段,而思想驅(qū)動之下習(xí)慣的形成,則是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.筆者一直以來,帶著這樣的認識去教學(xué),使學(xué)生真正形成數(shù)學(xué)習(xí)慣,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).